Licence de mathématiques et informatique - 2010-2011
Algorithmique algébrique
FEUILLE D’EXERCICES N◦ 10
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1 Soient les polynômes
P(x, y) =x2+y2−1 et
Q(x, y) = x2+ 2xy2−1.
1. Calculer le résultant en x de P et Q.
2. En déduire les solutions dans C2 du système
P(x, y) = 0 Q(x, y) = 0
2 Soient les polynômes
P(x, y) = x2+y(2y+ 1)x+ 2y3 et
Q(x, y) = x2+ (3y+ 1)x+ 2y2+y.
1. Calculer le résultant en x de P et Q.
2. Que peut-on en déduire ?
3. Déterminer les solutions dans C2 du système
P(x, y) = 0 Q(x, y) = 0
3 Résoudre dans C3 le système
x+y+z= 0 x2+y2+z2 = 14 x3+y3+z3 = 18 Soit a un nombre complexe fixé. Résoudre dansC le système
x3 +y3+z3 =a3 (x−y)2+ (y−z)2+ (z−x)2 = 2a2
x+y+z =a
4 Calculer le discriminant du polynôme P =x3 +px+q. On suppose que p et q appartiennent à R. Montrer que P admet une racine double si et seulement s’il existe un réel a tel que p=−3a2 et q = 2a3. Factoriser alors P dans R[x].
