Algorithmique algébrique MHT 631

Algorithmique algébrique MHT 631

Jean-Paul Cerri

2008-2009

2

Table des matières

1 Algèbre linéaire, préliminaires 5

1.1 Gerschgörin-Hadamard . . . 6

1.2 Normes sur M_n,n(K) . . . 9

1.3 Suites de matrices, convergence . . . 14

1.3.1 Généralités . . . 14

1.3.2 Exponentielle de matrices . . . 17

1.3.3 Généralisation. Autres exemples . . . 19

1.3.4 Application aux systèmes différentiels . . . 22

2 Le pivot de Gauss 27 2.1 Rappels sur les matrices de permutations . . . 27

2.2 Exemples concrets, le principe . . . 28

2.3 Le théorème principal . . . 33

2.4 Le coût . . . 33

2.5 Mise en oeuvre effective et variantes . . . 34

3 Conditionnement 37 3.1 Définition . . . 37

3.2 Erreurs relatives . . . 38

3.3 Propriétés élémentaires . . . 40

4 Méthodes itératives 43 4.1 Le lemme fondamental . . . 43

4.2 La méthode de Jacobi . . . 44

4.3 La méthode de Gauss-Seidel . . . 45

4.4 Relaxation . . . 48

4.5 Programmation . . . 48

4.5.1 Jacobi . . . 49

4.5.2 Gauss-Seidel . . . 49

4.5.3 Relaxation avec Gauss-Seidel . . . 50 3

4 TABLE DES MATIÈRES

5 Calculs effectifs divers 51

5.1 Polynôme caractéristique . . . 51

5.2 Valeurs propres . . . 54

5.2.1 Méthode des puissances . . . 54

5.2.2 Méthode de la déflation . . . 56

5.2.3 Méthode QR . . . 57

6 Espaces euclidiens 59 6.1 introduction . . . 59

6.2 Orthogonalisation de Schmidt . . . 64

7 Décompositions 67 7.1 Décomposition QR . . . 67

7.2 Décomposition de Cholesky . . . 69

7.3 La méthode QR . . . 71

8 Méthodes de calcul 73 8.1 Cholesky pratique . . . 73

8.1.1 Gram-Schmidt . . . 73

8.1.2 Identification . . . 74

8.1.3 Variante . . . 75

8.1.4 Méthode de Gauss . . . 76

8.2 Moindres carrés . . . 77

8.3 La méthode de Householder . . . 79

8.3.1 Préliminaires . . . 80

8.3.2 La méthode . . . 81

9 Polynômes orthogonaux 85 9.1 Généralités . . . 85

9.2 Un cas particulier . . . 86

9.3 Exemples . . . 88

9.3.1 Polynômes de Tchebycheff . . . 88

9.3.2 Polynômes de Legendre . . . 91

9.3.3 Polynômes de Hermite . . . 91

10 Compléments 93 10.1 Extensions de certains résultats aux matrices “quelconques” . . 93

10.2 Décomposition en valeur singulière (SVD) . . . 93

10.3 Pseudo-inverse . . . 93

Chapitre 1

Algèbre linéaire, préliminaires

Éléments supposés connus en algèbre linéaire

• Corps commutatifK : ici, sauf mention explicite, K =R ou C;

• K-espace vectoriel, sous-espace vectoriel, familles libres, familles géné- ratrices, bases ;

• K espace vectoriel de dimension finien , sous-espaces, bases ;

• Déterminant d’une famille de vecteurs d’unK-espace vectoriel (suivant une base), propriétés du déterminant ;

• L(E, F) oùE etF sont deux K-ev, propriétés de L(E, F); – L(E, F)est un K-ev ;

– Noyau Kerf et image Imf d’un élément f deL(E, F); – Propriétés et lien avec surjectivité et injectivité de f; – Théorème du rang en dimension finie ;

• L(E) oùE est un K-ev, propriétés de L(E);

– L(E) est une algèbre en général non commutative ; – Éléments inversibles : GL(E);

– Cas de la dimension finie : lien avec image, noyau (une condition suffit) ;

– Déterminant d’un élément deL(E)et lien avec l’inversibilité ; – Valeur propre et vecteur propre d’un élément de L(E); – Polynômes minimal et caractéristique d’un élément de L(E); – Théorème de Cayley-Hamilton ;

– Critères de diagonalisabilité ;

• Matrices associées aux éléments de L(E, F) (siE et F sont de dimen- sions finies et si une base de E et une base de F sont fixées) ;

• Notations Mp,q(K), et isomorphismes standards, opérations dans les espaces de matrices ;

5

6 CHAPITRE 1. ALGÈBRE LINÉAIRE, PRÉLIMINAIRES

• Changement de bases, similitude ;

• Noyau, image, rang, déterminant, polynômes minimal et caractéris- tique, valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice de M_n,n(K);

• Pratique de la diagonalisation, de la triangularisation ;

• Autres éléments de la théorie de la réduction (Dunford, Jordan) ;

• Matrices symétriques, matrices orthogonales. Diagonalisation des ma- trices symétriques.

1.1 Gerschgörin-Hadamard

Théorème 1.1. (Premier théorème de Gerschgörin-Hadamard)Soit A∈M_n,n(K). Pour tout k, 1≤k ≤n posons

R_k =X

j6=k

|a_kj|

et

D_k =n

z ∈C; |z−a_kk| ≤R_ko . Alors on a

SpecA⊂

n

[

k=1

D_k

i.e. pour toute valeur propre λ de A, il existe k tel que λ∈D_k.

Preuve. Soit λ∈SpecAet soit X 6= 0 un vecteur propre associé. On a pour tout i :

(1.1)

n

X

j=1

a_ijx_j =λx_i. Soitk tel que|x_k|= max

j |x_j|. On a|x_k|>0car X 6= 0. De plus Par (1.1) on a

(λ−a_kk)x_k=X

j6=k

a_kjx_j,

d’où l’on tire

|λ−a_kk| ≤X

j6=k

|a_kj||x_j|

|x_k| ≤X

j6=k

|a_kj|=R_k.

1.1. GERSCHGÖRIN-HADAMARD 7 Remarque 1.2. CommeA etA^t ont le même polynôme caractéristique (en effet det(A−XId_n) =det(A−XId_n)^t =det(A^t−XId^t_n) =det(A^t−XId_n)), elles ont mêmes valeurs propres et le résultat est encore vrai si l’on remplace lesD_k par lesD⁰_k définis par

D_k⁰ =n

z ∈C; |z−a_kk| ≤R⁰_ko , où

R⁰_k =X

j6=k

|a_jk|.

Définition 1.3. Soit A ∈ M_n,n(K). On appelle rayon spectral de A et on note ρ(A) le réel positif ou nul défini par

ρ(A) = max

λ∈SpecA|λ|.

Corollaire 1.4. Soit A∈M_n,n(K). Alors on a ρ(A)≤ max

1≤i≤n n

X

j=1

|a_ij|.

Preuve. Pour tout λ∈SpecA, il existek tel que

|λ−a_kk| ≤X

j6=k

|a_kj| par le théorème 1.1. Ceci implique que

|λ| ≤

n

X

j=1

|a_kj| ≤ max

1≤i≤n n

X

j=1

|a_ij|.

Remarque 1.5. En lien avec la remarque 1.2, on peut remplacer ici

1≤i≤nmax

n

X

j=1

|a_ij| par

1≤i≤nmax

n

X

j=1

|a_ji|, et l’on a donc

ρ(A)≤min

1≤i≤nmax

n

X

j=1

|a_ij|, max

1≤i≤n n

X

j=1

|a_ji| .

8 CHAPITRE 1. ALGÈBRE LINÉAIRE, PRÉLIMINAIRES Corollaire 1.6. Soit A∈M_n,n(K). Avec les notations précédentes, on a

06∈

n

[

k=1

D_k⇒A∈GL_n(K).

Preuve. Par contraposition, si A n’est pas inversible, 0 est valeur propre de A et par le théorème 1.1, appartient à l’un des Dk.

Remarque 1.7. Toujours en lien avec la remarque 1.2, on peut remplacer ici les D_k par lesD⁰_k.

Remarque 1.8. La condition est suffisante mais non nécessaire comme le montre l’exemple

A=

1 1 1 0

.

Ici on a D₁ = {z; |z −1| ≤ 1} et D₂ = {z; |z| ≤ 1}. Ainsi 0∈ D₁∪D₂ et pourtant A est inversible.

Définition 1.9. Soit A∈M_n,n(K). On dit queA està diagonale dominante (par rapport aux lignes) si pour toutk,

|akk| ≥X

j6=k

|akj|,

et que A est à diagonale strictement dominante (par rapport aux lignes) si pour toutk,

|a_kk|>X

j6=k

|a_kj|.

Corollaire 1.10. Soit A ∈ M_n,n(K) à diagonale strictement dominante, alors A∈GL_n(K).

Preuve. C’est en fait une reformulation du corollaire 1.6 car

|a_kk|>X

j6=k

|a_kj| ⇐⇒06∈D_k.

Remarque 1.11. En revanche, une matrice à diagonale dominante n’est pas nécessairement inversible comme le montre l’exemple élémentaire

A=

1 1 1 1

.

1.2. NORMES SUR M_N,N(K) 9 Corollaire 1.12. Soit A ∈ M_n,n(K) à diagonale strictement dominante.

Supposons que pour tout k, on ait a_kk ∈R+. Alors, toute valeur propreλ de A vérifie <(λ)>0.

Preuve. Il est facile de voir que lesa_kkétant sur la demi-droite réelle{(x,0);x >

0} (car |a_kk|=a_kk >P

j6=k|a_kj| ≥0) et les R_k vérifiant R_k < a_kk, les diques D_ksont inclus dans le demi-plan<(z)>0. Le théorème 1.1 donne la conclu- sion.

Remarque 1.13. On aurait pu aussi bien définir les notions de diagonale dominante ou strictement dominante par rapport aux colonnes. On aurait alors eu des résultats similaires (voir remarque 1.2 et suivantes).

1.2 Normes sur M

(K)

Définition 1.14. Soit E un K-espace vectoriel. On appelle norme de E toute applicationN : E −→R⁺ vérifiant :

(i) N(x) = 0⇐⇒x= 0;

(ii) N(λx) =|λ|N(x) pour tout(λ, x)∈K×E;

(iii) N(x+y)≤N(x) +N(y) pour tout(x, y)∈E×E.

Proposition 1.15. (exemples standards) Si E = Kⁿ (où n ≥ 1), les applications suivantes sont des normes de E.















kxk∞ = max

i |xi|; kxk₁ =

n

P

i=1

|x_i|; kxk₂ =

r _n P

i=1

|x_i|².

Preuve. Tout est trivial à l’exception de l’inégalité triangulaire pourk k₂. Il faut établir que pour tout x, y ∈Kⁿ on a

v u u t

n

X

i=1

|x_i+y_i|² ≤ v u u t

n

X

i=1

|x_i|²+ v u u t

n

X

i=1

|y_i|².

Après élévation au carré, développement et simplification, on voit que cela équivaut à

(1.2)

n

X

i=1

(x_iy_i+x_iy_i)≤2 v u u t

n

X

i=1

|x_i|²

n

X

i=1

|y_i|²,

10 CHAPITRE 1. ALGÈBRE LINÉAIRE, PRÉLIMINAIRES le calcul dans C généralisant évidemment celui que l’on ferait sur R avec z =z. Or on a

n

X

i=1

(x_iy_i+x_iy_i)≤2

n

X

i=1

|x_iy_i|.

Pour établir (1.2) il suffit donc d’établir

(1.3)

n

X

i=1

|x_iy_i| ≤ v u u t

n

X

i=1

|x_i|²

n

X

i=1

|y_i|².

Considérons alors le polynôme deR[X] défini par P(t) =

n

X

i=1

(t|x_i|+|y_i|)²

= t²

n

X

i=1

|x_i|²+ 2t

n

X

i=1

|x_iy_i|+

n

X

i=1

|y_i|²

Ce polynôme qui est positif pour tout t réel a son discriminant négatif ou nul. On a donc

Xⁿ

i=1

|x_iy_i|2

−

n

X

i=1

|x_i|²

n

X

i=1

|y_i|² ≤0, d’où l’on tire (1.3).

Définition 1.16. Soient N et N⁰ deux normes d’un K-espace vectoriel E.

On dit queN⁰ estéquivalenteàN s’il existe deux réelsα, β >0tels que pour tout x∈E on ait

αN(x)≤N⁰(x)≤βN(x).

Proposition 1.17. Il s’agit d’une relation d’équivalence.

Preuve. Élémentaire.

Ceci autorise à parler de normes équivalentes. Pour exprimer que N et N⁰ sont équivalentes on notera

N ∼N⁰.

Proposition 1.18. Les normes k k∞, k k₁ et k k₂ définies dans la propo- sition 1.15 sont équivalentes.

1.2. NORMES SUR M_N,N(K) 11 Preuve. Il suffit par exemple d’établir k k₁ ∼k k_∞ etk k₂ ∼k k_∞. Or on a trivialement pour tout xde Kⁿ,

kxk∞ ≤ kxk₁ ≤nkxk∞

et

kxk∞ ≤ kxk2 ≤√

nkxk∞.

Ce résultat est en fait une conséquence immédiate du théorème suivant.

Théorème 1.19. Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie (avec K =R ou C), toutes les normes de E sont équivalentes.

Preuve. En TD numéro 2.

Remarque 1.20. L’hypothèse sur la dimension et l’hypothèse sur le corps de base sont essentielles. Voir des contre-exemples en TD.

Des considérations topologiques élémentaires (si k k est une norme sur Kⁿ, et siA∈M_n,n(K),x7−→Axest continue surKⁿet{x∈Kⁿ; kxk= 1}

est compact) montrent que la définition suivante est licite.

Définition 1.21. Soit k kune norme sur Kⁿ et soitA ∈Mn,n(K). On pose kAk= sup

kxk=1

kAxk.

Il s’agit d’un réel positif ou nul et l’applicationk kainsi définie surM_n,n(K) est appelée la «norme»induitepar (ou subordonnéeà) la norme k kdeKⁿ. Remarque 1.22. Il est facile de vérifier que

kAk= sup

x6=0

kAxk

kxk = sup

kxk≤1

kAxk.

Théorème 1.23. Avec les notations précédentes la norme induite par k k est bien une norme de M_n,n(K). En outre, elle vérifie :

(i) kAxk ≤ kAk · kxk pour tout (x, A)∈Kⁿ×M_n,n(K);

(ii) kABk ≤ kAk · kBk pour tout (A, B)∈Mn,n(K)×Mn,n(K); (iii) kA^kk ≤ kAk^k pour tout (k, A)∈N×M_n,n(K).

Preuve. Élémentaire.

12 CHAPITRE 1. ALGÈBRE LINÉAIRE, PRÉLIMINAIRES Définition 1.24. Une norme k k de M_n,n(K) vérifiant la condition (ii) ci-dessus est appeléenorme matricielle.

Proposition 1.25. Soit k k une norme matricielle de M_n,n(K). Alors k k vérifie également (iii).

Preuve. Élémentaire.

Remarque 1.26. Attention une norme sur Mn,n(K) n’est pas nécessaire- ment matricielle. Voir au moins un contre-exemple en TD numéro 3. De même une norme matriciellek kne vérifie pas forcémentN(AX)≤kAkN(X)où N est la norme de Kⁿ. En revanche, on peut construire aisément une norme surKⁿvérifiant cette identité (prendreN(X) =k[AX,0, . . . ,0]k). Pour plus de détails voir l’exercice sur les normes compatibles en TD.

Théorème 1.27. Si k k∞ est la norme induite sur M_n,n(K) par k k∞, alors pour tout A ∈M_n,n(K) on a

kAk∞ = max

i n

X

j=1

|a_ij|.

Preuve. Soit x∈Kⁿ vérifiant kxk_∞= 1. On a kAxk∞ = max

i

X

j

aijxj

≤max

i

X

j

|aij||xj|

≤ max

i

X

j

|a_ij|kxk∞ = max

i

X

j

|a_ij|.

On a donc

kAk∞ ≤max

i

X

j

|a_ij|.

Pour montrer qu’il y a égalité, il suffit de trouver x∈Kⁿvérifiant kxk_∞= 1 etkAxk∞ = max_iP

j|a_ij|.

Tout d’abord sia_ij = 0 pour toutiet tout j, l’égalité est triviale. Sinon, soit i0 un indice tel que maxiP

j|aij|=P

j|ai0j|. Prenons alors x défini par x_j =

0 sia_i0j = 0 a_i0j/|a_i0j| sia_i0j 6= 0.

Il y a au moins un indice j tel que a_i0j 6= 0 car on a écarté le cas A = 0.

Ainsi le vecteurx vérifie kxk∞= 1 et l’on a kAxk∞≥

X

j

ai0jxj

= X

j ai0j6=0

|ai0j|=X

j

|ai0j|.

D’où la conclusion.

1.2. NORMES SUR M_N,N(K) 13 Théorème 1.28. Si k k₁ est la norme induite sur M_n,n(K) par k k₁, alors pour tout A ∈M_n,n(K) on a

kAk₁ = max

j n

X

i=1

|a_ij|.

Preuve. Soit x∈Kⁿ vérifiantkxk₁ = 1. On a kAxk₁ = X

i

X

j

a_ijx_j ≤X

i

X

j

|a_ij||x_j|

≤ X

j

X

i

|a_ij||x_j| ≤X

j

|x_j|max

j

X

i

|a_ij|= max

j

X

i

|a_ij|.

On a donc

kAk₁ ≤max

j

X

i

|a_ij|.

Pour montrer qu’il y a égalité, il suffit de trouver x∈Kⁿ vérifiant kxk₁ = 1 etkAxk₁ = max_jP

i|a_ij|.

Soitj₀ un indice tel quemax_jP

i|a_ij|=P

j0|a_ij0|. Prenons alorsxdéfini par xj =

1 si j =j0

0 sinon.

Le vecteur x vérifie kxk₁ = 1. On a alors kAxk₁ =X

i

|a_ij0|, et la conclusion.

Corollaire 1.29. Si A∈M_n,n(K) on a kAk₁ =kA^tk_∞.

Remarque 1.30. Le corollaire 1.4 et la remarque 1.5 montre que l’on a ρ(A) ≤ kAk₁ et ρ(A) ≤ kAk∞. Nous verrons en TD numéro 3 que si N est une norme matricielle (ce qui est le cas pourk k₁etk k∞) on aρ(A)≤N(A).

Théorème 1.31. Si k k₂ est la norme induite sur M_n,n(K) par k k₂, alors pour tout A ∈Mn,n(K) on a

kAk₂ = q

ρ(A^tA).

Preuve. La démonstration fera l’objet d’un exercice de TD numéro 3.

14 CHAPITRE 1. ALGÈBRE LINÉAIRE, PRÉLIMINAIRES Corollaire 1.32. Par conséquent

• Pour toute A∈M_n,n(K), on a kAk₂ =kA^tk₂;

• Si A∈Mn,n(K) est symétrique ou hermitienne (suivant que K =Rou C), on a kAk₂ =ρ(A);

Preuve. Le premier point vient du fait que ρ(A^tA) = ρ(AA^t) (il est bien connu que deux matrices deC, D ∈M_n,n(K)étant données on aχ_CD =χ_DC et donc que CD etDC ont les mêmes spectres).

Le second point découle de kAk₂ =

q

ρ(A^tA) =p

ρ(A²) = p

ρ(A)² =ρ(A).

Remarque 1.33. Si l’on identifieM_n,n(K)avec Kⁿ² via la base(E_ij)_1≤i,j≤n définie par

(E_ij)_kl =δ_i,kδ_j,l

oùδ est le symbole de Kronecker, on pourrait définirk k∞,k k₁ etk k₂ par















kAk∞ = max

i,j |a_ij| kAk₁ = P

i,j

|a_ij| kAk₂ = r

P

i,j

|a_ij|².

Nous éviterons par la suite ces notations qui pourraient prêter à confusion.

Elles ne sont pas en effet égales aux normes induites pour lesquelles nous avons utilisé ces notations. ConsidérerId_n pour s’en convaincre avec k k₁ et k k₂ etId_n+E_ij aveci6=j pour k k_∞.

1.3 Suites de matrices, convergence

1.3.1 Généralités

On définit classiquement la convergence d’une suite d’éléments (u_k)d’un K-espace vectoriel E pour la normeN vers u par

k→∞lim N(uk−u) = 0.

Or si E est un K-espace vectoriel (avec K = R ou C) de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Ainsi si N et N⁰ sont deux normes de

1.3. SUITES DE MATRICES, CONVERGENCE 15 E et si une suite (u_k) converge vers u pour N, il en est de même pour N⁰. Ceci autorise à parler de convergence sans préciser la norme utilisée. On aura donc

k→∞lim u_k =u ⇐⇒ lim

k→∞N(u_k−u) = 0 pour toute norme N

⇐⇒ lim

k→∞N(u_k−u) = 0 pour une norme N.

Ce sera bien sûr le cas pour E =Kⁿ (de dimension n) ou E =Mn,n(K)(de dimension n²).

Remarque 1.34. Notons que si(A_k)est une suite de matrices de M_n,n(K) convergeant vers A, alors pour tout v ∈ Kⁿ on a lim_kA_kv = Av. En effet prenons une norme quelconqueN deKⁿ et considérons la norme induite par N sur M_n,n(K) encore notée N. On a N(A_kv −Av) ≤ N(A_k−A)N(v) et comme N(A_k−A) tend vers 0quand k tend vers l’infini, il en est de même deN(Akv−Av).

Donnons maintenant quelques résultats utiles concernant la convergence de certaines suites (ou séries) de vecteurs et de matrices.

Lemme 1.35. Soit A ∈M_n,n(K) et soit ε > 0. Il existe sur Kⁿ une norme N telle que la norme induite par N sur M_n,n(K) encore notée N vérifie

N(A)≤ρ(A) +ε.

Preuve. On triangularise A dans C. Il existe P ∈GL_n(C)telle que

P⁻¹AP =















λ₁ t_1,2 t_1,3 · · · t_1,n 0 λ₂ t_2,3 · · · t_2,n ... 0 . .. . .. ... ... ... λn−1 tn−1,n

0 0 · · · 0 λ_n













 .

On prend

D= diag(1, δ, δ², . . . , δⁿ⁻¹),

oùδ est un réel positif qui sera choisi ultérieurement. On a alors

(P D)⁻¹A(P D) =















λ₁ δt_1,2 δ²t_1,3 · · · δⁿ⁻¹t_1,n 0 λ₂ δt_2,3 · · · δⁿ⁻²t_2,n

... 0 . .. . .. ...

... ... λn−1 δtn−1,n

0 0 · · · 0 λ_n













 .

16 CHAPITRE 1. ALGÈBRE LINÉAIRE, PRÉLIMINAIRES Choisissons δ de telle sorte que pour tout 1≤i≤n−1on ait

n

X

j=i+1

|δ^j−it_i,j| ≤ε.

Posons alors pour tout B ∈Mn,n(C),

N(B) = k(P D)⁻¹B(P D)k∞.

La fonctionN est une norme surM_n,n(C) et elle est induite par la norme de Cⁿ définie par

N(v) = k(P D)⁻¹vk∞. Or on a par le théorème 1.27

kCk∞= max

i n

X

j=1

|cij|, ce qui entraîne ici

N(A)≤max

i |λ_i|+ε ≤ρ(A) +ε.

Théorème 1.36. Soit A ∈ M_n,n(K). Les affirmations suivantes sont équi- valentes :

(i) (A^k)k≥0 converge vers 0;

(ii) Pour tout v ∈Kⁿ, (A^kv)k≥0 converge vers 0; (iii) ρ(A)<1;

(iv) Il existe une norme induite N pour laquelle N(A)<1.

Preuve. Montrons (i)⇒(ii)⇒(iii)⇒(iv)⇒(i).

(i)⇒(ii) : c’est une conséquence directe de la remarque 1.34.

(ii)⇒(iii) : soit λ une valeur propre deA et v 6= 0 un vecteur propre associé à λ. On a A^kv = λ^kv et donc limk→∞λ^kv = 0. Ceci n’est possible que si

|λ|<1. On en déduit ρ(A)<1.

(iii)⇒(iv) : siρ(A)<1, en prenantεsuffisamment petit, on sait par le lemme 1.35 qu’il existe une norme induite N telle queN(A)<1.

(iv)⇒(i) : Si N est induite, c’est une norme matricielle. On a alors N(A^k)≤ N(A)^k et donclim_k→∞A^k = 0.

Remarque 1.37. On pouvait ajouter une autre condition équivalente

1.3. SUITES DE MATRICES, CONVERGENCE 17 (v) :Il existe une norme matricielle N pour laquelle N(A)<1.

Corollaire 1.38. Soit k k une norme matricielle de Mn,n(K). Alors pour tout matrice A∈M_n,n(K), on a

k→∞lim kA^kk^1/k =ρ(A).

Preuve. Soit k k une norme matricielle. Comme indiqué dans la remarque 1.30, on a : ρ(M)≤ kMkpour toute matrice M (voir preuve en TD numéro 3). AvecM =A^k, cela donneρ(A)^k =ρ(A^k)≤ kA^kket en prenant les racines k-ièmes on obtient

ρ(A)≤ kA^kk^1/k.

Pour avoir la conclusion il suffit d’établir que pour toutε >0, il existek₀ tel que pour tout k ≥k₀, on a

kA^kk^1/k ≤ρ(A) +ε.

Posons

B = A

ρ(A) +ε.

On a trivialement ρ(B) < 1, et par le théorème 1.36 on a limk→∞B^k = 0.

Ceci entraîne en particulier l’existence d’un k₀ tel que pour toutk ≥k₀, on ait kB^kk ≤1. Or

kB^kk= kA^kk (ρ(A) +ε)^k, et

kB^kk ≤1 =⇒ kA^kk^1/k ≤ρ(A) +ε, ce qui est précisément ce que l’on veut.

1.3.2 Exponentielle de matrices

Théorème 1.39. Pour toute A∈M_n,n(K) la suite (A_N) définie par A_N =

N

X

k=0

1 k!A^k converge.

Preuve. On choisit surM_n,n(K)une norme matricielle, par exemple induite.

La série est absolument convergente carPN

k=0k1/k!A^kk ≤PN

k=01/k!kAk^k ≤ expkAk. CommeM_n,n(K)est complet, en tant queK-espace vectoriel de di- mension finie (car K =R ouC est complet), toute série absolument conver- gente est convergente et on a le résultat.

18 CHAPITRE 1. ALGÈBRE LINÉAIRE, PRÉLIMINAIRES On note expA la limite de la suite (A_N). On a donc

expA=

∞

X

k=0

1 k!A^k.

Exemple 1.40. Donnons quelques exemples élémentaires :

• SiD= diag(d₁, . . . , d_n) est une matrice diagonale, alors on a expD= diag(expd₁, . . . ,expd_n) ;

• SiA et B sont semblables avec B =P AP⁻¹ etP ∈GL_n(K) alors expB =P(expA)P⁻¹ ;

• SiA est nilpotente, on Aⁿ= 0 (cf TD) et expA=

n−1

X

k=0

1 k!A^k. Proposition 1.41. Si A et B commutent, on a

exp(A+B) = expAexpB = expBexpA.

Preuve. En TD.

Remarque 1.42. Nous verrons en TD numéro 5 des exemples de matricesA etB (qui ne commutent pas) et pour lesquelles on aexpAexpB 6= exp(A+B) etexpAexpB 6= expBexpA.

Procédé général de calcul. On se sert d’un décomposition de Dunford de A : A =D+N où D est diagonalisable, N nilpotente et où DN =N D. Si D=P dP⁻¹ (avec d=diag(d₁, . . . , d_n) diagonale etP ∈GL_n(K)), on a alors par ce qui précède

expA = Pdiag(expd₁, . . . ,expd_n)P⁻¹

n−1

X

k=0

1 k!N^k

=

n−1

X

k=0

1

k!N^kPdiag(expd₁, . . . ,expd_n)P⁻¹ Donnons enfin un résultat élémentaire.

Proposition 1.43. La fonction exp est continue sur M_n,n(K).

Preuve. Exercice.

1.3. SUITES DE MATRICES, CONVERGENCE 19

1.3.3 Généralisation. Autres exemples

Soit

f(z) =

∞

X

k=0

akz^k

une série entière de rayon de convergence R >0 (on peut avoir R =∞). Si elle est définie on note

f(A) =

∞

X

k=0

akA^k= lim

p→∞

p

X

k=0

akA^k.

Théorème 1.44. On considère sur M_n,n(K) une norme matricielle k k.

Pour tout A∈M_n,n(K) vérifiant kAk< R, f(A) est définie.

Preuve. Classiquement désormais, M_n,n(K) est complet (indépendamment de la norme choisie) et il suffit de prouver que la série est absolument conver- gente pour une norme donnée. Prenonsk k. Par propriété des séries entières,

∞

X

k=0

|ak|r^k<∞ si 0≤r < R. Or comme

p

X

k=0

kakA^k k=

p

X

k=0

|ak| kA^k k≤

p

X

k=0

|ak| kAk^k,

car k k est matricielle, la série converge absolument pour k k dès que kAk< R.

Remarque 1.45. Ce résultat généralise ce qu’on a vu à propos de l’expo- nentielle, cas dans lequel on a R =∞.

Remarque 1.46. Suppososons queR < ∞. Alors on peut avoir convergence même sikA k≥R. On peut en effet avoir N(A)< R pour une autre norme matricielle N. À titre d’exemple considérons

f(z) =

∞

X

k=1

z^k

(de rayon de convergence 1) et A=

2/3 2/3

0 0

.

20 CHAPITRE 1. ALGÈBRE LINÉAIRE, PRÉLIMINAIRES On a

kAk∞= 4

3 >1 mais kA k₁= 2 3 <1.

De faitf(A) est bien définie est vaut 2 2

0 0

.

Ceci conduit au critère plus explicite suivant.

Théorème 1.47. Soit A ∈ Mn,n(K). Si ρ(A) < R, f(A) est définie et si ρ(A)> R, f(A) n’est pas définie.

Preuve. Si ρ(A) < R, il existe une norme induite donc matricielle N telle queN(A)< R par le lemme 1.35. Le théorème 1.44 donne la convergence.

Siρ(A)> R il existe une valeur propre deA, λ telle que|λ|> R. Soit v 6= 0 un vecteur propre associé à λ. On a

p

X

k=0

a_kA^kv =

p

X

k=0

a_kλ^kv

et comme (Pp

k=0akλ^k)p≥0 diverge par propriété générale des séries entières, on ne peut avoir convergence de (Pp

k=0a_kA^k)p≥0 dans M_n,n(K) (voir re- marque 1.34).

Remarque 1.48. En revanche si ρ(A) = R < ∞ on ne peut rien dire. Si par exemple

f(z) =

∞

X

k=1

z^k k alors f(Id_n)n’est pas définie mais f(B) l’est si

B =

−1 0 0 −1

.

On a bien ici ρ(Idn) = ρ(B) =R = 1.

Exemple 1.49. On aurait pu définir à l’instar de expA les fonctions chA, shA,cosA, sinA et logA de la façon suivante.

• Posons

chA=

∞

X

k=0

1 2k!A^2k. Elle est définie pour touteA.

1.3. SUITES DE MATRICES, CONVERGENCE 21

• Posons

shA=

∞

X

k=0

1

2k+ 1!A^2k+1. Elle est définie pour toute A.

• Posons

cosA=

∞

X

k=0

(−1)^k 1 2k!A^2k. Elle est définie pour toute A.

• Posons

sinA =

∞

X

k=0

(−1)^k 1

2k+ 1!A^2k+1. Elle est définie pour toute A.

• Posons

logA=

∞

X

k=1

(−1)^k+1

k (A−Id_n)^k.

Elle est bien définie par exemple si k k est une norme matricielle et si kA−Id_n k<1 ou encore siρ(A−Id_n)<1.

On pourrait alors prouver certaines propriétés de ces fonctions similaires à celles dont elles jouissent sur les nombres mais ce n’est pas l’objet ici.

Citons pour finir quelques propriétés élémentaires qui peuvent servir.

Proposition 1.50. Soient f et g des séries entières.

1. Si f(A) est définie, on a Af(A) = f(A)A;

2. Si f(A) et g(A) sont définies on a f(A)g(A) =g(A)f(A);

3. Soit f une série entière de rayon de convergence R >0 (on peut avoir R=∞) et k k une norme matricielle. Alors f (au sens matriciel) est continue sur

{A∈M_n,n(K);kAk< R}.

Preuve. Élémentaire. En particulier le point (3) généralise ce qui a été dit pourexp.

22 CHAPITRE 1. ALGÈBRE LINÉAIRE, PRÉLIMINAIRES

1.3.4 Application aux systèmes différentiels

L’exponentielle de matrices intervient dans la résolution de systèmes dif- férentiels de la forme :









 y₁⁰(t) y₂⁰(t)

... y⁰_n(t)











=A









 y₁(t) y₂(t)

... y_n(t)









 +









 b₁(t) b₂(t)

... b_n(t)









 ,

oùA ∈M_n,n(R)et où lesb_i ety_isont des fonctions à valeurs réelles, dérivables sur un intervalle I ⊆ R, système que l’on peut écrire avec des notations évidentes :

Y⁰ =AY +B.

Remarque 1.51. On pourrait prendre A∈Mn,n(C), et lesbi etyi à valeurs complexes sur I. Cela ne changerait rien.

Commençons par traiter le cas homogène B = 0.

Lemme 1.52. L’application R −→Mn,n(K) définie par g(t) = exp(tA) est dérivable sur R et l’on a

g⁰(t) =Aexp(tA).

Preuve. Sit⁰ 6=t on a

g(t⁰)−g(t) =

∞

X

k=1

1

k!(t^0k−t^k)A^k, d’où

g(t⁰)−g(t) t⁰−t =

∞

X

k=1

t^0k−1+t^0k−2t+· · ·+t⁰t^k−2+t^k−1

k! A^k.

On en déduit que g(t⁰)−g(t)

t⁰−t −Aexp(tA) =

∞

X

k=1

t^0k−1+t^0k−2t+· · ·+t^k−1−kt^k−1

k! A^k

=

∞

X

k=2

t^0k−1+t^0k−2t+· · ·+t^k−1−kt^k−1

k! A^k.

Or

t^0k−1+t^0k−2t+· · ·+t^k−1−kt^k−1

1.3. SUITES DE MATRICES, CONVERGENCE 23 est égal à

(t^0k−1−t^k−1) + (t^0k−2−t^k−2)t+· · ·+ (t⁰−t)t^k−2 et en se servant de l’inégalité

|t^0p−t^p| ≤p|t⁰−t|

|t|+|t⁰|p−1

directement issue du théorème des accroissements finis, on voit que

|t^0k−1+t^0k−2t+· · ·+t^k−1−kt^k−1| ≤ k(k−1)

2 |t⁰ −t|

|t|+|t⁰|k−2

. On en déduit que si k kest une norme matricielle, on a

k g(t⁰)−g(t)

t⁰−t −Aexp(tA)k≤ |t⁰−t|

2 kAk² exp

(|t|+|t⁰|)kAk , et

tlim⁰→tk g(t⁰)−g(t)

t⁰−t −Aexp(tA)k= 0, par continuité deexp. D’où la conclusion.

Théorème 1.53. La solution générale de Y⁰(t) = AY(t) est Y(t) = exp(tA)C

où C∈Rⁿ. Preuve. On pose

H(t) = exp(−tA)Y(t).

On a alors par le lemme 1.52,

H⁰(t) =−Aexp(−tA)Y(t) + exp(−tA)Y⁰(t) = 0

pour tout t ∈R. On en déduit que la fonction H est une constante C ∈Rⁿ et la conclusion par multiplication à gauche par exp(tA).

Qu’advient-il maintenant dans le cas non homogène ? Posons de nouveau H(t) = exp(−tA)Y(t). Il vient

H⁰(t) = exp(−tA)B(t).

et si H(t) = (h₁(t), . . . , h_n(t)on a pour tout i

(1.4) h⁰_i(t) = f_i(t)

24 CHAPITRE 1. ALGÈBRE LINÉAIRE, PRÉLIMINAIRES où

exp(−tA)





 b1(t)

... b_n(t)





=





 f1(t)

... f_n(t)





.

Il suffit alors d’intégrer (1.4) pour avoir les hi. On en déduit alors Y(t) = exp(tA)H(t).

En fait, il suffit même d’obtenir une solution particulière h_i de chaque (1.4) ce qui donne une solution particulière du système. En effet toute solution du système est la somme de cette solution particulière et d’une solution du système homogène facile à intégrer, comme on l’a vu.

Exemple 1.54. Soit à résoudre la système

x⁰(t) = 5x(t) +y(t) + expt y⁰(t) = −4x(t) +y(t) + exp(−t).

On a

tA=

5t t

−4t t

. On calcule facilement

χ_tA(X) =x²−6tx+ 9t² = (x−3t)²

et3t est valeur propre double. Ainsi pourt6= 0,tAn’est pas diagonalisable, sinon on aurait tA= 3tId₂. Il convient de rechercher une décomposition de Dunford detApour calculer son exponentielle. Un vecteur propre detApour 3t estf₁ = (1,−2). Complétons en (f₁, f₂) avec f₂ = (0,1). Si

P =

1 0

−2 1

d’inverse P⁻¹ =

1 0 2 1

, on a

A⁰ =P⁻¹(tA)P =

3t t 0 3t

. Ainsi une décomposition de Dunford deA⁰ est

A⁰ =t(3 Id₂+N) avec N = 0 1

0 0

.

CommeN² = 0 on obtient facilement expA⁰ = exp(3t)(Id₂+tN) =

exp(3t) texp(3t) 0 exp(3t)

,

1.3. SUITES DE MATRICES, CONVERGENCE 25 d’où l’on tire

exp(tA) =P expA⁰P⁻¹ =

(1 + 2t) exp(3t) texp(3t)

−4texp(3t) (1−2t) exp(3t)

.

La solution générale du système homogène est donc x(t) = (1 + 2t) exp(3t)C₁+texp(3t)C₂

y(t) = −4texp(3t)C₁+ (1−2t) exp(3t)C₂, avec(C₁, C₂)∈R².

Passons maintenat au système non homogène. Posons H(t) =

h₁(t) h2(t)

= exp(−tA) x(t)

y(t)

.

Il vient

H⁰(t) = exp(−tA)

expt exp(−t)

=

(1−2t) exp(−2t)−texp(−4t) 4texp(−2t) + (1 + 2t) exp(−4t)

.

Une solution particulière est facile à trouver et l’on obtient par exemple h₁(t) = exp(−2t) + ^4t+1₁₆ exp(−4t)

h₂(t) = −(2t+ 1) exp(−2t)− ^4t+3₈ exp(−4t).

On en déduit une solution particulière du système non homogène x_p(t) = (−2t²+t+ 1) expt+ ₁₆¹ exp(−t)

y_p(t) = (4t²−4t−1) expt−³₈ exp(−t) et la solution générale du système :

x(t) = x_p(t) + (1 + 2t) exp(3t)C₁+texp(3t)C₂ y(t) = y_p(t)−4texp(3t)C₁+ (1−2t) exp(3t)C₂.

26 CHAPITRE 1. ALGÈBRE LINÉAIRE, PRÉLIMINAIRES

Chapitre 2

Le pivot de Gauss

2.1 Rappels sur les matrices de permutations

Définition 2.1. Soit σ ∈ S_n une permutation de {1, . . . , n}. On appelle matrice de σ et on note Pσ la matrice de (pi,j)∈Mn,n(Z) définie par

p_i,j =δ_i,σ(j). Exemple 2.2. Soit σ∈S4 définie par

σ =

1 2 3 4 2 3 4 1

.

Alors

P_σ =









0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0







 .

Remarque 2.3. Une autre définition possible eût été : matrice dont chaque ligne et chaque colonne ne comporte qu’un coefficient non nul valant 1.

Proposition 2.4. On a les propriétés élémentaires suivantes.

1. Pσei =eσ(i) (où (ei)1≤i≤n est la base canonique de Rⁿ) 2. Pσ◦σ⁰ =P_σP_σ⁰

3. P_Id{1,...,n} = Id_n.

4. Pσ est inversible d’inverse P_σ⁻¹ =P_σ^t. Ainsi Pσ est orthogonale.

Preuve. Exercice.

27

28 CHAPITRE 2. LE PIVOT DE GAUSS Un exemple fondamental est celui des matrices de transpositions. Si τ = (i, j)est une transposition,P_τ est la matrice dont la diagonale comporte des 1 partout sauf en lignesietj où le coefficient est nul, tous les coefficients non diagonaux étant nuls sauf les coefficients indexés par(i, j)et(j, i)qui valent 1. En s’appuyant sur les propriétés des transpositions, on peut montrer que :

1. Toute P_σ est produit d’au plus n−1 matrices de transpositions.

2. Si τ est une transpositiondetP_τ =−1.

3. Pour toute permutation σ∈S_n, detP_σ = sign (σ).

Remarque 2.5. Il est facile de voir que multiplier à gauche une matrice A par une matrice de permutationPσ revient à permuter les lignes deAsuivant σ (la ligne i de A est envoyée en ligne σ(i)) et que multiplier à droite une matriceApar une matrice de permutationP_σ revient à permuter les colonnes deA suivantσ⁻¹ (la colonnei deA est envoyée en colonneσ⁻¹(i) ou, si l’on préfère, la colonne ide AP_σ est la colonne σ(i) deA).

2.2 Exemples concrets, le principe

Soient A ∈ GL_n(K), B ∈ Kⁿ (vu comme vecteur colonne). On désire résoudre AX =B. En théorie, on dispose de plusieurs approches.

• Calculer A⁻¹;

• Les formules de Cramer :

xi = detA_i detA,

oùA_i est la matrice A avecB à la place de la i-ème colonne.

Mais tout ceci est très coûteux en pratique. Une idée élémentaire consiste à transformer A de manière à se ramener à un système triangulaire. Donnons quelques exemples concrets.

Exemple 2.6. Soient A=





2 1 1 4 1 3 6 5 2



 et B =



 1 4 2



.

On veut donc résoudre







2x+y+z = 1 4x+y+ 3z = 4 6x+ 5y+ 2z = 2

2.2. EXEMPLES CONCRETS, LE PRINCIPE 29 1. On considére le pivot 2 de la première ligne et on fait L₂ ←−L₂−2L₁

puis L₃ ←−L₃−3L₁. On obtient le système équivalent :







2x+y+z = 1

−y+z = 2 2y−z = −1

2. On considère lepivot−1de la deuxième ligne et on faitL₃ ←−L₃+2L₂. On obtient le système équivalent :







2x+y+z = 1

−y+z = 2 z = 3

que l’on résout facilement en remontant :z = 3,y = 1, x=−3/2.

C’est l’idée de base que nous interprétons maintenant matriciellement. On a successivement fait les choses suivantes.

1. On a utilisé la matrice L⁰₁ =





1 0 0

−2 1 0

−3 0 1



 d’inverse L₁ =





1 0 0 2 1 0 3 0 1





et on s’est ramené au système

L⁰₁AX =L⁰₁B.

2. On a utilisé la matrice L⁰₂ =





1 0 0 0 1 0 0 2 1



 d’inverse L₂ =





1 0 0 0 1 0 0 −2 1





et on s’est ramené au système

L⁰₂L⁰₁AX =L⁰₂L⁰₁B.

En posant

U =L⁰₂L⁰₁A

qui est triangulaire supérieure on s’est donc ramené au système plus simple U X =L⁰₂L⁰₁B.

On a donc implicitement utilisé la fait queA=L₁L₂U se décompose sous la forme

A=LU,

où L = L1L2 est triangulaire inférieure ne comportant que des 1 sur la diagonale et oùU esttriangulaire supérieure.

30 CHAPITRE 2. LE PIVOT DE GAUSS Mais cela n’est pas toujours aussi simple et l’on peut par exemple tomber sur un pivot nul (cas extrême : a_1,1 = 0). On joue alors sur les permutations de lignes. Donnons un nouvel exemple pour illustrer ce cas.

Exemple 2.7. Soient

A =









2 1 0 4

−4 −2 3 −7

4 1 −2 8

0 −3 −12 −1









et B =







 2

−9 2 2







 .

1. Servons-nous du pivot2et faisonsL2 ←−L2+ 2L1 etL3 ←−L3−2L1. Avec les notations précedentes on a

L⁰₁ =









1 0 0 0 2 1 0 0

−2 0 1 0 0 0 0 1









d’inverse L1 =









1 0 0 0

−2 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1







 .

Ce qui conduit à

A⁽¹⁾ =L⁰₁A=









2 1 0 4

0 0 3 1

0 −1 −2 0 0 −3 −12 −1









et B⁽¹⁾ =L⁰₁B =







 2

−5

−2 2







 ,

et au systèmeA⁽¹⁾X =B⁽¹⁾. Mais alors le pivot suivant a⁽¹⁾_2,2 est nul.

2. L’idée naturelle est d’échanger les lignes 2 et 3, ce qui revient à multi- plier à gauche par la matrice de transposition P_τ avec τ = (2,3)(voir section précédente) :

P_τ =









1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1







 .

On est alors ramené au systèmeA⁽²⁾X =B⁽²⁾ où

A⁽²⁾ =P_τL⁰₁A=









2 1 0 4

0 −1 −2 0

0 0 3 1

0 −3 −12 −1









2.2. EXEMPLES CONCRETS, LE PRINCIPE 31 et

B⁽²⁾ =P_τL⁰₁B =







 2

−2

−5 2







 .

3. On peut alors poursuivre. On fait L4 ←− L4 −3L2 ce qui revient à utiliser

L⁰₂ =









1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 −3 0 1









d’inverse L₂ =









1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 3 0 1







 .

On obtient alors le système A⁽³⁾X =B⁽³⁾ où

A⁽³⁾ =L⁰₂PτL⁰₁A=









2 1 0 4

0 −1 −2 0

0 0 3 1

0 0 −6 −1









et

B⁽³⁾ =L⁰₂P_τL⁰₁B =







 2

−2

−5 8







 .

4. Finalement on fait L4 ←−L4+ 2L3 ce qui revient à utiliser

L⁰₃ =









1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1









d’inverse L₃ =









1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 −2 1







 .

On obtient alors le système A⁽⁴⁾X =B⁽⁴⁾ où

A⁽⁴⁾ =L⁰₃L⁰₂P_τL⁰₁A=









2 1 0 4

0 −1 −2 0

0 0 3 1

0 0 0 1









et

B⁽⁴⁾ =L⁰₃L⁰₂PτL⁰₁B =







 2

−2

−5

−2







 .

La résolution en cascade mène à :x₄ =−2, x₃ =−1,x₂ = 4 etx₁ = 3.

32 CHAPITRE 2. LE PIVOT DE GAUSS Quid d’une éventuelle décompositionLU deA? Posons U =A⁽⁴⁾. C’est une matrice triangulaire supérieure. On a

U = L⁰₃L⁰₂P_τL⁰₁A

= L⁰₃L⁰₂PτL⁰₁P_τ⁻¹PτA

= L⁰₃L⁰₂L⁰₄P_τA, où

L⁰₄ = P_τL⁰₁P_τ⁻¹

= PτL⁰₁Pτ

=









1 0 0 0

−2 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1









d’inverse

L₄ =









1 0 0 0 2 1 0 0

−2 0 1 0 0 0 0 1







 .

Ceci donne

P_τA =LU

avec L = L₄L₂L₃ triangulaire inférieure dont la diagonale ne comporte que des 1 :

L=









1 0 0 0

2 1 0 0

−2 0 1 0 0 3 −2 1







 .

Remarque 2.8. Il est intéressant de noter que lesL⁰_i qui sont égales à l’iden- tité, aux coefficients d’une seule colonne près, situés sous la diagonale, s’in- versent facilement : il suffit de prendre les opposés de ces coefficients. Par ailleurs, si l’on calcule un produit de telles matrices, ces matrices étant or- données de gauche à droite, de la plus haute sous-colonne non nulle vers la plus basse (ces sous-colonnes ayant toutes des hauteurs différentes), il suffit en fait de recopier les sous-colonnes pour obtenir le produit recherché. Ainsi L est obtenue sans calcul.

2.3. LE THÉORÈME PRINCIPAL 33

2.3 Le théorème principal

Donnons maintenant le théorème qui généralise ce que l’on vient de voir.

Théorème 2.9. Soit A∈GL_n(K). Il existe P matrice de permutation (pas nécessairement transposition), L triangulaire inférieure à termes diagonaux égaux à 1 et U triangulaire supérieure telles que

P A=LU.

De plus, P étant fixée, L et U sont uniques.

Preuve. Voir TD numéro 8.

Corollaire 2.10. Si on connaît une telle décomposition avec P = P_σ, on peut calculer A⁻¹ et detA de façon très pratique. En effet il est facile de voir que

A⁻¹ =U⁻¹L⁻¹P et

detA= sign(σ)

n

Y

i=1

u_i,i.

Notons que la procédure de résolution de AX = B qui se dégage de ce résultat consiste à factoriser A sous la forme P A = LU puis à résoudre AX =B par LY =P B puis U X = Y. Ce qui est d’autant plus intéressant qu’on a plusieurs B à tester.

2.4 Le coût

Quel est le coût de cette procédure pour un seul B? On a trois phases : factorisation LU, résolution de LY =B puis résolution deU X =Y.

1. À l’étape k (1≤k ≤n−1) de la factorisation :

• n−k multiplications ou divisions pour déterminer L⁰_k, ce qui donne L_k sans calcul ;

• (n−k)² additions et multiplications pour calculerL⁰_kA^(k−1) (avec la conventionA⁽⁰⁾=A) ;

• Les permutations n’induisent pas d’opérations.

À la fin on a U, et L s’obtient sans calcul (par recopiage). En tout on a donc

n−1

X

k=1

(n−k)²+

n−1

X

k=1

(n−k) = 1

3n(n−1

2)(n−1) +1

2n(n−1) opérations.

34 CHAPITRE 2. LE PIVOT DE GAUSS 2. La résolution d’un système triangulaire nécessite n(n−1)/2additions et multiplications etn divisions par les pivots (ou multiplications si les inverses ont été stockés en amont) et ces dernières opérations ne sont pas nécessaires pour LY = P B car les termes diagonaux de L valent 1. D’où en tout pour les deux systèmes

n(n−1) +n=n² opérations.

Finalement, quand n est grand on a une complexité algébrique qui vaut 1

3n(n− 1

2)(n−1) + 1

2n(n−1) +n² ∼ 1 3n³ .

2.5 Mise en oeuvre effective et variantes

Le problème auquel on est concrètement inévitablement confronté est celui de la précision des calculs. Car quand bien même il serait possible de travailler exactement (par exemple siA∈ M_n(Z)auquel cas tous les calculs peuvent se faire dans Q), la taille des nombres (ou seulement des parties des fractions manipulées) peut exploser. Il est alors intéressant de pouvoir majorer l’erreur globale en fonction d’un erreur d’arrondi tolérée sur chaque opération élémentaire. Citons sans preuve.

Théorème 2.11. Soit K le plus grand coefficient en valeur absolue des ma- tricesA^(k) intervenant dans la factorisation de Gauss. Soit εune majoration de l’erreur d’arrondi sur chaque opération élémentaire. si L_c et U_c sont les matrices effectivement calculées, on a

P A=L_cU_c +E où, avec une notation naturelle,

|E| ≤3Kε



















0 0 · · · 0 1 1 · · · 1 1 2 2 · · · 2 1 2 3 · · · 3 ... ... ... ... 1 2 3 · · · n−1

















 .

Le problème est avant tout tout de savoir juguler K. Et le moyen d’y parvenir est d’utiliser des variantes appropriées permettant de ne pas avoir à manipuler des pivots trop petits. Il en existe essentiellement deux.