Considérons les points Q et R, ainsi que le cercle de centre O, circonscrit à ABC. Soit H le point du cercle situé sur la médiatrice de AB et sur l'arc contenant le sommet C.
a) Les triangles AHQ et BHR sont égaux : AQ = BR par hypothèse, AH = BH par définition de H et les angles en A et B sont égaux car ils interceptent le même arc dans le cercle ABC. Donc HQ = HR et l'angle QHA est égal à l'angle RHB. Il s'ensuit que QHR = AHB = QCA (car QHR = QHA + AHR = AHR + RHB). Dès lors, H est sur le cercle (de centre w) circonscrit à QRC et il est sur la médiatrice Jw de QR.
Nous allons montrer que si I est le centre du cercle inscrit à ABC, alors wH est égal et parallèle à IO. Il en découlera bien que QR est orthogonal à IO et, par permutation, la question Q1 sera résolue. Si on suppose de plus (question Q2) que IO = QR, on voit que, dans le cercle QCHR, la corde QR est égale au rayon Hw et donc que l'angle au centre QwR est égal à 60°, si bien que l'angle en C vaudra 30°.
b) Comme AQ = AB, la bissectrice AI de l'angle en A (dans ABC) est la médiatrice de QB. De même, la bissectrice BI de l'angle en B est la médiatrice de AR. Quant à la bissectrice de l'angle en C, c'est la droite CJK joignant C au milieu J de l'arc QR et au milieu K de l'arc AB dans les cercles CQR et CAB respectivement.
Nous aurons démontré le résultat cherché si nous prouvons que I est le milieu de JK : Iw sera une droite des milieux dans le triangle HJK et, comme O est le milieu de HK, il est alors facile de voir que les vecteurs IO et wH sont égaux.
c) Nous introduirons pour cela le point K', symétrique de K par rapport à la bissectrice AI de l'angle en A.
c.1. Le point K est le centre du cercle circonscrit au triangle AIB, car on peut vérifier (par des considérations élémentaires sur les angles inscrits dans le cercle ABC) que les triangles KAI et KIB sont isocèles.
c.2. Par symétrie par rapport à la droite AI, il en résulte que K' est le centre du cercle circonscrit au triangle AIQ, mais on peut voir de plus que le point D (intersection de AR et BQ) appartient aussi à ce cercle, car l'angle QDA est égal à l'angle QIA. Dès lors, K' est sur la médiatrice de QD, et il nous suffit de prouver que J est aussi sur cette médiatrice (qui, rappelons-le, est parallèle à AJ) pour avoir prouvé que I est bien le milieu de JK.
c.3. Or le point J n'est autre que le centre du cercle circonscrit au triangle QDR... On le voit (par exemple) par une dernière considération d'angles inscrits : le point D appartient au cercle de centre J passant par Q et R car il vaut la moitié de l'angle au centre RJQ, lui-même égal à l'angle AK'Q.
Solution proposée par Catherine-A. Nadault
