E660. Un nouveau Sisyphe ?
Cinq jarres vides de 10 litres de capacité chacune sont placées aux coins d’une cour pentagonale. Zig dispose d’un récipient de 5 litres et il en répartit le contenu comme bon lui semble dans les cinq jarres. Son objectif est de remplir complètement l’une au moins des cinq jarres mais chaque fois qu’il va remplir d’eau son récipient de 5 litres, Puce derrière son dos vide le contenu de deux jarres adjacentes. Quand Zig a pu remplir une jarre, il reste à la surveiller sans s'occuper des autres. Zig peut-il arriver à ses fins ou devient-il un nouveau Sisyphe selon que Puce décide ou non de vider systématiquement deux jarres
adjacentes dont le volume d’eau total est toujours le plus élevé.
Pour les plus courageux : que se passerait-il si la contenance exacte des cinq jarres était en réalité de 9,99 litres au lieu de 10 litres ?
Solution de Jean Nicot
Première stratégie de Zig : il remplit les jarres 1 et 3 au même niveau. Puce ne peut alors en rien contrarier cette stratégie.
Soit un le volume de liquide après la n ième opération de Zig.
u0 = 0 et un+1 =(un + 5)/2. On obtient un = 5 – 5/2n. S i Zig décide d’arrêter à l’opération suivante, il remplit totalement la jarre non vide et il obtient
Un+1 = 5+un = 10– 5/2n.
Il peut se rapprocher autant qu’il veut des 10 litres sans les atteindre.
Cette stratégie fonctionne si la contenance des jarres est de 9.99 litres.
Il lui faudra n+1 opérations avec n tel que 10 – 5/2n > 9,99 soit 2n >500 d’où n=9 soit 10 opérations.
Seconde stratégie de Zig : Il essaie, dans un premier temps, de remplir les 5 jarres au même niveau. Soit qn la quantité dans chaque jarre après la n ième opération de Zig. q0 = 0 et 2 q n+1 + 3(q n+1 - qn ) =5 d’ou q n+1 = 1 + 0,6 qn .
On obtient alors qn = 2,5 (1 – 0,6 n ).
Après 3 opérations, on a 1,96 litres dans toutes les jarres, puis, après l’action de Puce, dans seulement 3 jarres que l’on peut supposer être les 3 premières. Zig remplit alors les jarres n° 1 et4 à 2.5 litres et partage le reste dans les jarres 2 et 3 soit 2,94 litres chacune. Ces jarres seront ensuite vidées par Puce (ce n’est pas sa meilleure stratégie) et Zig pourra remplir à 5 litres les jarres 1 et 4. Puce ne pourra en vider qu’une, et Zig remplira l’autre à 10 litres, avec 6 opérations.
Cette stratégie ne marche que si Puce s’entête à vider deux jarres de contenance totale maximale. Elle devrait surtout laisser pleines deux jarres voisines et alors Zig n’a d’autre solution que revenir à la première stratégie.
