E660 : Un nouveau Sisyphe ?
Énoncé : Cinq jarres vides de 10 litres de capacité chacune sont placées aux coins d’une cour pentagonale. Zig dispose d’un récipient de 5 litres et il en répartit le contenu comme bon lui semble dans les cinq jarres. Son objectif est de remplir complètement l’une au moins des cinq jarres mais chaque fois qu’il va remplir d’eau son récipient de 5 litres, Puce derrière son dos vide le contenu de deux jarres adjacentes. Quand Zig a pu remplir une jarre, il reste à la surveiller sans s'occuper des autres. Zig peut-il arriver à ses fins ou devient-il un nouveau Sisyphe selon que Puce décide ou non de vider systématiquement deux jarres adjacentes dont le volume d’eau total est toujours le plus élevé.
Pour les plus courageux : que se passerait-il si la contenance exacte des cinq jarres était en réalité de 9,99 litres au lieu de 10 litres ?
Appelons tout d'abord a,b,c,d et e le contenue de chaque jarre A,B,C,D et E, disposée dans l'ordre autour de la cour, après un versement quelconque.
Supposons sans perte de généralité que a+b est la somme de volumes adjacents la plus élevée. Puce videra alors les jarres A et B. Zig a donc tout intérêt que ce soit c, d ou e qui soit le plus élevé des cinq volumes. Or, comme a+b est la plus grande somme de volumes adjacents, on sait que aeab , donc eb , et bcab , donc ca . On veut donc que d soit le plus grand volume.
On a donc : da , db , deab et dcab . De plus, d peut alors être le plus grand possible si e et c sont nuls. Et si b est nul et a=d, alors on a la plus grande valeur de d qu'on puisse espérer. On établit ainsi la meilleure situation possible pour Zig : seules deux jarres non adjacentes contiennent de l'eau et ces deux jarres contiennent le même volume.
Il s'agit alors de conserver cette situation tout au long de l'opération.
Notons alors Vn le volume de chacune des deux jarres après le ne versement. On a à ce moment un volume Vn dans les deux jarres, puis Puce en vide une laissant un volume totale Vn, enfin Zig ajoute 5 litres à ce volume totale de telle sorte à ce qu'il soit équitablement réparti sur les deux jarres.
On a donc, pour tout n∈ℕ , Vn+1 = Vn5
2 et V1 = 5/2.
Donc Vn converge vers 5 en restant toujours strictement plus petite que 5. Ce qui fait que Zig ne pourra jamais trouver une jarre contenant encore 5 litres à son retour pour pouvoir la combler avec les 5 litres du récipients, devenant alors effectivement un nouveau Sisyphe.
Par contre, il existe un rang k à partir duquel le volume dans chaque jarre dépassera 4,99 litres (k=9) , et donc si la contenance des jarres était de 9,99 litres, Zig pourrait ainsi combler une jarre.
