n = 10604, a = 5544, m = 7342, m

Enonc´e n^oA471 (Diophante)

Dans le d´edale des moyennes arithm´etiques Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Probl`eme 1 : Des boules num´erot´ees de 1 `an avec 100< n <1000000 sont r´eparties dans deux sacsAetB. Le sacAcontient une boule dont le num´ero d´esigne le nombre de boules dansA. Apr`es transfert de cette boule dansB, les moyennes arithm´etiques respectives des num´eros des deux sacs A et B s’accroissent respectivement de 1/3 et de 1/2 en prenant des valeurs enti`eres. D´eterminer n.

L’´enonc´e se r´esume dans le tableau

A B

nombre de boules initial a n−a moyenne initiale m−1/3 m⁰−1/2 nombre de boules apr`es transfert a−1 n−a+ 1

moyenne apr`es transfert m m⁰ Variation dans les sommes de num´eros du fait du transfert : a= (m−1/3)a−m(a−1) =m⁰(n−a+ 1)−(m⁰−1/2)(n−a).

On en tire m = 4a/3 et m⁰ = (3a−n)/2, puis la somme de tous les num´eros

n(n+ 1)/2 = m(a−1) +m⁰(n−a+ 1) = (a−1)(m−m⁰) +m⁰n = n(3a−n+a−1)/2−a(a−1)/6.

soitn(n+1−2a)+a(a−1)/6 = 0, ou encore (12n+1−2a)² = 120n²+1.

C’est une ´equation de Fermat, qui a l’infinit´e de solutions 2(12n_k+ 1−2a_k) = (11 +√

120)^k+ (11−√ 120)^k, 2nk

√

120 = (11 +√

120)^k−(11−√ 120)^k. Les valeurs den_k satisfont la r´ecurrence

n_k+1 = 22n_k−nk−1,n0= 0, n1= 1, d’o`u la suite 0, 1, 22, 483, 10604, 232805, 5111106, . . .

et la suite correspondante de valeurs dea_k 0, 1, 12, 253, 5544, 121705, 2671956, . . .

Il faut en outre que a_k soit multiple de 3 pour quem soit entier. Avec l’intervalle 100< n <10⁶, cela ne laisse subsister que la solution k= 4,

n = 10604, a = 5544, m = 7342, m

= 3014

Le tableau du probl`eme r´esolu est par cons´equent

A B

nombre de boules initial 5544 5060 moyenne initiale 22025/3 6027/2 nombre de boules apr`es transfert 5543 5061

moyenne apr`es transfert 7342 3014

A titre d’exemple, le sacB pourrait contenir initialement les 5060 en- tiers de 484 `a 5543, le sacA contenant les 483 entiers de 1 `a 483 et les 5061 entiers de 5544 `a 10604.

1

Probl`eme 2 : Trouver le plus petit entier n > 1 tel que la moyenne arithm´etique des carr´es des n premiers entiers naturels est un carr´e parfait.

Pour les plus courageux, calculer la formule qui donne la s´equence des nombres entiers naturelsktels que la moyenne arithm´etique des carr´es desk premiers entiers naturels est un carr´e parfait.

La somme des carr´es desk premiers entiers naturels est k(k+ 1)(2k+ 1)/6.

La moyenne de ces kcarr´es est m² = (2k²+ 3k+ 1)/6.

Ainsi 48m²+1 = (4k+3)², ´equation de Fermat dont la solution g´en´erale est 4k+ 3 =Td(7), en d´esignant parTd(x) le polynˆome de Tchebychev de degr´e d. Il faut d= 2r+ 1 impair pour que T_d(7)−3 soit multiple de 4.

k_r= T_2r+1(7)−3 4

D’o`u les premiers termes de la suitek_r, tenant compte de la r´ecurrence bien connueTd+1(x) = 2xTd(x)−Td−1(x)

k0 = 1,k1 = 337,k2 = 65521,k3 = 12710881, . . . avec la r´ecurrence k_r+1= 194k_r−kr−1+ 144.

Pour les moyennes, on am0= 1, m1 = 195, et la r´ecurrence m_r+1 = 194m_r−mr−1.

Le plus petit entiern >1 avec cette propri´et´e est donc

n = k

= 337

2