Modèle théorique

ailleurs, le champ électrique optique ou quasi-statique est perpendiculaire au vecteur «, ce qui entraîne

une situation instable dans l’absolu. En effet, dans ce cas le produit scalaire du vecteur directeur avec le

champ électrique est nul. L’énergie étant l’opposé de cette expression (voir éq. 1.24), elle passe par un

maximum lorsque ces deux vecteurs sont perpendiculaires, ce qui correspond à une situation instable.

Cependant, lorsque le champ électrique est faible, l’instabilité qui donne lieu à la réorientation des

molécules sera inhibée par l’inffuence des conditions aux limites de la cellule {i.e. l’ancrage fort). Par

conséquent, les molécules ne se réorienteront pas. À l’inverse, si le champ électrique est suffisamment

fort, son couple exercé sur les molécules l’emporte et celles-ci se réorientent sous son influence. L’équi­

valent magnétique de la transition entre ces deux états a été découvert en 1927 par Frederiks [37] et

porte d’ailleurs son nom. La réorientation moléculaire est donc dans notre dispositif un phénomène à

seuil.

Dans notre travail, nous cherchons à exploiter les propriétés particulières des cristaux liquides, no­

tamment leur grande non-linéarité. Elle permet en effet de générer des solitons spatiaux avec peu de

puissance lumineuse. Dans cet esprit, il est opportun de s’affranchir du seuil de Frederiks en orientant

les molécules au préalable de sorte que le champ électrique optique oriente les molécules indépendam­

ment de sa puissance. C’est la raison d’être du champ à basse fréquence que nous mettons au bord de

la cellule. Il va en effet pré-orienter les molécules de cristal liquide afin de dépasser le seuil de Frederiks

et permettra donc de s’en affranchir lorsqu’il s’agira de réorientation optiquement induite. La primauté

de cette idée revient à Marco Peccianti et ses collègues de l’université de Rome. Ils sont ainsi parvenus

à générer des solitons spatiaux par réorientation moléculaire avec une puissance optique de quelques

milliwatts [32].

1.5.2 Réorientation moléculaire sous l’action d’un champ électrique dans une

cellule planaire : traitement détaillé

Nous allons au cours de cette section modéliser le comportement macroscopique du cristal liquide

sous l’influence d’un ou plusieurs champs électriques. Pour ce faire, nous allons utiliser une théorie

d’élasticité dite du continuum. Elle consiste à représenter l’orientation d’un ensemble discret de molé­

cules par un champ vectoriel n continu et défini en tout point de l’espace occupé par le cristal liquide.

Nous faisons implicitement par ce biais une approximation qui est cependant justifiée dans la me­

sure où la taille d’une molécule est d’environ 20 A tandis que la longueur caractéristique de variation

de l’orientation moléculaire ne descend que très rarement en dessous de 1 pm. Dans notre cas, nous

aurons le loisir de constater que cette distance ne se situe pratiquement pas en dessous de 10 pm.

Au repos, l’orientation d’un cristal liquide en phase nématique est, en théorie, donnée par un

vecteur directeur n constant dans tout l’espace. Il faut donc apporter de l’énergie au cristal liquide

pour modifier son orientation initialement uniforme, autrement dit, qu’il se déforme. Cette énergie

libre de déformation est accumulée par le cristal : elle est donnée par l’expression suivante [38, 36],

Cette énergie se divise en trois parties, chacune correspondant à un type de déformation élémen­

taire (en éventail, torsion et flèche respectivement). Toute déformation peut-être décomposée en une

somme pondérée de ces trois déformations élémentaires. À chacune de ces déformations est associée

une constante élastique de Frank AT, qui quantifie l’énergie accumulée par le type correspondant de

distorsion du cristal.

Étant donné que nous considérons que les molécules restent dans le plan (x,z), le vecteur n s’ex­

prime en fonction de la variable 6 sous la forme

w = sin^lj;-I-cos^f.. (1.26)

Dès lors, l’expression de l’énergie libre inhérente à la déformation du cristal s’exprime de la manière

suivante

JQ ■ JS

cos 6-— sm 9—

ox az

f 1 ^ Ô9 ^ 1 _{2 J 99 J}

+ 2^2

dy. ² 1®'" *(*) * «(&) ^(1.27)

La déformation du cristal liquide peut être induite par plusieurs champs électriques : d’une part, le

champ électrique optique A et d’autre part, un champ électrique basse fréquence E qui provient de la

différence de potentiel V appliquée aux bords de la cellule. Il faut par conséquent ajouter à l’expression

de l’énergie libre les contributions des deux champs électriques E et A. En reprenant l’expression 1.24

et en définissant l’anisotropie As = S// -£j_, l’énergie libre due aux champs électriques s’exprime par

la forme suivante :

ex'* - - A£°P' _ - , ^ Ae®' ^ ,

Fe = - -z^{n.AŸ - -jiE.E) - —{n.E)\ (1.28)

où les suffixes opt et st permettent de différencier l’anisotropie des molécules aux fréquences optiques et

quasi-statiques respectivement. En remplaçant le vecteur n par son expression 1.26 et en ne considérant

que les termes dépendant de la variable 9, nous obtenons la forme suivante

Ag^P’

- T

, Ae®‘ -

, ,

Ff. =---- ;—bip sin^ 9----—\F?' sin^ 9. (1.29)

2 2

Nous pouvons à présent réunir les deux contributions à l’énergie libre du cristal dans la même

expression, soit

F

h

+ Ff — —— cos 9----smfcf-—

dx dz J dy, 2

A£°P'

2 ^{\A\~ sin^ 9}

-Ae®'

lEp sin^ 9. (1.30)

Au regard de l’allure relativement peu sympathique de l’équation ci-dessus, il convient de faire

quelques approximations courantes. La première d’entre elles se rapporte à la géométrie des problèmes

que nous allons considérer dans ce travail. En effet, nous allons nous concentrer sur des problèmes de

1.5. Modèle théorique 23

type soliton spatial qui sont caractérisés par une relative invariance selon l’axe de propagation z pour

le champ optique/l. Par ailleurs, le champ électrique E est lui supposé homogène dans toute la cellule

de cristaux liquides. Par conséquent, il semble naturel de négliger les dérivées selon la coordonnée z

devant celles par rapport aux dimensions transverses x et y. L’énergie libre devient donc

F =

cos

^ 9 + K^ sin^ 6»] + y ^{Id9\^} (1.31)

La seconde approximation, d’usage courant dans le domaine de la nématostatique, consiste à consi­

dérer que les constantes Ki sont égales. Cela facilite les calculs de manière non négligeable. De plus,

cette approximation est justifiée dans le sens où les valeurs des différentes constantes sont toutes du

même ordre de grandeur pour le cristal liquide que nous utilisons. Si l’on pose K = K\ = Ki = K^,

l’expression 1.31 devient alors

(1.32)

Ayant maintenant une expression simplifiée de la densité d’énergie libre, il faut trouver la valeur de

9 qui minimisera cette quantité en tout point de l’espace. L’interaction entre la viscosité du cristal et les

champs électriques A etE

y

3. en effet aller dans le sens de la minimisation de l’énergie libre du système

F, issue du traitement élastique. Étant données nos hypothèses, la variable 9 est le seul degré de liberté

de notre système pour autant que les champs A et E soient déterminés. Nous partons de l’équation

d’Euler-Lagrange appliquée à notre cas, soit :

dF y d 3F

= 0. (1.33)

3/ 3 {3j9)

Nous avons pris le soin d’épargner au lecteur le détail de ces calculs qui ne présentent aucune

subtilité particulière. Après ceux-ci vient l’équation suivante

IK ^{^9 3-9'^}

3x^ 3y^

J

-I-1 —y +

^opt

^MP sin 29 = 0. (1.34)

Cette équation est celle qui nous permettra de déterminer l’orientation moléculaire 9 en fonction

des champs électriques E et A. Il s’agit d’une équation de diffusion non linéaire. Par conséquent, on

peut déjà anticiper qu’une excitation impulsionnelle va générer une réponse plus large que l’excitation,

ce qui permet d’anticiper la non-localité de la réorientation moléculaire.

Afin de rendre compte des conditions d’ancrage fort aux bords internes de la cellule, nous devons

imposer des conditions aux limites à l’équation 1.34. Les conditions que nous fixons sont les suivantes :

9{x = -L/2) = 9{x = L/2) = 2°, (1.35)

car l’inclinaison n’est pas parfaitement parallèle à la lame traitée pour une raison pratique, inhérente à

la technique d’alignement.

Nous disposons maintenant d’une équation qui nous permet de déterminer l’orientation du cristal

liquide nématique au sein de la cellule quel que soit le champ électrique environnant. Il nous reste à

déterminer comment la lumière se propage dans ce milieu particulier. Nous serons alors à même de

modéliser tout le processus de la propagation non linéaire dans un cristal liquide en phase nématique.

Le paragraphe suivant établit l’équation de propagation lumineuse dans notre système.

1.5.3 Propagation lumineuse non linéaire dans un cristal liquide

Cette partie est consacrée à l’établissement de l’équation de propagation non linéaire de la lumière

dans le cristal liquide nématique, milieu optiquement anisotrope, uniaxe plus particulièrement. Plu­

sieurs modèles ont été étudiés au cours des dernières années. Nous expliquons les démarches qui permet

d’en établir les principaux et nous traitons celui que nous allons utiliser dans la suite de notre travail.

De manière générale, l’équation de propagation d’une onde électromagnétique £ = dans

un milieu diélectrique non magnétique découle des équations de Maxwell [6] :

V xV xÊ = a/fioE ■ Ê. (1.36)

Modèle vectoriel

Le cristal liquide est un milieu optique anisotrope, ce qui signifie que son indice de réfraction est

différent selon les différents axes de polarisation de la lumière. Pour en rendre compte, nous devons

considérer la nature tensorielle de la permittivité électrique du milieu s. L’expression de ce tenseur peut

être déduite dans le cas étudié en combinant les expressions 1.26 et 1.23.

£x

+ AS sin^ B 0 AS sin B cos B ⁽ _^xx 0 £ 1 _^XZ

£ = 0

_£±

0

-

0

£,j.

0

A£sin0cos0 0

£x

+ AS

COS^

B ^ 0

Notre travail se concentre sur le cas illustré par la figure 1.8 où l’on injecte au centre de la cellule

de cristaux liquides un faisceau optique polarisé linéairement selon l’axe x (transverse magnétique TM)

et se propageant dans la direction de l’axe z. Par conséquent, le faisceau rencontrera forcément tôt ou

tard une interface entre un milieu isotrope et le cristal liquide orienté. Les conditions aux limites sur

le champ de déplacement D à la dite interface nous permettent de déterminer le champ électrique E

à l’intérieur de la cellule. En effet, la continuité de la composante normale à cette interface donne

lieu à l’apparition d’une composante selon z du champ électrique E [6],

E,= _{Ex =--- rz}^{A£sin0cos0 ^}

£ I + A£ COS' B ^(1.38)

Dès lors, la direction de propagation étant donnée par le vecteur de Poynting S = E X H,\e. faisceau

formera un angle a avec l’axe z dont l’amplitude est donnée par le rapport

E. AS sin 6 cos 6

tan cr = — =---—

1.5. Modèle théorique 25

La propagation du champ électromagnétique est régie par les équations de Maxwell :

VxÊ = (1.40)

Vxff = -iùJsÊ, (1.41)

ce qui donne le système d’équations suivant,

' ^

dz

dHy

. dz

~itL)fj.oHy + ¹ (d^Hy\ 1 de. Exz dE^ ds^z 1 l 1 dHy E^^ \

icjEoS^z \ dx^ ) S-- ox E22 dx dx E^z [itüEoE^z dx E

2

Z /

ojHo dy^ ^{- /cueofijcÆ}

-Sxz dHy

s

-2

dx ^{+ ÎC}

^ü

^E

^q

^—E,

(1.42)

La composante du champ optique est donnée à l’entrée de la cellule par la relation (1.38), sa

connaissance permet de déduire la valeur de Hy. Ce système d’équations de propagation a été établi et

étudié en profondeur par Jeroen Beeckman et al. [39]. Il est bien possible de compenser la diffraction

par la non-linéarité dans ce système. Cependant, le faisceau de type soliton est effectivement dévié de

sa trajectoire initiale du fait de l’anisotropie du cristal liquide. Cette déviation donne lieu au cours de

la propagation à une ondulation (selon l’axe x) du faisceau du fait du gradient d’indice créé au sein

de la cellule par la tension basse fréquence V. Cette oscillation a pu être vérifiée expérimentalement à

l’aide d’un cellule courte (de l’ordre de quelques millimètres de longueur) et disposant d’une fenêtre

de sortie. On constate alors que le faisceau, initialement au centre de la cellule, se déplace selon l’axe

X lorsque sa puissance est modifiée. Cela témoigne bel et bien d’une ondulation transverse du faisceau

au cours de la propagation. Nous présentons ces résultats dans la section 2.4.2 du présent manuscrit.

Ce système d’équations est rigoureux en ce sens que c’est celui qui comporte le moins d’approxi­

mations lors de son élaboration. Il n’en est pas moins relativement difficile et assez lourd à résoudre

numériquement, d’autant plus que l’orientation moléculaire est décrite par l’équation (1.34) qui n’est

pas écrite dans le système ci-dessus. Nous allons présenter d’autres systèmes qui bien qu’ils ne soient

que des approximations de celui-ci, n’en capturent pas moins les mécanismes physiques essentiels à la

compréhension de la propagation lumineuse non linéaire dans un cristal liquide.

Modèle scalaire

En vue de simplifier l’équation de propagation, nous allons d’abord considérer que nous avons un

champ de polarisation linéaire selon l’axe x et que celle-ci reste constante durant toute la propagation.

Nous allons de plus utiliser l’approximation paraxiale de sorte que l’équation de propagation prenne

une forme semblable à l’équation NLS (1.21) que nous retranscrivons ci-dessous :

7..,dA

2ik— +

dz

d^A d^A

-t- 2klnoAn„iA = 0, (1.43)

où le terme Ao„/ est la modulation d’indice non linéaire induite par la présence de la lumière. Nous

savons que le champ de déplacement Ddans un cristal liquide en phase nématique s’écrit sous la forme

1.23. La composante selon x du champ de déplacement, qui est la seule que nous considérons dans le

modèle scalaire, s’exprime de la manière suivante dans notre repère

+ A£°P' sin^ 6 E^, (1.44)

où le suffixe opt nous rappelle que nous travaillons aux fréquences optiques. En considérant que l’orien­

tation moléculaire totale 6 peut se décomposer en une partie induite par la tension appliquée aux bords

de la cellule 6

q

et une partie induite par le champ électrique optique 8. Le champ de déplacement peut

alors s’écrire :

Dx = s°^'Ex + Ae°P‘ sin^ 9

q

E^ + Ae°P‘ sin^ 8 E^- A£°

p

‘ sin^ 8

q

E^. (L45)

D’autre part, l’ajout (et le retrait conséquent) du terme Ae°P‘ sin^ 8o E^ nous permet de séparer le

champ de déplacement en deux parties. La première, linéaire, correspond à l’orientation moléculaire

en l’absence d’intensité lumineuse. Et la seconde, non linéaire, correspond à la modification du champ

de polarisation induite par l’orientation qui est elle-même causée par la présence de la lumière. En

retranscrivant cela termes de polarisation linéaire et non linéaire, cela nous donne ;

E

q

E + Pi = -t-Ae°P‘sin^ 6o) Æ'r. (L46)

P„/ = Ae°P‘ (sin^ 8 - sin^ 0o) E^. (L47)

Connaissant le champ de déplacement D, il est possible de déterminer l’indice de réfraction du

milieu en présence d’intensité lumineuse,

n = m + A£°P‘(sin^ 8 - sin^ 8o), (L48)

Où «0 = 'sl+ As ^ sin^ 8

q

est l’indice de réfraction linéaire. Si la partie non linéaire de l’indice

de réfraction est petite devant >1 est possible d’approcher l’indice de réfraction total de la manière

suivante

n ~ no + ;^Ae°P‘(sin^ 8 - sin^ 8o) (L49)

2«o

Et il devient alors possible de poursuivre le même raisonnement que celui qui nous a permis d’éta­

blir l’équation de Schrôdinger non linéaire au début de ce chapitre. À ceci près que la modulation

d’indice non linéaire prend désormais la forme An„i = l/2noAe°'’‘(sin^ 8 — sin^ 8o). Nous arriverons

donc à l’équation de propagation ci-dessous

a J (rP-A S^A\

2/A:— -I- f ^ + -^j -H A^A£°P‘(sin^ 8 - sin^ 8

q

)A - 0. (1.50)

Cependant, cette équation à elle seule ne suffit pas : elle nous décrit en effet comment une onde se

propage dans un cristal liquide dont l’orientation est donnée par la variable 8, mais ne permet pas

1.5. Modèle théorique 27

de décrire la manière dont la présence du champ électrique modifiera l’orientation moléculaire. Pour

rendre compte de toute la physique du problème, il faut donc coupler à cette équation de propagation

l’équation du cristal qui nous donne l’orientation 6 en fonction de l’enveloppe du champ optique A,

l’équation 1.34. En y rajoutant les conditions aux limites d’ancrage fort, nous arrivons au système

d’équations suivant

0, (1.51)

0, (1.52)

2°, (1.53)

Ce système d’équations a été rapporté pour la première fois dans la littérature par Marco Peccianti et

al. [32]. Seule une dimension transverse était alors prise en compte (x, celle qui correspond à l’épaisseur

de la cellule). Il n’est en vérité qu’une adaptation du modèle paraxial développé par McLaughlin et ai

[30, 40, 4l]. L’adaptation apportée permet de tenir compte de l’orientation induite par la tension

aux bords de la cellule. Nous avons été les premiers à considérer toutes les dimensions spatiales de ce

problème en le résolvant de manière numérique [42, 43].

Le système d’équations ci-dessus permet de rendre compte quantitativement de l’interaction entre

la lumière et le cristal liquide comme nous le verrons au cours du chapitre suivant. Il n’est toutefois pas

parfait car il néglige les aspects vectoriels qui peuvent prendre de l’importance dans certaines conditions

expérimentales. Toutefois, modéliser la propagation vectorielle revient à prendre en compte la déviation

du faisceau faisant suite à la biréfringence. Il est par ailleurs possible de rendre compte de cette déviation

en ajoutant un terme de manière phénoménologique à l’équation de propagation. Celle-ci devient alors

2ik^ + (-I- -I- A:^Ae°'’‘(sin^ 9 - sin^ 6o)A + 2ik—^ = 0 (1-54)

dz \ ox^

0

)A J £.. dx

Il a été récemment montré que l’ajout de ce terme permet en effet de rendre compte de l’influence de

l’anisotropie du cristal de manière exacte [44].

Modèle scalaire perturbatif

Par ailleurs, il est également possible de simplifier ce système d’équations en effectuant différentes

approximations citées ci-dessous. La primauté du raisonnement qui suit est l’apanage de Claudio Conti

et al [45]. Tout d’abord, il est possible, sans faire d’approximation, de séparer la variable 6 en deux

parties dont la dépendance en les coordonnées spatiales diffère

9(x, y, z) = è{x) + ■^'t(x, y, z) (1.55)

uo

En utilisant cette expression dans l’équation du cristal et en développant les fonctions sin 29 et sin^ 9

autour du point 9 — ;r/4 au premier ordre en 'P, le système prend la forme, plus simple, énoncée

ÔA d^A d^A

dz \ dx^ dy^

2ik— +

—r

-I-

-—T

-I- Â:^Ae°P‘(sin^ 9 - sin^ 9

q

)A =

2K

d)P- j + £o(Ae'^{,I^P} + AS

^,opt

^\A?) sin 29 =

2 2

ci-dessous

2ikdzA + ^lyA + li/\e°^^'^A = 0, (1.56)

= 0. (1.57)

;r 4

En renormalisant les diflFérentes variables de ce système, il est possible de faire apparaître le système

suivant

= 0, (1.58)

= 0. (1.59)

Dont les solutions de type soliton {d^ = 0) sont données par ces deux équations

’V^a-a + a\p = 0, (1.60)

U|2

- aif/+ — = 0. (1.61)

Ce système est identique à celui qui détermine le profil d’un soliton spatial paramétrique dans un

milieu Dans ces milieux, l’interaction cohérente entre un faisceau de pompe et la seconde har­

monique qui est générée dans le cristal permet d’obtenir un faisceau qui se propage sans déformation

[19, 46]. Ce système peut paraître plus séduisant à étudier dans le contexte des cristaux liquides car

plus simple et déjà étudié de fond en comble dans le contexte des solfions paramétriques. Cependant,

il n’en reste pas moins d’une portée plus limitée du fait des hypothèses qui nous ont permis de l’éta­

blir. En effet, ce système ne considère que le cas où l’orientation induite par la tension aux bords 0

q

vaut ;r/4. L’orientation optiquement induite doit également être suffisamment faible pour être traitée

comme une perturbation au premier ordre.

Nous avons choisi dans le cadre du présent travail de nous intéresser au système de propagation

scalaire, sans tenir compte de la déviation due à l’anisotropie. Nous avons également choisi de ne pas

adopter l’approche perturbative mentionnée ci-dessus car elle limite le domaine de validité de notre

modèle. Mentionnons toutefois que nous avons mené ce travail en collaboration avec Jeroen Beeckman

et ses collègues du laboratoire ELIS de l’université de Gand qui étudient l’influence de l’anisotropie

sur la propagation de faisceaux solitons dans un dispositif identique à celui que nous étudions.

À l’heure actuelle, les cristaux liquides font l’objet d’un nombre croissant d’études centrées sur

le thème des solitons spatiaux. Le coup de fouet de ces études a été donnée au cours de l’an 2000

lorsque la possibilité de former des solitons spatiaux stables a été montrée dans ces milieux [32]. Les

premiers travaux ont alors consisté en la réalisation de dispositifs de commutation tout-optique [47,

20]. Toutefois, bien que fonctionnant de manière tout-optique, ces commutateurs et autre portes

logiques répondent à une vitesse limitée en raison de la lenteur inhérente au processus de réorientation

moléculaire. Cette lenteur constitue par ailleurs la raison pour laquelle les cristaux liquides n’ont pas

da 2 ,

I---h V a - a + aip

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