Groupes d’isométries du tétraèdre et du cube

DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE

Groupes d’isométries du tétraèdre et du cube

Leçons : 161, 183

¹

,

101,104,105

[H2G2], partie XII.3 Théorème

On va montrer les résultats suivants :

1. Les groupes d’isométries du tétraèdre régulier

∆4

sont : Isom (

_∆4

) '

S₄

et Isom

⁺

(

_∆4

) '

A₄

; 2. Les groupes d’isométries du cube C

₆

sont

²

: Isom

⁺

( C

₆

) '

S₄

et Isom ( C

₆

) '

S₄

×

^Z

/

2Z

.

Démonstration :

1. On fait agir Isom(∆4)sur l’ensemble des sommetsS ={A,B,C,D}; on obtient donc un morphisme de groupesϕ:

Isom(∆₄) → S(S)'S₄

g 7→ _{g S} ^.

→ ϕest injective : si ϕ(_g) = IdS, alorsgstabiliseS, qui est un repère affine deR³, d’oùg=Id_R3.

→ ϕest surjective : soitMle milieu de[AB], la réflexion par rapport au plan(MCD)réalise la transposition (_{A B}). Similairement, toutes les transpositions sont dansϕ(Isom(∆4))et elles engendrentS(S), donc ϕ(Isom(_∆4)) = S(S). En conséquence, ϕest un isomorphisme et Isom(_∆4)'S₄.

Comme Isom⁺(_∆4)est d’indice 2 dans Isom(_∆4), on a : Isom⁺(_∆4)'A₄.³

A

B C

D M

2. Les grandes diagonales du cube, qui relient deux sommets opposés, sont au nombre de 4. Ce sont les plus grandes distances existant entre 2 points du cube, donc les isométries du cube stabilisent l’ensemble des grandes diagonales du cube.

Pouri ∈ [[1, 4]], on note doncD_i la diagonale(A_iB_i)etDl’ensemble de ces grandes diagonales. On fait donc agir Isom⁺(C₆)surD, d’où le morphisme de groupesϕ:

Isom⁺(C₆) → S(D)'S₄

g 7→ _{g D} ^.

→ ϕest injective ; en effet, soitgtel queϕ(g) =IdD. Alors pour touti∈[[1, 4]],g(A_i) =A_ietg(B_i) =B_iou g(A_i) =B_ietg(B_i) =A_i.

Supposons qu’il existei∈[[1, 4]]tel quegfixeAietBi; et sans perdre en généralité, disonsi=1.

Comme A1A2 6= _A1B2et queg ∈Isom(C₆), nécessai- rement,g(_A2) =_A2.

Similairement,g(_A4) =_A4etg(_B3) =_B3.

gfixe donc un repère affine de l’espace, d’oùg=Id_R3. Désormais, on suppose que∀_i∈[[1, 4]],g(_Ai) =_Bi. Notons O le centre du cube, alors, on a : pour tout i∈[[1, 4]],sOg(_Ai) =_Ai, d’oùsOg=Id_R3.

Ceci contredit alors la positivité de g et ce cas n’est donc pas possible.ϕest donc injective.

A1

A2 A3

A4

B1

B2

B3

B4

D1

D2

D3

D4

M

N

→ ϕest surjective, car la transposition(_D1D2)est l’image parϕdu retournement d’axe(_MN), où MetNsont les milieux des segments[A₁A2]et[B₁B2].

1. Oui, c’est de la mauvaise foi, et je vous laisse ainsi intact le bonheur de travailler sur la leçon 183.

2. Et on s’en sert dans un autre développement : la table de caractères deS₄, qu’on peut lire en page??.

3. SoitHd’indice 2 dansS_n, alors∀_g∈S_n,g² =1 dans S_n

/

Het doncg² ∈ _H; autrement dit,Hcontient tous les carrés d’éléments deS_n. En particulier,Hcontient tous les 3-cycles qui engendrentA_n. Donc, pour des raisons de cardinalitéH=A_n.

Florian L

EMONNIER

1

Diffusion à titre gratuit uniquement.

ENS Rennes – Université Rennes 1

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Ainsi, Isom⁺(C₆)'S₄.

Oétant l’isobarycentre de C₆, on a :∀_g∈Isom(C₆),g(_O) =_O.

Par conséquent, pour toutg∈Isom(C₆), on a :gsO=_sOg, vu que L(_sO) =−Id_R3 et quegetsOont un point fixe commun.⁴

Ainsi, l’applicationF :

Isom(C₆) → Isom⁺(C₆)×^Z

/

_2Z

g 7→

(_{g, 0}) sig∈Isom⁺(C₆) (_gsO, 1) sinon

est un isomorphisme de groupes.

Donc Isom(C₆)'S₄×^Z

/

_2Z.

Références

[H2G2] P. C

ALDERO

et J. G

ERMONI

– Histoires hédonistes de groupes et de géométries, Calvage & Mou- net, 2013.

4. Soientfetgdeux applications affines vérifiant L(_f)◦L(_g) =L(_g)◦L(_f)et∃_O∈_R³, f(_O) =_O=_g(_O). Alors∀M∈R³,f◦g(_M) = _f◦g(_O) +L(_f◦g)−−→

OM

=_g◦f(_O) +L(_g◦f)−−→

OM

=_g◦f(_M).

Florian L

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2

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