Licence de mathématiques et informatique - 2010-2011
Algorithmique algébrique
FEUILLE D’EXERCICES N◦ 3
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1 Quels sont les éléments inversibles de Z/6Z pour la multiplication ? Même question avec Z/2Z, Z/3Z, Z/4Z, Z/5Z, Z/12Z.
2 5est-il inversible pour la multiplication dans Z/12Z? Si oui, calculer son inverse. Même question pour 9.
3 Résoudre dans Z/24Z : 7x= 8. Même question avec les équations 3x= 5, et 3x= 12.
4 Déterminer ϕ(n), pour n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 64,81, 15, 45.
5 Montrer que si n >2, alorsϕ(n) est pair.
6 Pour n un entier supérieur ou égal à 2, on note f(n) la somme des entiers naturels inférieurs à n et premiers avec n. Montrer que
f(n) = nϕ(n) 2 .
7 Pour tout entier naturel non nulk, on notepklekème nombre premier (donc par exemple,p1 = 2, p2 = 3). Montrer que pour tout n >1
ϕ(pn!) pn!
pn−1!
ϕ(pn−1!) = 1− 1 pn
.
8 Résoudre dans Z/10Z
(2x+y = 3 x+ 2y = 1
9 Soit ϕ0(n) le nombre des entiers x∈ {1, . . . , n} tels que (x, n) = (x+ 1, n) = 1. Montrer que ϕ0(n) = nY
p|n
(1− 2 p).
