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D1990 - Un zeste de calcul

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Academic year: 2022

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(1)

Soit un triangle ABC dont les côtés BC,CA et AB ont pour longueurs a,b,c .Les points P et Q sont les projections orthogonales de B et de C sur la bissectrice intérieure (L) de l’angle en A. La parallèle au côté AB passant par P coupe la parallèle au côté AC passant par Q au point R. Soit S le point symétrique de R par rapport à (L). Calculer la longueur du segment AS en fonction de a,b,c.

Si la perpendiculaire à (L) passant par B recoupe AC en C’, ABC’ est isocèle, donc P est le milieu de BC’ ; la parallèle à AC (=CC’) passant par P coupe donc BC en son milieu. De même pour la parallèle à AB passant Q : les parallèles à AB et AC passant par P et Q étant symétriques par rapport à (L), les parallèles à AC passant par P et AB passant par Q se coupent en S qui est le milieu de BC.

Donc, en appliquant le théorème de la médiane, AS2=(b2+c2)/2-a2/4

D1990 - Un zeste de calcul

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