Licence de mathématiques et informatique - 2010-2011
Algorithmique algébrique
Devoir 1
====================
1 Résoudre dans Zles systèmes suivants
x≡1mod 10 x≡2mod 11 x≡3mod 13 (x≡15mod 35
x≡8mod 42
2 Trouver les nombres premiers p et q tels que n = pq = 325141 et ϕ(n) = 324000 (avec une calculatrice qui ne possède pas de fonction factor).
3 Nombres de Mersenne et nombres parfaits.
Pour tout entier n, on note Mn = 2n−1.
1. Soitn un entier. Montrer que si Mn est premier, alors n est premier.
2. Pour tout entiern, on note
σ(n) = X
d|n
d.
Montrer que si m et n sont deux entiers premiers entre eux, alorsσ(mn) =σ(m)σ(n).
3. Un nombre entierN est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs propres, c’est-à-dire si σ(N) = 2N. Montrer qu’un nombre pair est parfait si et seulement s’il s’écrit N = 2n−1Mn, où Mn est premier.
