A1749. Juste une devinette
Quatre chiffres a,b,c,d de cet entier à huit chiffres N = a12bc42d ont été effacés. Cet entier N est divisible par 5544. Déterminer le quotient N/5544.
Résolution
On observe que 5544 = 7*8*9*11, on peut donc traduire la divisibilité de N par 8, 9 et 11 par les trois équations suivantes :
d = 4
a+b+c ≡ 5 (mod 9) a-b+c ≡ 5 (mod 11)
a, b et c étant compris entre 0 et 9, la seconde équation peut se traduire en a+b+c = 5 ou 14 ou 23
et la seconde
a-b+c = -6 ou 5 ou 16
Par addition membre à membre, on obtient 2a+2c à gauche ce qui permet d’exclure 5 des 9 combinaisons (celles où les résultats sont de parité contraire). 4 combinaisons sont donc encore possibles :
a+b+c = 5 a-b+c = 5
a+b+c = 14 a-b+c = -6
a+b+c = 14 a-b+c = 16
a+b+c = 23 a-b+c = 5 soit b=0 et (a,c) parmi
(0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,0)
par différence, 2b=20 impossible
soit b<0, impossible soit b=9 et (a,c) parmi (5,9), (6,8), (7,7), (8,6), (9,5)
La divisibilité par 7 se traduit elle aussi par une équation sur les chiffres composant N en utilisant les valeurs de 10n mod 7 :
1*4 + 3*2 + 2*4 + 6*c + 4*b + 5*2 + 1*1 + 3*a ≡ 0 (mod 7) soit 6*c + 4*b + 3*a ≡ 6 (mod 7)
Parmi les valeurs possibles ci-dessus, seul le triplet (a,b,c)=(1,0,4) convient.
On a trouvé N = 11204424 et on en déduit :
N/5544 = 2021
