A1749 – Juste une devinette [* à la main]
Quatre chiffres a,b,c,d de cet entier à huit chiffres N = a12bc42d ont été effacés. Cet entier N est divisible par 5544. Déterminer le quotient N/5544.
Solution proposée par Daniel Collignon Comme 5544 = 7*8*9*11, nous avons : (mod 8) : 42d = 0 => d = 4
(mod 7) : 3*a+1*1-2*2-3*b-1*c+2*4+3*2+1*4 = 0 => 3a-3b+6c-6 = 0 => a-b+2c = 2 (mod 9) : a+1+2+b+c+4+2+4 = 0 => a+b+c = 5
(mod 11) : a-1+2-b+c-4+2-4 = 0 => a-b+c = 5
Ayant 1=<a=<9 et 0=<b,c=<9, alors 1=<a+b+c=<27 et -8=<a-b+c=<18 Plus précisément :
a+b+c = 5, 14 ou 23 a-b+c = -6, 5 ou 16
Comme b = ((a+b+c)-(a-b+c))/2, seuls 2 cas donnent 0=<b=<9 entier :
a+b+c = 5 et a-b+c = 5, d'où b = 0 et a+c=5 : a+2c = 2 (mod 7) => c = 4 et a = 1 : N = 11204424 = 5544 * 2021
a+b+c = 23 et a-b+c = 5, d'où b = 9 et a+c = 14 : a-9+2c = 4 (mod 7) => c = 4 et a = 10 : impossible D'où N/5544 = 2021.
