E660. Un nouveau Sisyphe?
Cinq jarres vides de 10 litres de capacité chacune sont placées aux coins d’une cour pentagonale.
Zig dispose d’un récipient de 5 litres et il en répartit le contenu comme bon lui semble dans les cinq jarres. Son objectif est de remplir complètement l’une au moins des cinq jarres mais chaque fois qu’il va remplir d’eau son récipient de 5 litres, Puce derrière son dos vide le contenu de deux jarres adjacentes. Qaund Zig a pu remplir une jarre, il reste à la surveiller sans s'occuper des autres.Zig peut-il arriver à ses fins ou devient-il un nouveau Sisyphe selon que Puce décide ou non de vider systématiquement deux jarres adjacentes dont le volume d’eau total est toujours le plus élevé.
Pour les plus courageux : que se passerait-il si la contenance exacte des cinq jarres était en réalité de 9,99 litres au lieu de 10 litres ?
Solution proposée par Bernard Grosjean
Première question
Les efforts de Zig seront vains : il suffit en effet pour Puce de ne jamais laisser une jarre contenant 5 litres ou plus, même s'il se trouve par ailleurs 2 jarres adjacentes contenant un plus grand volume d'eau.
Deuxième question
Si la contenance des jarres est limitée à 9, 99 litres, montrons que le problème est possible.
Numérotons A1, A2,...An les niveaux successifs de liquide contenu dans la jarre A, épargnée par Puce, car contenant à chaque étape moins de liquide que le total de 2 autres jarres adjacentes entre- elles, (et non adjacente à la jarre A), considérées comme une jarre unique B.
Théoriquement :
A chaque étape, on doit avoir Ak = (K – a) litres et Bk = (K + a) litres, le prolème étant résolu à l'étape n quand A(n-1) >= 4,990 litres.
Nous prendrons aussi, pour l'étude théorique “a” constant (suffisamment petit).
Nous avons la suite : A1 = 5/2 – a
A2 = (A1 + 5)/2 – a = 3A1/2
A3 = (A2 + 5)/2 – a = (3A1/2 + 5)/2 - a = 3A1/4 + 5/2 – a = 7A1/4 Ak pourrait être égal à (2k -1)A1/2k-1
On aurait alors :
Ak+1 = (Ak + 5)/2 – a = ( (2k -1)A1/2k-1 + 5)/2 – a = (2k – 1)A1/2k + 5/2 – a = (2k+1 - 1)A1/2k
Nous avons bien : An = (2n - 1)A1/2n-1
Si An >= 4,990 Zig remplira la jarre de contenance 9,990 litres au tour (n+1) Prenons (par exemple) a = 0,001 litre
Nous avons A1 = 2,499
Il suffit que An = (2n - 1)2,499/2n-1 >= 4,990
Soit 2n-1 >= 2,499/0,008 = 312,375 , soit n – 1 > 8. La condition sera établie pour n = 10 et Zig remplira une jarre au 11ième tour.
Pratiquement :
Si l'on suppose que Zig ne peut mesurer moins que 0,001 litre, les valeurs de Ak seront légèrement différentes de celles calculées : (valeurs en litres)
A1 = 2,499 A2 = 3,749 A3 = 4,374 A4 = 4,686 A5 = 4,842
A6 = 4,920 A7 = 4,959 A8 = 4,979 A9 = 4,989 A10 = 4,994 et A11 = 9,990
