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11k (mod.9), k entier

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A1749 – Juste une devinette [* à la main]

Quatre chiffres a,b,c,d de cet entier à huit chiffres N = a12bc42d ont été effacés. Cet entier N est divisible par 5544. Déterminer le quotient N/5544.

Solution proposée par Raymond Bloch

5544 = 23 *32 *7 *11. Pour que N soit divisible par 8, il faut que le nombre 42d le soit, donc d =4. N est divisible par 9 : donc a+b+c ≡ 5 (mod.9). N est divisible par 11 : a+2+c+2≡ 1+b+4+4 (mod.11), ou a+c≡

b+5 (mod.11), si bien que 2b ≡ ± 11k (mod.9), k entier. On teste les valeurs possibles pour b, d’où les paires (a,c) possibles pour aboutir à la solution unique : N = 11204424, et au ratio imprévu N / 5544 = 2021.

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