A1749. Juste une devinette MB :
Quatre chiffres a,b,c,d de cet entier à huit chiffres N = a12bc42d ont été effacés. Cet entier N est divisible par 5544. Déterminer le quotient N/5544.
5544 = 8*9*7*11
2d divisible par 4 seulement si d = 4 ou 8
424 est divisible par 8, mais 428 ne l’est pas d = 4. N = a12bc424 Mod 9 a12bc424 est congru à a+ b+ c + 4 = 0
Mod 11 a12bc424 est congru à (4+ 4 + b+ 1) – ( 2+ c+ 2+ a) = b – c – a + 5 = 0 b+ a+ c = 9k – 4 avec 9k – 4 compris entre 1 et 27 donc k = 1 ou 2 ou 3 b – a – c = 11m – 5 avec 11m – 5 compris entre – 18 et +9 donc m = –1 ou 0 Les 6 valeurs de (9k – 4)+ (11m – 5) = 2b sont
m \ k 1 2 3
– 1 –11 – 2 7
0 0 9 18
Comme 2b est pair et b ≥ 0, b = 0 et a+ c = 5 ou b = 9 et a+ c = 14
Les dix nombres qui suivent sont divisibles par (9*8*11) mais 7 divise un seul d’entre eux : 11204424 11204424 91295424
21203424 81296424 31202424 71297424 41201424 61298424 51200424 51299424
Le quotient 11204424/5544 est, comme par hasard, égal à … 2021 .
