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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Hutsebaut, X. (2006). Etude expérimentale de l'optique non linéaire dans les cristaux liquides: solitons spatiaux et instabilité de modulation (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des Sciences – Physique, Bruxelles.

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D 03429

Université Libre de Bruxelles

Faculté des sciences

Service d’optique et acoustique ^nA.

OPTIQUE & ACOUSTIQUE

Étude expérimentale de l’optique non linéaire dans les cristaux liquides :

Solitons spatiaux et instabilité de modulation

Dissertation originale présentée par Xavier HUTSEBAUT en vue de l’obtention du grade de Docteur en sciences.

Promoteur : Pr. Marc HAELTERMAN

Année académique 2006-2007 Université Libre de Bruxelles

00333303G V

Faculté des sciences

Service d’optique et acoustique ^OA.

OPTIQUE & ACOUSTIQUE

Étude expérimentale de Toptique non linéaire dans les cristaux liquides :

Solitons spatiaux et instabilité de modulation

Dissertation originale présentée par Xavier HUTSEBAUT en vue de l’obtention du grade de Docteur en sciences.

Promoteur : Pr. Marc HAELTERMAN

Année académique 2006-2007

1

Remerciements

Tout d’abord, je tiens à remercier le Professeur Philippe Emplit pour m’avoir donné les moyens de réaliser le présent travail. Il n’a en effet jamais exprimé la moindre réticence tant lorsqu’il s’est agi d’acheter du matériel que lorsqu’il m’a envoyé en de lointaines contrées pour me permettre de partager mes résultats. Par ailleurs, je tiens à souligner le soutien indéfectible ainsi que la confiance qu’il m’a accordée à de multiples reprises au cours de ces quatres dernières années.

Je voudrais également exprimer toute ma reconnaissance envers le Professeur Marc Haelterman pour avoir accepté d’encadrer ce travail de thèse. Malgré un emploi du temps plus que surchargé, il n’a jamais rechigné à consacrer le temps nécessaire à sa bonne réalisation. Son enthousiasme exprimé lors de nos discussions m’a contaminé et c’est ainsi que j’ai trouvé la motivation nécessaire à la réalisation de ce travail.

Ce travail ne serait resté qu’un ensemble de supputations plus ou moins aléatoires sans la colla­

boration du laboratoire ELIS de l’université de Gand. Je tiens à remercier Jeroen Beeckman et Kris- tiaan Neyts pour leur dévouement ainsi que l’ambiance chaleureuse qui règne lors de nos différentes réunions.

Je voudrais également remercier le gouvernement fédéral belge car il a permis, au travers du pro­

gramme de financement des pôles d’attraction inter-universitaires, la mise en place de la collaboration dont ce travail est un des fruits.

Je remercie également Cyril Cambournac pour son aide constante et infaillible lors de la majeure partie de ce travail. Son expérience au laboratoire fut d’une grande valeur et son sens critique lors des nombreuses lecture, relectures et autres discussions m’ont enseigné la rigueur scientifique. Je tiens également à te remercier pour les nombreux moments que nous avons passé ensemble...les étangs d’Ixelles se souviendront de ton départ

Je tiens également à remercier Pascal pour sa disponibilité lors de mes nombreux problèmes. Peu importe qu’il s’agisse de science, d’informatique ou encore de linguistique, la réponse apportée est systématiquement emprunte da la même rigueur exemplaire. Merci pour tes sorbets et ton sens de la fête qui n’a d’égal que ton sens du travail.

Je voudrais également remercier l’ensemble des personnes que j’ai côtoyées au sein du laboratoire : Louis-Philippe pour sa bonne humeur constante ainsi que pour son hospitalité toute canadienne, François parce qu’il n’a jamais avoué que je le laissais systématiquement gagner bien qu’il en soit intimement convaincu, Kien pour avoir poussé son admiration envers mon humble personne jusqu’à colouer avec moi, Eddy parce que c’est moins intéressant de débattre au diner si tout le monde est d’accord, Anh Tuan pour avoir résolu une des plus grandes énigmes de mon enfance, Ibtissame pour son travail et sa disponibilité, Adrien pour ses bonnes blagues, Nir dont l’enthousiasme fait plaisir à voir, Julien pour les discussions à Couvin, Laura pour m’avoir redonné goût à la salade, Philippe K.

pour les gosettes au champagne, Fred et Steph pour leur camaraderie, Andrée pour m’avoir enseigné

les limites, David pour le voyage au Canada, Gaétan pour ses blagues dont la finesse rivalise avec le niveau littéraire de ce manuscrit — je vous laisse juger — et enfin Simon-Pierre pour avoir partagé son bureau.

Je terminerai en remerciant toutes les personnes que j’ai côtoyées dans la vie de tous les jours au

cours de mes (longues) études.

Table des matières

1 Introduction 5

1.1 Aperçu historique... 5

1.2 Soliton optique spatial... 6

1.2.1 Diffraction, autofocalisation et soliton spatial... 6

1.2.2 Équation NLS et soliton Kerr... 9

1.2.3 Non-localité de la réponse non linéaire... 13

1.2.4 Soliton spatial : applications et contexte actuel ... 14

1.3 Les cristaux liquides... 16

1.3.1 Classification... 16

1.3.2 Cristaux liquides en phase nématique... 17

1.4 Différentes non-linéarités ... 18

1.4.1 Non-linéarité thermique... 18

1.4.2 Non-linéarité réorientationnelle... 18

1.4.3 Autres non-linéarités ... 19

1.5 Modèle théorique...20

1.5.1 Transition de Frederiks... 20

1.5.2 Réorientation moléculaire... 21

1.5.3 Équation de propagation... 24

1.6 Conclusion ... 29

2 Soliton spatial dans un cristal liquide 31 2.1 Approche numérique ...31

2.1.1 Algorithme de résolution... 32

2.1.2 Propagation de solitons... 36

2.2 Cellule et montage expérimental... 39

2.2.1 Le cristal liquide E7... 39

2.2.2 Cellule de cristaux liquides : réalisation... 40

2.2.3 Montage expérimental... 4l 2.3 Résultats expérimentaux... 43

2.4 Résultats connexes... 47

2.4.1 Simulations numériques... 47

2.4.2 Ondulation transverse... 48

2.4.3 Comportement dynamique... 53

iii

2.5 Conclusion ... 54

3 Mesure du guide auto-induit par un soliton spatial dans un cristal liquide 57 3.1 Non-localité de la non-linéarité... 57

3.1.1 Notion de non-localité ... 57

3.1.2 Résultats numériques... 60

3.2 Expérience... 63

3.2.1 Montage expérimental... 63

3.2.2 Traitement des données...64

3.2.3 Résultats... 68

3.3 Conclusion ... 71

4 Soliton d’ordre supérieur à une seule composante de champ 75 4.1 Introduction... 75

4.1.1 Définitions et contexte...75

4.1.2 Principe qualitatif... 76

4.1.3 Résultats numériques... 78

4.2 Expériences ... 79

4.2.1 Montage utilisé...79

4.2.2 Résultats obtenus... 80

4.3 Conclusion ... 82

5 Instabilité de modulation et récurrence : expériences dans un cristal liquide 83 5.1 L’instabilité de modulation spatiale en optique... 83

5.1.1 Qu’est-ce que l’instabilité de modulation ? Description dans le modèle NLS et aperçu historique... 84

5.1.2 Évolution à long terme de l’instabilité de modulation : la récurrence de Fermi, Pasta et Ulam... 91

5.1.3 Influence de la non-localité spatiale sur l’instabilité de modulation...93

5.1.4 Qu’en est-il de l’instabilité de modulation dans les cristaux liquides ?...94

5.2 Résultats numériques ... 95

5.2.1 Instabilité de modulation et courbe de gain... 95

5.2.2 Comportement à long terme de la MI... 97

5.3 Expérience... 99

5.3.1 Montage expérimental... 99

5.3.2 Résultats et discussion... 101

5.4 Conclusion et perspectives...104

TABLE DES MATIÈRES V

A Cellule à fibre optique 107

A. 1 Description de la cellule... 108

A.2 Résultats...109

A.3 Conclusion ...111

Introduction générale

A u cours de ce travail de thèse, nous avons étudié la propagation lumineuse dans un cristal liquide en phase nématique. Ce travail, qui se situe à la frontière entre deux domaines, est le fruit de la collaboration entre deux laboratoires : d’une part le service d’optique et acoustique de l’université libre de Bruxelles, au sein duquel les travaux rapportés ici ont été réalisés, et d’autre part, le laboratoire ELIS de l’université de Gand, spécialistes de l’optique des cristaux liquides.

Le cristal liquide que nous étudions est un matériau optiquement non linéaire. Nous entendons par là que ses propriétés optiques sont modifiées par la présence de la lumière en son sein. Cette altération des propriétés du matériau modifie bien évidemment le comportement de la lumière pour donner lieu à une panoplie de phénomènes.

Plus précisément, nous nous sommes attachés dans ce travail de thèse à étudier l’influence de la réorientation moléculaire sur la propagation de faisceaux optiques dans un cristal liquide en phase né­

matique. Les molécules organiques qui constituent ce matériau ont une forme similaire à un bâtonnet et présentent de ce fait des propriétés optiques différentes selon leur orientation par rapport au champ électrique. Si la température du cristal liquide se situe dans l’intervalle dans lequel il présente une phase nématique, tous les bâtonnets pointent alors dans la même direction.

Par ailleurs, les molécules constituant ce matériau sous connues pour s’orienter parallèlement au champ électrique environnant. Cette propriété est de nos jours largement exploitée dans des applica­

tions “grand public” comme par exemple, les écrans ou téléviseurs à cristaux liquides. Nous utilisons dans ce travail le champ électrique d’un faisceau de polarisation linéaire pour réorienter les molécules de cristaux liquides. Cette réorientation entraîne une augmentation de l’indice de réfraction vu par le faisceau polarisé. Une intensité optique plus importante donne donc lieu à un indice de réfraction plus élevé, lequel tend à focaliser la lumière : nous sommes en présence d’un effet optique non linéaire focalisant. Dans certaines conditions, ce phénomène non linéaire induit au sein du milieu un guide d’onde qui permet de compenser exactement l’élargissement du faisceau dû à la diffraction naturelle.

Celui-ci se propage alors sans que son profil d’intensité se déforme, c’est un soliton spatial.

Les solitons spatiaux font actuellement l’objet de nombreuses et intenses études pour deux raisons.

D’une part, il s’agit de phénomènes intéressants sur le plan fondamental. Et d’autre part, la possibilité offerte par un soliton spatial de servir comme guide d’onde pour véhiculer un faisceau signal constitue un pas vers le traitement tout-optique de l’information. En effet, cela offre la possibilité de contrôler de la lumière en utilisant de la lumière, et permet donc, en théorie, de s’affranchir des limitations de bande passante inhérentes aux connections filaires utilisées de nos jours.

Au début de notre travail, l’expertise dans le domaine des cristaux liquides au sein du service d’optique et acoustique était pour ainsi dire inexistante. La première étape de cette thèse de doctorat

1

consistait donc à obtenir un soliton spatial en utilisant la réorientation moléculaire dans un cristal liquide. Il s’agit essentiellement d’un travail de nature expérimentale, notre analyse numérique nous servant de support théorique tout au long de celui-ci.

Le premier chapitre du présent manuscrit explique en détail les différents concepts évoqués ré­

gulièrement dans la suite du travail. Il débute par la définition de la notion de soliton spatial. Nous décrivons ensuite le milieu que nous allons utiliser, un cristal liquide en phase nématique. Nous éta­

blissons ensuite un modèle théorique qui décrit la propagation lumineuse non linéaire dans une cellule planaire de cristaux liquides. Nous utiliserons ce système d’équations comme modèle dans la grande majorité des études rapportées dans ce texte.

L’étude approfondie des solitons spatiaux dans un cristal liquide fait l’objet du deuxième chapitre.

Celui-ci commence par la description de l’algorithme que nous avons élaboré pour résoudre le système d’équations différentielles non linéaires couplées établi au cours du premier chapitre. Nous présentons ensuite les résultats numériques obtenus grâce à cet algorithme. Et enfin, nous détaillons la réalisation ainsi que les résultats des différentes expériences que nous avons réalisées. La forte non-linéarité des cristaux liquides nous a permis de générer des solitons spatiaux en utilisant des puissances optiques de quelques milliwatts.

Le troisième chapitre de cet ouvrage rapporte une expérience au cours de laquelle nous avons mesuré le guide induit au sein du milieu non linéaire par un soliton spatial. Pour ce faire, nous avons recouru à un interféromètre dans lequel nous avons placé la cellule de cristaux liquides. Cela nous a permis d’y mesurer l’orientation moléculaire tandis que s’y propage un soliton spatial. Là encore, il s’agit d’un travail dont la nature est avant tout expérimentale. Il s’est avéré, comme nous avons pu l’anticiper grâce à notre travail numérique, qüe le guide induit par un soliton spatial est nettement plus large que le faisceau. Cela témoigne d’une importante non-localité spatiale de la non-linéarité qui trouve son origine dans la forte cohésion moléculaire caractéristique de la phase nématique. Nous sommes donc en présence d’un matériau dont la réponse non linéaire est spatialement hautement non locale et dans lequel nous sommes à même de réaliser des expériences en utilisant des sources continues de faible puissance. La combinaison de ces deux propriétés leur confère un grand intérêt en tant que milieu “test” pour réaliser des expériences à caractère fondamental.

Ces propriétés mises en évidence, nous les avons logiquement mises à profit dans le reste du présent travail de thèse. Ainsi, Le quatrième chapitre rapporte nos expériences sur la propagation d’un soliton d’ordre un à une seule composante de champ. Ce type de soliton peut être assimilé au mode d’ordre un du guide induit dans le milieu par le faisceau optique. Il ne pourrait par ailleurs pas se propager de manière solitaire dans un milieu dont la réponse non linéaire est spatialement locale.

Enfin, le cinquième et dernier chapitre est consacré à l’étude de l’instabilité de modulation spatiale

dans notre système. L’instabilité de modulation est un phénomène non linéaire qui permet, en théorie,

de générer des réseaux de solitons spatiaux au départ d’un faisceau large et d’intensité homogène. Il

se trouve que dans notre système, les solitons formés par instabilité de modulation ne se propage pas

de manière indépendante. Au contraire, le système revient vers la condition intiale une fois ce réseau

TABLE DES MATIÈRES 3

formé. Il s’agit d’une manifestation de la récutrence de la dynamique de l’instabilité de modulation qui

a été découverte par Fermi, Pasta et Ulam (FPU). L’observation expérimentale de ce comportement

récurrent que nous avons réalisée constitue une première en optique non linéaire spatiale à notre

connaissance.

Introduction

L

e

présent travail est consacré à la propagation lumineuse non linéaire dans un cristal liquide. Ce chapitre établit les notions nécessaires à la compréhension de notre travail ainsi qu’à son contexte.

Nous avons choisi d’aborder le sujet par le côté optique non linéaire, en commençant par expliquer la notion de soliton spatial. Après une brève introduction historique, nous développerons cette notion en établissant l’équation de Schrôdinger non linéaire, équation qui admet des solutions solitons. Nous introduirons ensuite les cristaux liquides, état particulier de la matière dont les caractéristiques ne sont pas nécessairement connues de tous. Nous nous focaliserons ensuite sur le processus de réorientation moléculaire car c’est celui qui donne naissance à la non-linéarité optique que nous étudierons tout au long de ce travail.

Nous entrerons alors dans la seconde partie de cette introduction, plus technique, qui débute avec la description mathématique de la réotientation moléculaire au sein d’un cristal liquide. Ensuite, nous établirons plusieurs équations pour la propagation de la lumière dans un cristal liquide, milieu anisotrope. Nous arriverons alors près de la finalité du présent chapitre qui consiste à établir un modèle qui permet de rendre compte de l’action du champ sur l’orientation moléculaire et vice-versa de sorte à modéliser le propagation lumineuse non linéaire dans noter cellule de cristaux liquides. Une fois que toutes ces notions seront introduites et maîtrisées, nous développerons, au cours des chapitre suivants, les travaux que nous avons réalisé ainsi que les résultats que nous avons obtenus au cours de ce travail de thèse.

1.1 Aperçu historique

C’est en 1834 que la première onde solitaire fut observée par un ingénieur, John Scott Russell, alors qu’il se observait le mouvement d’un bateau tiré par des chevaux sur le canal reliant Edimbourg à Glasgow [1]. Un phénomène étrange lui apparu lorsque le bateau ralentit sa course : l’eau qui s’était accumulée à la proue de celui-ci du fait de son mouvement devint agitée pour ensuite se séparer de l’avant du bateau et continuer à se propager dans le canal. Étant conscient qu’il ne verrait pas cela tous les jours, il décida de suivre cette onde pour le moins particulière. Il rapporta que cette vague s’était propagée sur une distance de deux à trois kilomètres en gardant une forme et une vitesse constante. Il réalisa ensuite quelques travaux dans des conditions de laboratoire afin de reproduire ce comportement inconnu et réussit à identifier la forme de cette onde (une sécante hyperbolique au carré) ainsi que

5

quelques relations liant son amplitude et sa vitesse.

L’explication de ce phénomène alors incompris n’arriva que 140 ans plus tard avec les travaux de Za- busky et Kruskal [2]. Ces auteurs étudiaient numériquement les solutions de l’équation de Korteweg- deVries, qui modélise entre autres la propagation de vagues en eaux peu profondes. Ils observèrent la formation d’entités discrètes, de forme bien définies, qu’ils nommèrent “soliton”. Ces entités inter­

agissent ou se croisent sans pour autant se déformer, d’où leur appellation qui n’est pas sans rappeler celle d’une particule. Dans une seconde phase de la propagation, le système revint vers son état initial.

De manière générale, plusieurs critères définissent la notion de soliton. Stricto sensu, il s’agit d’une solution d’un système intégrable qui ne se disperse pas au cours de son évolution. Il s’agit d’entités discrètes apparaissant grâce à l’interaction entre un processus dispersif (comme la dispersion chroma­

tique, la diffraction naturelle,...) et un effet non linéaire. Lorsque plusieurs de ces entités se rencontrent, certaines lois de conservation imposent une résistance des solitons aux collisions inter-solitons. Nous allons dans ce travail intéresser à des solitons optiques spatiaux, ce sont des ondes qui ne se déforment pas lors de leur propagation.

1.2 Notion de soliton optique spatial

1.2.1 Diffraction, autofocalisation et soliton spatial

N’importe qui ayant déjà regardé attentivement la propagation d’un faisceau optique a pu le consta­

ter : tout faisceau lumineux collimaté s’élargit plus ou moins au fur et à mesure qu’il se propage.

Prenons par exemple un pointeur laser utilisé quotidiennement de nos jours, la tache lumineuse à l’endroit pointé est bien plus grande que la taille du faisceau à la sortie même du pointeur. C’est une des illustrations d’un phénomène physique appelé diffraction et qui affecte la propagation de toute onde électromagnétique. Dans le cas présent, elle élargit le profil spatial du faisceau qui se propage.

Comme nous allons nous intéresser tout au long de ce travail à la propagation de faisceaux optiques, nous devrons constamment tenir compte de la diffraction. Il nous paraît donc indispensable de débuter notre travail par la description mathématique de la diffraction qui commence ci-dessous. Nous allons décrire ce phénomène dans le cas d’un faisceau dont le profil d’intensité est gaussien car c’est le type de faisceau que nous utilisons dans ce travail.

Soit un faisceau de profil gaussien qui se propage dans la direction donnée par l’axe z, le champ électrique correspondant au point z = 0 est donné par

A{x.y,z) = Aoe dh (1.1)

où le paramètre do correspond à la demi-largeur à laquelle l’intensité lumineuse a baissé d’un facteur

Lorsque ce faisceau se propage de manière libre, c’est-à-dire dans un milieu homogène dont l’indice

de réfraction est constant, il est possible de déterminer le profil de son champ électrique à n’importe

quelle coordonnée en z en utilisant l’approximation paraxiale et l’équation de propagation associée

1.2. Soliton optique spatial 7 [3, 4],

A{x,y,z) = —--- e 4 2k

do + 2iz/k (1.2)

En partant de cette expression, deux ou trois manipulations nous permettent sans trop de difficulté de déterminer la largeur d(z) du faisceau pour toute coordonnée z,

2 4z2 d{z) = do + —J

V itVo ^(1.3)

Le faisceau gaussien garde donc sa forme gaussienne lors de la propagation mais sa largeur augmente de manière inévitable comme l’illustre la figure suivante (1.2.1)

F

. 1.1— Illustration de la diffraction naturelle d’un faisceau gaussien d’une ceinture initiale X

se propageant dans la direction z.

Penchons-nous sur ce qu’il se passe après de grandes longueurs de propagation (conditions de champ lointain ou de Fraunhofer), le faisceau s’élargit de manière constante, d{z) ^ en formant un cône dont l’ouverture est donnée par l’angle a = 2 arctan j. En champ proche, les choses se passent différemment car l’élargissement n’est pas linéaire au début de la propagation. Pour rendre compte de cela, nous définissons la longueur de diffraction, ou longueur de Rayleigh, comme la longueur après laquelle le faisceau s’est élargi d’un facteur ^f2 en amplitude, elle vaut Lj = ^. La diffraction est un phénomène dispersif qui concerne tout faisceau dont la taille est finie. Plus le faisceau est initialement petit, plus grand sera son angle de divergence a et plus petite sera sa longueur de diffraction Lj. Donc un faisceau plus mince sera caractérisé par une diffraction plus importante. À priori, ce phénomène semble inévitable puisque basé sur la nature ondulatoire de la lumière’.

Néanmoins, Chiao, Garmire et Totvnes eurent en 1964 l’idée de compenser la diffraction naturelle par un phénomène d’autofocalisation connu sous le nom d’effet Kerr [5]. Imaginons un instant que l’indice de réfraction du matériau dans lequel se propage le faisceau optique ne soit pas constant mais puisse être modifié par la présence de la lumière de la manière suivante

w = «0 + «2L (1.4)

’ Nous considérons toujours dans ce travail des faisceaux suffisamment intenses pout ne pas tenir compte d’effets quan­

tiques liés à la nature corpusculaire de la lumière.

où «0 est l’indice de réfraction du milieu lorsqu’il n’est pas excité par un champ électrique, / est l’intensité lumineuse et «2 est le coefficient de Kerr. La figure suivante illustre les phénomènes de diffraction (fig. 1.2(a)) et d’autofocalisation dans un milieu de Kerr (fig. 1.2(b)).

(a) (b)

F

. 1.2 - Illustration qualitative des phénomènes de diffraction et d’autofocalisation. Le trait plein représente l’enveloppe du champ optique, les traits en pointillé correspondent au front d’onde du faisceau.

La figure 1.2(a) nous montre la diffraction naturelle du faisceau : le front d’onde -Le. les points dont la phase est la même- s’ouvre progressivement et le faisceau s’étale donc de plus en plus au cours de la propagation. La courbure du front d’onde, et donc la diffraction, sera d’autant plus forte que le faisceau est mince à sa ceinture. Lorsque le même faisceau en forme de cloche se propage dans un milieu de type Kerr, l’augmentation d’indice de réfraction induit un retard de phase plus important en son centre et le front d’ondes se retrouve donc courbé dans l’autre sens et se referme. Par conséquent, le faisceau se rétrécit en cours de propagation. Ce phénomène illustré par la figure 1.2(b) est d’autant plus prononcé que l’intensité lumineuse du faisceau est importante.

En choisissant bien la largeur du faisceau ainsi que son intensité, il est possible d’obtenir un équi­

libre entre la diffraction naturelle et cette autofocalisation non linéaire. Le front de phase forme alors des plans perpendiculaires à la direction de propagation et le faisceau se propage sans que son profil ne se déforme. C’est un soliton spatial. La propagation de ce type d’onde est schématisée sur la figure 1.3.

F

. 1.3 - Propagation d’un soliton spatial. Le front d’onde reste perpendiculaire à la direction de propagation et le faisceau se propage sans se déformer.

La notion de soliton spatial peut également se comprendre en termes d’onde auto-guidée. Le fais­

ceau induit un guide optique au sein du milieu par l’intermédiaire de la non-linéarité optique. Un

1.2. Soliton optique spatial 9 soliton spatial peut alors être considéré comme un mode propre de ce guide, lequel compense alors exactement l’élargissement dû à la diffraction naturelle de ce faisceau.

Cette découverte donna naissance à toute une série de recherches sur les solitons optiques en raison d’une part du caractère particulier de ces ondes, mais aussi en raison du vaste champ d’applications qu’ouvre le concept de soliton optique. Sur le plan historique, ces recherches ont débuté précisément avec l’étude des milieux de type Kerr. D’autre part, l’évolution du champ dans ce type de milieu est décrite par l’équation de Schrôdinger non linéaire (1.21), qui est du même type que celle que nous allons établir plus loin dans ce chapitre pour décrire la propagation lumineuse dans un cristal liquide.

Pour ces deux raisons, nous avons choisi d’expliquer en détail la propagation lumineuse dans les milieux de Kerr. Cela permettra également au lecteur de se familiariser à la notion de soliton spatial ainsi qu’aux différentes notions qui gravitent autour.

1.2.2 Équation de Schrôdinger non linéaire et soliton de Kerr

Nous allons à présent traiter plus en détail la propagation d’une onde dans un milieu présentant une non-linéarité de type Kerr. L’équation de propagation d’une onde dans un milieu diélectrique non magnétique et sans source est décrite par les équations de Maxwell [6]

1 _ 1

dt'^ SoC^ dt^ ’ ^(1.5)

où la polarisation P, qui est la réponse du milieu au champ électrique, peut s’écrire sous la forme d’un développement en série de puissances de E,

P(r, t) = P<’>(r, t) + P^^’(r, t) + P^^^(r, t) + ... (1.6) dont les différents termes sont repris ci-dessous

P'’’(r,0 = eo P'^V, t) = eo P®(r,0 = £o

- r', / -1’) : E(r', t')dh'dt' (1.7)

f^\r -r',t- t’-r - r", t - t") : E(r', î'W. t")dh'dh"dt'dt" (1.8)

f‘^’(r r - r", / - t"; r - r'", / - t”’) : (1.9) E(r', /")E(r"', r)d\'dh"d\”’dt’dt"dt'

on est le tenseur de susceptibilité de degré n et d’ordre n+1. Dans le cas d’une non-linéarité de type Kerr, les réponses sont locales dans l’espace et instantanées, ces tenseurs se réduisent alors à des distributions de Dirac et les différentes expressions ci-dessus se simplifient considérablement pour donner de simples produits tensoriels.

P®(r, t) = • E(r, t)E(r, t) p(3)(r, t) = : E(r, OE(r, f)E(r, t)

( 1 . 10 )

(1.11)

Notons que, lorsque le milieu présente une symétrie centrale en ce qui concerne ses propriétés électromagnétiques, le terme doit s’annuler. En effet, dans un milieu dont les propriétés sont

centrosymétriques, un changement de sens du champ électrique E induit le même changement dans la polarisation, ce qui n’est pas possible tant que les termes d’ordre pair de la susceptibilité ne sont pas nuis. Les milieux de Kerr sont des milieux à symétrie centrale et donc le terme s’annule ainsi que tous les termes d’ordre pair de la susceptibilité.

Supposons que le champ E soit de polarisation linéaire constante et que l’onde soit monochroma­

tique en première approximation. Le champ électrique peut alors s’écrire sous la forme scalaire suivante E(r, 0 = ^ [E(r, ?)exp(-/a»oO + c.c.]Jc. (1.12) où Je est un vecteur unitaire orienté selon la polarisation du champ. Si l’on considère à présent l’expres­

sion de la polarisation P(r, t) à la lumière des différentes hypothèses qui viennent d’être énoncées, il vient l’expression suivante :

P(T,t) = £o(y” + ^A’‘'’l^(r.0p)^(r,/)(+O(5)) (1.13)

La permittivité électrique du milieu est définie par la relation entre le champ électrique E et le champ de déplacement D, elle peut s’écrire dans un milieu de Kerr sous la forme

D(r, t) = sE{r, t) = SoEir, t) + P{r, t) = eo |l t) (Ll4)

La permittivité relative du milieu Sr, qui équivaut au carré de l’indice de réfraction dans un milieu neutre sur le plan magnétique, s’exprime donc

e, = n^ = |l -f-y” + (L15)

et l’indice de réfraction vaut donc

” = .^1 +y” + ^y^4E(r, OP (1.16)

Pour autant que la partie non linéaire de la polarisation soit petite devant la partie linéaire, cette expression peut alors s’approcher de la manière suivante

n =^no + H

\E(

, r)P = «o + ^y^’|E(r, t)Ÿ, (1.17) 8«o

où «0 = VI +y” est l’indice de réfraction du milieu en l’absence d’intensité lumineuse et le coeffi­

cient

est le coefficient de Kerr.

1.2. Soliton optique spatial 11 Reprenons à présent l’équation de propagation du champ électrique E (1.5), supposons que le champ peut être décrit par une superposition d’ondes planes qui se propagent dans la direction donnée par l’axe z.

E{r,t) = A{x, y, z) exp {ikz) (1.18)

Cette mise en forme nous permet d’utiliser l’approximation paraxiale pour séparer les différentes échelles qui entrent en jeu ; nous supposons que les variations de l’enveloppe du champ électrique A se font sur une distance nettement plus grande que sa longueur d’onde. Cela revient à négliger la dérivée seconde de A par rapport à z devant les variations du champ à la fréquence optique,

d^A , dA ZTT- « k—

dz^ dz (1.19)

Si nous supposons par ailleurs que le faisceau est continu, c’est-à-dire que son intensité est constante dans le temps, les dérivées temporelles du terme A(x,y, z) s’annulent. En combinant ces hypothèses et en les utilisant dans l’équation de propagation de l’onde 1.5, celle-ci se transforme alors pour donner

^.,dA 2ik— +

oz

d^A d^A dx^ dy^

23

x

^^MV

= 0

c2 A (1.20)

Or, la relation de dispersion linéaire du nombre d’ondes k = ^ [l +A'*''] nous permet d’encore simplifier cette relation

..dA 2ik— +

oz

d^A d~A

-I- 2kkon2\AŸ'A = 0, (1.21) où le coefficient «2 = coefficient de Kerr. L’équation 1.21 est connue sous le nom d’équation de Schrôdinger non linéaire (NLS). Elle se compose de trois termes : le premier comporte une dérivée en z qui est la direction de propagation, il s’agit du terme d’évolution. Notons qu’en raison de la présence du facteur 2ik devant ce terme, l’influence des autres termes réels de cette équation se traduira par une modulation de la phase de l’onde et non de son amplitude. Le second terme mène à un élargissement du faisceau et rend compte de la diffraction naturelle du faisceau dans les deux dimensions transverses x et y. Et enfin le dernier terme rend compte de la modulation de phase en raison de la non-linéarité du milieu.

En plus de décrire l’évolution de l’enveloppe du champ optique dans un milieu de Kerr focalisant, l’équation NLS décrit également l’évolution d’une impulsion lumineuse dans une fibre optique. La dispersion de vitesse de groupe remplace alors la diffraction. Selon le régime de dispersion, il y aura ou non un signe négatif devant le terme dispersif qui est alors une dérivée seconde de l’enveloppe par rapport au temps. En régime de dispersion anormale, l’automodulation de phase peut compenser la dispersion pour donner lieu à une impulsion qui se propage alors que son enveloppe temporelle reste inchangée dans le repère évoluant à la vitesse de groupe. Cette impulsion particulière résultant de l’équilibre entre dispersion et auto-modulation de phase est un soliton temporel [7].

Pour autant que le problème n’ait qu’une seule dimension transverse dans laquelle le faisceau dif-

fracte, il est possible de trouver des solutions exactes de l’équation 1.21 en utilisant la méthode de

diffusion inverse [8]. Le système est alors complètement intégrable et la solution d’ordre fondamental correspond en réalité la fonction trouvée par John Scott Russel lors de ses premiers travaux plus de cent ans auparavant, c-à-d. le carré d’une sécante hyperbolique. Une étude de stabilité des solutions solitons de l’équation 1.21 révèle que les solitons à une dimension transverse sont stables. En outre, nous allons dans le reste de ce travail adopter la notation suivante : nous parlerons de soliton à (N+1) dimensions ou (N+1)D lorsque le confinement aura lieu dans N dimensions transverses, le "+1" correspondant à la dimension de propagation.

La première démonstration expérimentale de soliton de type Kerr à (1 + 1) dimensions a été réa­

lisée par Alain Barthélemy et al. dans du disulfure de carbone massif [9]. La non-linéarité ayant été supprimée dans l’autre dimension par un artifice expérimental.

Les choses se compliquent lorsque plusieurs dimensions transverses sont prises en compte dans l’équation NLS, l’ajout d’une dimension donne en effet naissance à toute une série d’instabilités trans­

verses en fonction des signes respectifs des termes diffractifs/dispersifs^ et non linéaire [10]. En théorie, un soliton à plus d’une dimension transverse est instable dans un milieu Kerr dont la non-linéarité et les termes de diffraction sont positifs comme le cas que nous considérons [11, 12]. Il est possible de montrer qu’au-delà d’une certaine intensité critique, d’après le modèle NLS, un faisceau focalisera selon toutes les dimensions transverses jusqu’à ce que toute l’énergie soit accumulée en un point de l’espace, et ce après une distance de propagation finie. Cette autofocalisation catastrophique n’apparaît jamais en pratique car différents mécanismes dont ne tient pas compte le modèle NLS entrent en jeu lorsque des intensités lumineuses plus importantes sont considérées. Ces différents mécanismes sta­

bilisent la propagation à plusieurs dimensions transverses et permettent donc d’observer des solitons (2+l)D.

Parmi tous les mécanismes connus pour empêcher l’auto-focalisation catastrophique dans les sys­

tèmes de type Schrodinger non linéaire, nous pouvons identifier ceux qui prennent le plus d’impor­

tance en optique non linéaire. Tout d’abord, la non-linéarité du milieu n’est jamais infinie, il y aura bien un moment où celle-ci arrivera à saturation et l’indice de réfraction cessera donc d’augmenter.

Allan W. Snyder et John D. Mitchell on montré en 1997 que si la dépendance de la non linéarité n’est plus linéaire mais logarithmique, le faisceau se stabilise et il existe alors des solutions stables à plusieurs dimensions transverses [13]. Le même résultat peut être obtenu en ajoutant à la réponse positive et donc focalisante, une réponse d’ordre supérieur défocalisante [14, 15]. Par ailleurs, la non-localité de la non-linéarité (cf. § 1.2.3) constitue également un facteur stabilisant la propagation soliton à plusieurs dimensions transverses [16, 17]. Enfin, si ni la non-localité? ni la saturation de la non-linéarité ne suffisent à empêcher l’auto-focalisation catastrophique du faisceau, celui-ci se rétrécira jusqu’à ce que sa dimension transverse devienne comparable à sa longueur d’onde. L’approximation paraxiale (1.19) perd alors sa validité et il faut donc rajouter un terme de non-paraxialité dans l’équa­

tion NLS pour rendre compte de la propagation de manière plus réaliste. Ce terme stabilise également

^Le temps est équivalent à une dimension transverse lorsqu’on considère que l’enveloppe du champ A n’est pas constante.

1.2. Soliton optique spatial 13 la propagation à plusieurs dimensions transverses [18],

Le système que nous étudions dans le présent travail n’est pas non plus à proprement parler un milieu de Kerr. Cependant, nous avons choisi de présenter en détail ces milieux pour deux raisons : d’une part, nous reprendrons la plupart des hypothèses citées dans cette section pour établir l’équation de propagation lumineuse dans notre système, et d’autre part, sa présentation permet au lecteur de se familiariser avec la notion de soliton et son contexte. Il existe par ailleurs tout une série de milieux optiquement non linéaires mais présentant des non-linéarités non-Kerr et qui font l’objet d’études approfondies [19].

1.2.3 Non-localité de la réponse non linéaire

Dans certains milieux, la nature du mécanisme physique donnant lieu à la non-linéarité optique rend celle-ci intrinsèquement non locale dans l’espace. Elle ne peut donc pas être approchée de manière réaliste par une distribution de Dirac comme le suppose le modèle NLS. C’est notamment le cas lorsque la non-linéarité provient d’un mécanisme dont la nature impose une diffusion spatiale comme par exemple une élévation de la température. L’élévation de température créée dans un milieu par un faisceau mince ne se cantonnera pas à la seule zone irradiée par le faisceau mais s’étendra sur une zone plus large en raison de la diffusion de la chaleur. Dans ce genre de cas, la réponse non linéaire du milieu n’est plus simplement proportionnelle au champ optique mais plutôt le résultat du produit de convolution entre l’intensité du champ optique A et la fonction de réponse non linéaire du milieu R :

^CO

An{x) = I R{x - x)\A(x')Ÿ’dx (1.22) De cette manière, l’indice de réfraction en un point x dépend non seulement de l’intensité lumineuse en ce point mais aussi en ses alentours par l’intermédiaire de cette fonction de réponse R. En parlant avec les mains, cela signifie que la largeur de la modulation d’indice induite par un faisceau au sein d’un milieu non linéaire n’est plus directement proportionnelle à l’intensité de ce faisceau contrairement à ce qu’il se produit dans un milieu de Kerr. Plusieurs cas peuvent d’ailleurs être identifiés en fonction de la largeur du faisceau vis-à-vis de celle de la réponse non linéaire. Les plus intéressants d’entre eux sont représentés schématiquement sur la figure 1.2.3

Le premier cas, dépeint par le schéma 1.4(a), correspond à une fonction de réponse en delta de Dirac et donc à un milieu de Kerr pour autant que les autres hypothèses soient remplies. Le cas d’un milieu dont la réponse est étroite mais d’une largeur néanmoins finie est illustré par la figure 1.4(b).

Dans ce cas, il est possible de montrer que pour autant que la fonction de réponse est symétrique et que sa transformée de Fourier est définie positive, il est impossible d’observer l’auto-focalisation ca­

tastrophique à (2+l)D car la non localité, aussi petite soit-elle, stabilise la propagation du fait que la norme du champ optique est bornée [17]. Le troisième schéma décrit la situation lorsque la réponse non linéaire est nettement plus large que le faisceau (Fig. 1.4(c)). Il s’agit d’un système hautement non local comme celui que nous allons étudier dans le présent travail. En plus d’être démontrée expérimen­

talement et de faire l’objet du chapitre 3, cette notion revient un peu partout dans le présent manuscrit

(a) (b)

F

. 1.4 — Comparaison de la largeur relative du faisceau yl (trait noir) et de la fonction de réponse non linéaire R (trait gris). Fig. 1.4(a), non-linéarité purement locale de type Kerr. Fig. 1.4(b), non-linéarité faiblement non locale. Fig. 1.4(c), non-linéarité hautement non locale.

et nous avons donc jugé opportun de brièvement l’introduire dès maintenant. La non-localité, en plus de permettre la propagation de solitons à (2+1) dimensions, présente d’autres avantages. Il est en effet possible d’utiliser cette propriété pour faire interagir des solitons à distance [20]. Par ailleurs lorsque le milieu est hautement non local, le modèle de propagation NLS se simplifie considérablement pour se résumer à la physique de l’oscillateur harmonique [21].

1.2.4 Soliton spatial : applications et contexte actuel

Les solitons spatiaux font l’objet de nombreuses études à l’heure actuelle pour deux raisons. Tout d’abord, il s’agit de phénomènes relativement nouveaux dont toute la physique n’a pas encore été ex­

plorée à l’heure actuelle. Il y a donc un intérêt d’ordre fondamental derrière certaines études. Mais il y a également d’autres intérêts beaucoup plus terre à terre derrière l’étude des solitons optiques dasn la mesure où ceux-ci ouvrent en effet des portes à la commutation et au traitement tout-optique de l’in­

formation. L’idée derrière ces applications potentielles consiste à utiliser le guide induit par un soliton spatial pour y véhiculer un second faisceau signal. Le fait d’utiliser un support optique pour le signal permet de s’affranchir d’effets capacitifs rencontrés dans les connexions électriques filaires. Il devient donc possible en théorie d’atteindre une bande passante nettement supérieure à la limite intrinsèque des systèmes utilisant l’électron comme support de l’information. La possibilité offerte par les solitons spatiaux de compenser la diffraction et de travailler à largeur constante permet d’envisager une densité d’intégration plus élevée dans un dispositif comme une interconnexion optique reconfigurable. Si les solitons transportent de l’information, il devient également possible d’utiliser les différentes instabili­

tés pour réaliser des commutateurs ultra-rapides, ou encore d’exploiter les interactions entre solitons en vue de fabriquer des portes logiques tout-optiques [22, 23]. Par ailleurs, il est également possible d’utiliser un soliton spatial comme guide intermédiaire entre deux dispositifs comme par exemple des micro-sources de type VCSEL ou encore dans des dispositifs de couplage entre un laser et une fibre optique [24].

Jusqu’il y a une quinzaine d’années, les solitons optiques étaient principalement étudiés dans le

1.2. Soliton optique spatial 15

domaine temporel en raison du plus grand intérêt qui leur était accordé en tant que potentiels por­

teurs d’information dans une fibre optique. Les études dans le domaine spatial se cantonnaient alors au milieux de Kerr, comme le CS2 par exemple. Bien que ces milieux soient “facilement” modélisables, leur faible non-linéarité requiert futilisation de sources pulsées pour observer des effets non linéaires, ce qui ne facilite pas les réalisations expérimentales. Les choses se sont néanmoins améliorées lorsque les chercheurs ont commencé à s’intéresser aux matériaux semi-conducteurs dans le cadre de l’optique non linéaire. Ceux-ci présentent en effet une non-linéarité plus élevée et dont le temps de réponse est considéré comme instantané. Les semiconducteurs comme l’AlGaAs sont encore aujourd’hui considé­

rés comme des "milieux tests" pour le modèle NLS [25].

L’arrivée des cristaux photoréfractifs a dans un certain sens démocratisé l’étude des solitons spa­

tiaux. Il s’agit de cristaux dans lesquels plusieurs mécanismes sont de nature à modifier l’indice de réfraction (SBN, LiNB03). Le mécanisme le plus prometteur et le plus étudié en optique non linéaire est l’effet d’écran (screening soliton en anglais). La forte non-linéarité saturable que présente ce phé­

nomène a permis d’obtenir facilement des solitons spatiaux à (2+l)D de manière stationaire et stable [26]. Ce résultat peut en effet être atteint en utilisant une source continue d’une puissance de quelques milliwatts seulement, chose impensable avec des matériaux de Kerr. D’autre part, la non linéarité de ces milieux présente des propriétés de non-localité et de saturation qui ne sont pas courantes sur le plan expérimental, ce qui confère également à ces matériaux un intérêt sur le plan fondamental [27].

De plus, le temps de réponse de ces matériaux est lent, ce qui rend possible la génération de solitons en lumière incohérente [28].

Le présent travail est consacré à l’étude des solitons spatiaux dans les cristaux liquides en phase nématique. Dans le domaine de l’optique non linéaire, ces matériaux sont encore considérés comme exotiques mais prometteurs. Ils partagent en effet une bonne partie des propriétés intéressantes que possèdent les cristaux photoréfractifs tout en étant plus simples à utiliser. Nous aurons le loisir de dé­

couvrir ces propriétés tout au long du présent manuscrit. La première expérience d’autofocalisation dans un cristal liquide a été menée par Erez Braun et ses collaborateurs en 1993 [29]. En injectant sim­

plement de la lumière dans un capillaire rempli de cristal liquide, ils observèrent de manière qualitative un phénomène d’autofocalisation dont ils attribuèrent rapidement l’origine à un processus de réorien­

tation moléculaire [30]. Cinq années plus tard, d’autres expériences de propagation lumineuse ont été menées par Marc Warenghem et ses collègues dans d’autres cristaux liquides en phase nématique [31].

Ce travail diffère des précédents en raison du mécanisme donnant naissance à la non-linéarité du mi­

lieu. Il s’agit en effet d’une non-linéarité d’origine thermique dans ce dernier cas. En 2000, une équipe de l’université de Rome menée par Caetano Assanto eut la brillante idée de préorienter les molécules de cristal liquide afin d’en augmenter en quelque sorte la non-linéarité réorientationnelle des cristaux nématiques [32]. En agissant de la sorte, les auteurs sont parvenus à générer de manière stable et re­

productible un soliton spatial dans un cristal liquide en phase nématique en utilisant la réorientation

moléculaire. Le présent travail étudie diverses propriétés des solitons qui peuvent être générés dans le

système proposé par ces auteurs.

1.3 Le milieu non linéaire : les cristaux liquides en phase néma- tique

Après nous être suffisamment étendus sur la notion de soliton spatial pour cerner le contexte dans lequel s’inscrit ce travail, nous pouvons dès à présent entamer l’étude de notre système à proprement parler. La première étape dans cette étude consiste à caractériser, au moins sur le plan théorique, le milieu dans lequel nous allons travailler : cela fait l’objet de la présente section.

1.3.1 Classification des différents types de cristaux liquides

Le milieu non linéaire que nous considérons dans ce travail est un cristal liquide. Ces matériaux particuliers sont des mésophases que présentent certains composés organiques. Une mésophase est une phase intermédiaire combinant dans ce cas certaines propriétés des phases solides et liquides tradi­

tionnelles. De manière générale, les propriétés empruntées aux solides sont des propriétés d’ordre au niveau moléculaire tandis que les caractéristiques mécaniques sont très semblables à celle des liquides.

Les cristaux liquides peuvent être classés en fonction des paramètres contrôlant le type de mésophase.

On distingue principalement :

Les cristaux liquides lyotropiques. Ils s’obtiennent par la dissolution d’un composé dans un solvant.

Généralement, il s’agit d’eau et de molécules amphiphiliques, possédant une extrémité hydrophile (qui interagit avec l’eau) et une hydrophobe. Ces molécules se regroupent alors en plus grandes entités qui peuvent s’arranger spatialement. La concentration de soluté est le paramètre déterminant l’apparition d’une mésophase dans ce type de composé.

Les cristaux liquides polymériques. Formées par un assemblage de monomères rigides, les molécules constituants ce type de cristaux liquides sont parfois assez flexibles et susceptibles de former des mé­

sophases en fonction des propriétés des liens entre les monomères. Ils se caractérisent généralement par une viscosité très élevée. Notons que certains cristaux liquides polymériques présentent également des propriétés thermotropiques, c’est-à-dire qu’ils forment différentes mésophases en fonction de la température.

Les cristaux liquides thermotropiques. Il s’agit de la classe la plus importante, la plus utilisée et la plus étudiée des cristaux liquides. Le paramètre déterminant la phase d’un matériau donné est dans ce cas la température. Les différentes phases présentées par ces matériaux sont nommées en fonction du type d’ordre qui caractérise ces phases : nématique, cholestérique ou smectique. Ces matériaux sont constitués de molécules en forme d’axe (axiale) ou de disque (discotique). La phase nématique est la plus simple des phases, toutes les molécules étant alignées dans la même direction. La phase choles­

térique ou nématique chirale est une phase nématique dont l’orientation moléculaire moyenne varie

en fonction de la position. Et enfin, les cristaux smectiques présentent un ordre à la fois directionnel

1.3. Les cristaux liquides 17 et translationnel. Notons que les cristaux smectiques sont eux-même divisés en plusieurs catégories en fonction de leur arrangement. La figure 1.5 illustre de manière schématique ces différentes mésophases.

Signalons enfin que tous les composés ne présentent pas forcément toutes ces mésophases.

F

. 1.5 - Principales mésophases d’un cristal liquide thermotropique, a) Nématique, toutes les molé­

cules sont alignées autour d’une même direction moyenne b) Cholestérique, la direction moyenne varie en fonction de la position c) Smectique A, ordre translationnel et direction constante d) Smectique C, ordre translationnel mais la direction forme un angle avec la normale de la couche de molécules.

1.3.2 Cristaux liquides en phase nématique

Pour être tout à fait précis, le cristal liquide que nous utilisons est un cristal nématique uniaxe dont les molécules prennent la forme de petits bâtonnets. Nous en donnons dans les lignes qui suivent une description plus détaillée. L’orientation moléculaire, paramètre physique déterminant, est mathémati­

quement décrite à l’aide du vecteur directeur ri dont la direction est commune avec celle du grand axe de la molécule.

F

. 1.6 — Représentation d’une molécule de cristal liquide nématique et de son vecteur directeur ri.

En raison de leur forme allongée, ces molécules présentent une permittivité électrique —et donc un indice de réfraction- différente selon que le champ électrique est aligné parallèlement (fi//) ou perpen­

diculairement (e_i_) au vecteur fi. Le terme uniaxe rend compte du fait que la permittivité électrique Sj_ est la même dans toutes les directions perpendiculaires au vecteur fi. Il n’y a donc que deux per­

mittivités différentes et la seule direction du vecteur « suffit à caractériser entièrement l’orientation

des molécules de cristal liquide. Il s’agit donc de matériaux anisotropes dont la biréfringence varie en fonction de l’angle entre le champ électrique et n. En effet, celle-ci sera maximale lorsque fi et le champ électrique sont colinéaires et nulle lorsqu’ils sont perpendiculaires.

1.4 Les différentes non-linéarités optiques au sein d’un cristal li­

quide en phase nématique

1.4.1 Non-linéarité thermique

La plus simple des non-linéarités optiques présentes au sein d’un cristal liquide est celle d’origine thermique. Elle consiste en une variation de l’indice de réfraction en fonction de la température. Lors­

qu’un cristal liquide qui possède cette propriété est irradié par de la lumière, il en absorbe une partie, ce qui contribue à augmenter sa température. Il s’agit d"un effet non linéaire dont la dynamique est très lente mais qui a néanmoins été étudié, dans le contexte des solitons spatiaux, en profondeur par le groupe de Marc Warenghem de l’université d’Artois en France. Ces auteurs sont en effet parvenus à mettre à profit ce phénomène non linéaire pour générer des solitons spatiaux dans un tube rempli de cristal liquide [33, 34]. Par ailleurs, la phénoménologie a pu être modélisée en combinant équations de Maxwell et équation de diffusion de la chaleur [35]. Notons enfin que ces travaux ont été menés dans des cristaux liquides en phase nématique, dont l’indice varie de manière non négligeable en fonction de la température, ce qui n’est pas le cas du cristal que nous utilisons dans ce travail (décrit dans la section 2.2.1).

1.4.2 Non-linéarité réorientationnelle

Comme stipulé dans le paragraphe 1.3.2, les molécules de cristal liquide nématique sont hautement anisotropes en raison de leur forme allongée. De ce fait, la permittivité électrique de ce matériau est différente en fonction de la direction du champ électrique par rapport à «. Le champ de déplacement D peut s’exprimer dans ce cas de la manière suivante :

D = e^Ê + {e//- Sj_)(n.Ê)n. (1.23)

Dès lors, nous pouvons calculer la densité d’énergie libre résultant de l’interaction entre les molé­

cules et le champ électrique, elle est donnée par l’expression suivante :

/

= -b.Ê = -^AE.Ê) - (1.24)

Le premier terme de droite de l’équation 1.24 ne dépendant pas de l’orientation moléculaire et n’exerce donc pas d’influence sur celle-ci. Considérons le cas d’un composé dont l’anisotropie est positive (£// > fij,). Dans ce cas, l’énergie libre sera minimale lorsque fi est parallèle à .£ et les mo­

lécules s’aligneront donc dans la direction parallèle au champ électrique environnant. Inversement,

1.4. Différentes non-linéarités 19 des molécules dont l’anisotropie est négative s’aligneront perpendiculairement au champ électrique environnant.

F

. 1.7- Illustration du processus de réorientation moléculaire sous l’action d’un champ électrique dans le cas d’un cristal liquide nématique dont l’anisotropie est positive. Les molécules tendent à s’aligner parallèlement à la direction du champ électrique E.

Une autre approche plus mécanique mais communément admise consiste à parler en termes de couple exercé par le champ électrique sur les molécules de cristal liquide. De la sorte, une analyse simple permet de déduire qu’il existe deux positions d’équilibre dans le cas d’un cristal d’anisotropie positive. Lorsque le champ électrique est parallèle au vecteur n, l’équilibre est stable tandis qu’il est instable lorsque ces deux vecteurs sont perpendiculaires.

Le processus de réorientation moléculaire est à la base du présent travail. Imaginons une lumière polarisée selon l’axe x sur la figure 1.7. Le champ électrique va causer la réorientation les molécules de cristaux liquides. En retour, cette réorientation entraîne une variation de l’indice de réfraction vu par la lumière polarisée. Dans le cas d’un cristal liquide dont l’anisotropie est positive -comme celui que nous considérons dans ce travail—, cela donne lieu à un effet d’auto-focalisation de la lumière.

Par ailleurs, les molécules que nous utilisons dans ce travail sont considérées comme centro- symétriques en ce qui concerne leur propriétés électromagnétiques. Nous pouvons donc en déduire que les non-linéarités seront d’ordre impair et que le terme dominant de la non-linéarité sera le comme dans un milieu de Kerr. Notons toutefois que même si les molécules sont centro-symétriques, la symétrie du milieu peut-être brisée de manière artificielle comme à l’interface entre le cristal liquide et un autre milieu. Il peut alors apparaître des effets non linéaires d’ordre deux comme de la génération de seconde harmonique.

1.4.3 Autres non-linéarités

Il existe par ailleurs d’autres phénomènes qui peuvent donner lieu à une modification de l’indice

de réfraction d’un cristal liquide. Une revue des ces effets non linéaires peut se trouver dans la référence

[36]. Citons principalement l’alignement sous l’influence du champ électrique dans un cristal liquide

en phase isotrope, ou encore la création par absorption de chaleur, d’un canal isotrope au sein d’un

cristal liquide en phase nématique.

1.5 Modélisation de la propagation lumineuse non linéaire dans un cristal liquide en phase nématique

Armés de tous les concepts nécessaires, nous pouvons maintenant présenter la modélisation mathé­

matique du système que nous avons étudié au cours de nos differents travaux. Ce système est illustré de manière schématique sur la figure 1.8 ci-dessous.

F

. 1.8- Illustration de la cellule de cristaux liquides. La cellule à une épaisseur L et est polarisée par une tension V à basse fréquence. Le faisceau optique se propage selon z et son champ électrique A est polarisé linéairement selon x.

Le cristal liquide est confiné entre deux plaques de verre séparées par une distance L. Celles-ci sont traitées de façon à permettre l’application d’une différence de potentiel V à basse fréquence, mais également pour forcer les molécules à s’aligner parallèlement à l’axe z aux parois internes de la cellule. La réalisation expérimentale de ce type de cellule est décrite de manière approfondie au cours de la section 2.2.2. Nous allons propager un faisceau optique au centre de la cellule dans la direction donnée par l’axe z. Ce faisceau est polarisé linéairement selon l’axe x de sorte qu’il réoriente les molécules sur son passage afin de donner lieu à l’effet d’auto-focalisation. Nous supposons que les molécules de cristal liquide ne se déplacent pas et tournent uniquement dans le plan sous-tendu par les axes x et z. Ce mouvement de rotation est ainsi caractérisé par la variable 6 qui est l’angle entre le vecteur directeur rt et l’axe z. Étant donné que la phase nématique ne présente pas d’ordre positionnel, la seule connaissance de l’angle 9 en chaque point de la cellule de nous permet de caractériser le cristal liquide.

L’interaction de la lumière avec le cristal liquide peut dans notre cas se décomposer en deux phéno­

mènes physiques couplés : la réorientation des molécules sous l’effet du champ électrique optique d’une part, et la propagation de la lumière dans le cristal liquide d’autre part. Nous allons établir les équations qui régissent ces phénomènes pour ensuite en discuter les différentes approximations possibles.

1.5.1 Transition de Frederiks

Les molécules de cristal liquide sont confinées dans une cellule traitée de façon à ce qu’elles soient

ancrées fortement aux interfaces. Par ancrage fort nous entendons que l’orientation moléculaire contre

la surface traitée ne change jamais, quel que soit le champ électrique au sein du cristal liquide. Par

1.5. Modèle théorique 21 ailleurs, le champ électrique optique ou quasi-statique est perpendiculaire au vecteur «, ce qui entraîne une situation instable dans l’absolu. En effet, dans ce cas le produit scalaire du vecteur directeur avec le champ électrique est nul. L’énergie étant l’opposé de cette expression (voir éq. 1.24), elle passe par un maximum lorsque ces deux vecteurs sont perpendiculaires, ce qui correspond à une situation instable.

Cependant, lorsque le champ électrique est faible, l’instabilité qui donne lieu à la réorientation des molécules sera inhibée par l’inffuence des conditions aux limites de la cellule {i.e. l’ancrage fort). Par conséquent, les molécules ne se réorienteront pas. À l’inverse, si le champ électrique est suffisamment fort, son couple exercé sur les molécules l’emporte et celles-ci se réorientent sous son influence. L’équi­

valent magnétique de la transition entre ces deux états a été découvert en 1927 par Frederiks [37] et porte d’ailleurs son nom. La réorientation moléculaire est donc dans notre dispositif un phénomène à seuil.

Dans notre travail, nous cherchons à exploiter les propriétés particulières des cristaux liquides, no­

tamment leur grande non-linéarité. Elle permet en effet de générer des solitons spatiaux avec peu de puissance lumineuse. Dans cet esprit, il est opportun de s’affranchir du seuil de Frederiks en orientant les molécules au préalable de sorte que le champ électrique optique oriente les molécules indépendam­

ment de sa puissance. C’est la raison d’être du champ à basse fréquence que nous mettons au bord de la cellule. Il va en effet pré-orienter les molécules de cristal liquide afin de dépasser le seuil de Frederiks et permettra donc de s’en affranchir lorsqu’il s’agira de réorientation optiquement induite. La primauté de cette idée revient à Marco Peccianti et ses collègues de l’université de Rome. Ils sont ainsi parvenus à générer des solitons spatiaux par réorientation moléculaire avec une puissance optique de quelques milliwatts [32].

1.5.2 Réorientation moléculaire sous l’action d’un champ électrique dans une cellule planaire : traitement détaillé

Nous allons au cours de cette section modéliser le comportement macroscopique du cristal liquide sous l’influence d’un ou plusieurs champs électriques. Pour ce faire, nous allons utiliser une théorie d’élasticité dite du continuum. Elle consiste à représenter l’orientation d’un ensemble discret de molé­

cules par un champ vectoriel n continu et défini en tout point de l’espace occupé par le cristal liquide.

Nous faisons implicitement par ce biais une approximation qui est cependant justifiée dans la me­

sure où la taille d’une molécule est d’environ 20 A tandis que la longueur caractéristique de variation de l’orientation moléculaire ne descend que très rarement en dessous de 1 pm. Dans notre cas, nous aurons le loisir de constater que cette distance ne se situe pratiquement pas en dessous de 10 pm.

Au repos, l’orientation d’un cristal liquide en phase nématique est, en théorie, donnée par un vecteur directeur n constant dans tout l’espace. Il faut donc apporter de l’énergie au cristal liquide pour modifier son orientation initialement uniforme, autrement dit, qu’il se déforme. Cette énergie libre de déformation est accumulée par le cristal : elle est donnée par l’expression suivante [38, 36],

Fd = ■ Tif -H [

7 ■ (V X h)f + [n X (V X mf. (1.25)