Algorithmique algébrique

Licence de mathématiques et informatique - 2010-2011

Algorithmique algébrique

FEUILLE D’EXERCICES N^◦ 1

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1 Montrer que le reste de la division euclidienne d’une somme de trois carrés d’entiers par8ne peut pas être égal à 7.

2 Quel est le reste de la division de7ⁿ par 8?

3 Montrer que pour tout entiern, 5n³+n est divisible par 6.

Montrer que pour tout entiern, 120 divise n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4).

4 Soient a, b, c et n quatre entiers naturels, n étant non nul. Montrer que si cⁿ divise a−b, alors cⁿ⁺¹ divise a^c−b^c.

5 Soient a etb deux entiers relatifs premiers entre eux. Calculer pgcd(a+b, a−b), pgcd(a+b, ab) et pgcd(a+b, a²+b²).

6 Soienta et b deux entiers naturels non nuls. Montrer les assertions suivantes.

1. 2^a−1divise 2^ab−1

2. Si r est le reste de la division euclidienne dea par b, alors 2^r−1 est le reste de la division de 2^a−1par 2^b−1.

3. pgcd(2^a−1,2^b−1) = 2pgcd(a,b)−1.

4. Si 2^a−1 est premier, alorsa est premier.

7 Critères de divisibilité par 9et par 11.

1. Montrer que pour tout entier naturel k, 9 divise 10^k−1. En déduire un critère de divisibilité par 9d’un nombre entier dont on connaÃőt l’écriture décimale.

2. Montrer que pour tout entier naturel k, 11divise10^k+ 1 ou10^k−1en fonction de la parité de k. En déduire un critère de divisibilité par 11d’un nombre entier dont on connaÃőt l’écriture décimale.

8 Montrer que sin etk sont deux entiers naturels premiers entre eux tels que n≥k, alorsn divise

n k

.

9 Montrer que si p >3 est premier, alors p² + 2 ne l’est pas.

10 Montrer qu’il existe des intervalles arbitrairement longs ne contenant pas de nombres premiers.

11 Soit n un entier naturel non nul distinct de 4. Montrer que si n n’est pas premier, alorsn divise (n−1)!.

12 Petit théorème de Fermat.

1. Montrer que pour tout n≥2, l’entier n⁵−n est divisible par 30et n⁷−n est divisible par42.

2. Montrer que30²³⁹+ 239³⁰ n’est pas premier.

3. Montrer que18963 divise 2³⁰⁰−1.

4. Quel est le reste de la division euclidienne de 2⁷⁰⁷¹ par 13?

5. Quel est le reste de la division euclidienne de 1000^200030004000 par 19?

13 Montrer que l’ensemble des nombres premiers de la forme4k+ 3 est infini.

14

1. Calculer le pgcd de44 et57, puis de 511 et 630.

2. Trouver des entiers u etv tels que 44u+ 57v =pgcd(44,57). Même question pour 511 et630.

3. Trouver l’ensemble des entiers x tels que

(x≡1 mod 44 x≡3 mod 57 De même, résoudre les systèmes

(x≡1mod 511 x≡3mod 630 (x≡1mod 511 x≡8mod 630