Enoncé E6901 (Diophante) Inégalités triangulaires
Soit un triangle ABC dont les dimensions des côtés AB = c, AC=betBC =asont classées dans l’ordre croissant :c≥b≥a avec a < b+c.
L’indice d’inégalitéI de ce triangle est le plus petit des deux rap- portsb/c eta/b:I = min(b/c, a/b).
Plus I est petit et proche de 1, plus le triangle se rapproche d’un triangle isocèle avec au moins deux côtés de dimensions très proches. A l’inverse, plus I est grand, plus le triangle peut être considéré comme “inégal”, en d’autres termes le “moins isocèle possible”.
Q1 Déterminer la valeur plafond de I.
Q2 Construire le triangle le plus inégal possible tel que le plus grand côtéBC est égal à 10 cm et la hauteur issue deA est égale à 1 cm.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
A a et c donnés, on maximise I en prenant b = √
ac, et alors b=a/I,c=a/I2; l’inégalité du triangle donne 1/I+ 1/I2 >1.
Il en résulteI < ϕ= (√
5 + 1)/2 = 1,618034. . ., nombre d’or.
Question 2
Avec la hauteurhimposée, aest la somme des projections de bet c. La répartition de a entre les deux projections doit respecter la condition a=bI =cI2 maximisant I.
L’indice d’inégalité maximal est donc donné par p1/I2−h2/a2+p1/I4−h2/a2−1 = 0.
Pour h/a = 0,1, I = 1,593985. . .; les côtés sont b = 6,2736 cm etc= 3,9358 cm.
