E660. Un nouveau Sisyphe?
Cinq jarres vides de 10 litres de capacité chacune sont placées aux coins d’une cour
pentagonale. Zig dispose d’un récipient de 5 litres et il en répartit le contenu comme bon lui semble dans les cinq jarres. Son objectif est de remplir complètement l’une au moins des cinq jarres mais chaque fois qu’il va remplir d’eau son récipient de 5 litres, Puce derrière son dos vide le contenu de deux jarres adjacentes. Quand Zig a pu remplir une jarre, il reste à la surveiller sans s'occuper des autres.
Zig peut-il arriver à ses fins ou devient-il un nouveau Sisyphe selon que Puce décide ou non de vider systématiquement deux jarres adjacentes dont le volume d’eau total est toujours le plus élevé.
Pour les plus courageux : que se passerait-il si la contenance exacte des cinq jarres était en réalité de 9,99 litres au lieu de 10 litres ?
Solution proposée par Paul Voyer:
Si Puce pouvait vider deux quelconques des jarres, Zig échouerait.
Il faut exploiter les mot "adjacentes" et "pentagonale".
Pour terminer il suffit que Zig trouve au moins la situation 5, 0, 0, 0, 0,
qui peut être obtenue s'il y avait précédemment 5, 0, 5, 0, 0, Puce ayant pris 1x5.
(une seule fois à cause de la condition d'adjacence)
Pour créer cette situation, il lui suffisait de trouver 5/2, 0, 5/2, 0, 0 au passage précédent.
Pour cela, il fallait avoir laissé à Puce 4 jarres remplies à 5/2 (Puce en a vidé 2).
La notion d'adjacence n'est plus pertinente ici, Puce vidant 2 jarres.
Zig doit donc atteindre la situation 5/2, 5/2, 5/2, 5/2, 5/2.
Zig remplit les 5 jarres en égalisant les niveaux, Puce en vide 2, le contenu total un est à chaque phase n augmenté de 5 et multiplié par 3/5.
La suite un=5+3/5*un-1 converge vers 5*5/2 au bout d'un nombre infini de phases.
Elle s'écrit un =
n
5 1 3 2 25
Zig ne peut donc pas arriver à ses fins.
Si la contenance était de 9.99 litres, alors Zig peut arriver à ses fins, il lui suffit d'atteindre un remplissage des 5 jarres à 2.49 litres, ce qui ne nécessite qu'un nombre fini de phases (11 phases > log(1-2.49/2.5)/log(0.6)).
