Licence de mathématiques et informatique - 2010-2011
Algorithmique algébrique
Devoir 2
====================
1 Soit K un corps commutatif. Soient A et B deux polynômes distincts de K[x] non nuls et de pgcd D. Montrer qu’il existe un unique couple (U, V) de K[x]2 tel que degU < deg(B/D), degV <deg(A/D)et AU +BV =D, et que ce couple est donné par l’algorithme d’Euclide étendu (on pourra pour cela utiliser le résultat établi dans l’exercice 4 de la feuille 6).
2
1. Quels sont les polynômes irréductibles de degré 2 deF3[x]? 2. Effectuer la décomposition en éléments simples de
x5+ 1
x4+x3+x−1 ∈F3(x).
3 SoitP un polynôme de R[x]de degré n : P =
n
X
i=0
aiXi.
On veut évaluer P en un nombre complexe z =x+iy.
1. Pour multiplier deux nombres complexes, combien d’additions et de multiplications dansRfaut il effectuer ? (Il y a plusieurs réponses possibles, suivant l’algorithme de multiplication utilisé).
2. Si l’on applique la méthode de Horner, combien d’additions et de multiplications dansRdoit-on effectuer ?
3. On propose ici une variante de l’algorithme de Horner pour l’évaluation de P(z).
Soient x1 = an, y1 = an−1, r = 2x, s = x2+y2. Pour j ≥ 2, on définit xj = yj−1 +rxj−1 et yj =an−j−sxj−1. Enfin, on définit Ri comme la suite des restes intermédiaires dans la division euclidienne de P par X2−rX +s, c’est-à-dire : R1 =P et pourj ≥2,
Rj =Rj−1−cd(Rj−1)(X2−rX +s)Xdeg(Rj−1)−2, où cd(Rj−1) désigne le coefficient dominant de Rj−1.
(a) Montrer que X2−rX+s= (X−z)(X−z).
(b) Montrer que pour toutj ≥1,
Rj =xjXn−j+1+yjXn−j +
n−j−1
X
i=0
aiXi.
En déduire que le reste de la division deP par X2−rX +s est égal à xnX+yn. (c) Montrer que P(z) = xnz+yn.
(d) Combien de multiplications et d’additions dans R nécessite cet algorithme ? Comparer avec le 1.
