Licence de mathématiques et informatique - 2010-2011
Algorithmique algébrique
FEUILLE D’EXERCICES N◦ 2
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1 Résoudre dans Zles systèmes suivants
(x≡5 mod21 x≡3 mod13 (x≡1 mod35 x≡1 mod27 (x≡2 mod21 x≡2 mod14
x≡2 mod7 x≡3 mod5 x≡4 mod9 2 Trouver tous les couples (u, v) deZ2 tels que
126u+ 35v = 1.
Trouver tous les couples (u, v) deZ2 tels que
1179u+ 444v =c
où c= 2, puis 3, puis 9.
3 Soient a et b deux entiers positifs.
1. Montrer que pour tout entier n, pgcd(2na,2nb) = 2npgcd(a, b).
2. Montrer que si a est impair, alors pour tout entier n : pgcd(a,2nb) =pgcd(a, b).
3. Montrer que pgcd(a−b, b) =pgcd(a, b).
4. GrÃćce à ces égalités, écrire un algorithme qui, étant donnés deux entiersa etbpositifs calcule le pgcd de a et b, en n’utilisant que des divisions par 2 et des soustractions. On se place en écriture binaire. Alors l’intérêt d’un tel algorithme réside dans le fait que la division par deux d’un nombre pair consiste seulement à enlever un 0.
5. Calculer la complexité de cet algorithme, en considérant que la division par 2est gratuite.
4 Soient a etb deux entiers positifs, tels que 0< b ≤a. On noteq et r le quotient et le reste de la division de a par b.
1. Montrer que
r < a 2.
2. En déduire une majoration du nombre de divisions effectuées, quand on applique l’algorithme d’Euclide à a et b.
5 Soientaetb deux entiers positifs. On note x0 =a,x1 =b,u0 = 1,u1 = 0, v0 = 0 etv1 = 1. Pour tout entier i supérieur ou égal à0, on note
xi−1 =qixi+xi+1,
où 0 ≤ xi+1 < xi, jusqu’à l’entier l tel que xl+1 = 0. Alors xl = (a, b). On note aussi, pour i ∈ {1, . . . , l−1} :
ui+1 =−qiui+ui−1 etvi+1 =−qivi+vi−1. Soit l l’entier tel que xl+1 = 0.
1. Montrer que pour tout i,
ui vi ui+1 vi+1
=
0 1 1 −qi
ui−1 vi−1
ui vi
. 2. Montrer que pour tout i,
ui vi ui+1 vi+1
= (−1)i.
3. Montrer que pour tout i,
ui vi ui+1 vi+1
−1
=
q1 1 1 0
· · ·
qi 1 1 0
. Montrer que
ui vi ui+1 vi+1
−1
=
|vi+1| |vi|
|ui+1| |ui|
. 4. Montrer que pour tout i,
|vi+1| |vi|
|ui+1| |ui|
xi xi+1
= a
b
En déduire que |vi| ≤a/xi−1 et que |ui| ≤b/xi−1 quelque soit i dans {1, . . . , l}.
6 Soientaetb deux entiers distincts strictement positifs, de pgcdd. Soientuetv les entiers donnés par l’algorithme d’Euclide tels que au+bv =d. Soient a0 =a/d etb0 =a/d.
1. Montrer que
|u| ≤ b0
2 et|v| ≤ a0 2.
2. Soit(u0, v0)un couple d’entiers qui vérifie les mêmes propriétés, c’est-à-dire : au0+bv0 =d,
|u0| ≤ b0
2 et |v0| ≤ a0 2 Montrer que
(u, v) = (u0, v0).
3. Montrer que si
au0+bv0 =d, alors
|u| ≤ |u0| et|v| ≤ |v0| .
