Licence de mathématiques et informatique - 2010-2011
Algorithmique algébrique
FEUILLE D’EXERCICES N◦ 6
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1 Quel est le reste de la division euclidienne dex1000−3x2+ 1 par x−1? Par (x−1)2? 2 Pour quelles valeurs de n le polynôme
(x+ 1)n−xn−1 est-il divisible par x2+x+ 1?
Pour quelles valeurs de n est-il divisible par (x2+x+ 1)2?
3 SoientP =x4+ 2x2−x−2 et Q=x3+x−2. Déterminer le pgcdD de P et Q, et trouver des polynômes U et V de Q[x] tels que U P +V Q = D. Déterminer l’ensemble des couples (U0, V0) de Q[x]2 qui vérifient U P +V Q=D0.
Mêmes questions avecP =x5−5x4+x3−x2+ 3 et Q=x3+ 3x2−1.
4 SoientA etB deux polynômes de K[x], oùK est un corps commutatif. On suppose quedegA≥ degB. On note P0 =A, P1 =B, U0 = 1, U1 = 0, V0 = 0 et V1 = 1. Pour tout entier i supérieur ou égal à 0, on note
Pi−1 =QiPi+Pi+1,
où degPi+1 <degPi, jusqu’à l’entier l tel que Pl+1 = 0. Alors Pl =pgcd(A, B). On note aussi, pour i∈ {1, . . . , l−1} :
Ui+1 =−QiUi+Ui−1 etVi+1 =−QiVi+Vi−1. Enfin, pour tout i, on note ni = degPi.
Montrer que pouri∈ {2, . . . , l+ 1}
degUi =
i−1
X
j=2
degQj =n1−ni−1,
et que pour tout i∈ {1, . . . , l+ 1}
degVi =
i−1
X
j=1
degQj =n0−ni−1.
5 Soit K un corps commutatif. Soient A et B deux polynômes distincts de K[x] non nuls et de pgcd D. Montrer qu’il existe un unique couple (U, V) de K[x]2 tel que degU < deg(B/D), degV <deg(A/D) etAU +BV =D, et que ce couple est donné par l’algorithme d’Euclide étendu.
