Activit´e de math´ematiques (correction)
Maillages et rep´erage dans le plan
Exercice 1
O −→ i
−
→j
A B
C D
F E
Les coordonn´ees des points A, B et C dans le rep`ere (O;−→ i ,−→
j) sont A(1; 2), B(−1; 1) et C(2,5;−2).
Exercice 2
O −→ i
−
→j
A
B
C
M
N
P
1. Dans le triangle ABC : M ∈ [AB], N ∈[AC] et (M N)//(BC). D’apr`es le th´eor`eme de Thal`es :
AM
AB = AN
AC = M N BC d’o`u :
2
3 = M N
4 et M N = 8 3
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2. On en d´eduit que M P =N P −M N = 3−8
3 = 13, les coordonn´ees du pointM dans le rep`ere (O;−→
i ,−→
j) sont doncM(2;13).
3. On construit `a l’aide du maillage des triangles particuliers :
O −→ i
−
→j A
B
C
M N
A′ M′
M′′
P
B′
N′
N′′
C′ P′
P′′
(a) En appliquant le th´eor`eme de Thal`es dans le triangle A′BC, on obtientM M′ = 23. DoncM M′′=M′M′′−M M′= 2− 2
3 = 43 etM(1;−4
3).
(b) En appliquant le th´eor`eme de Thal`es dans le triangle AB′C, on obtient N N′ = 15. DoncN N′′=N′N′′−N N′ = 1−1
5 = 45 etN(−4
5; 2).
(c) En appliquant le th´eor`eme de Thal`es dans le triangle ABC′, on obtient P P′ = 94. DoncP P′′=P′P′′−P P′ = 3−9
4 = 34 etP(2;34).
Exercice 3
1. Les coordonn´ees des pointsA,B etC dans le rep`ere (O;−→ i ,−→
j) sontA(3; 2),B(7,5; 0,5) etC(2;−2).
2. Les coordonn´ees des pointsA,B etC dans le rep`ere (K;−→ u ,−→
v) sontA(−2; 3,5), B(1; 2) etC(−0,5;−0,5).
3. −→ i = 12−→
u et−→ j =−1
2
−
→u +−→ v. 4. −−→
KO=−5
2
−
→u + 32−→ v.
5. On consid`ere un point M de coordonn´ees x et y dans le rep`ere (O;−→ i ,−→
j), on a alors
−−→ OM =x−→
i +y−→ j d’o`u :
−−→ OM =x(1
2
−
→u) +y(−1 2
−
→u +−→ v) =x
2 − y 2
−→ u +y−→
v
6. En utilisant la relation de Chasles −−→
KM =−−→
KO+−−→
OM on obtient :
−−→KM =−5 2
−
→u +3 2
−
→v +x 2 −y
2 −→
u +y−→
v = x−y−5 2
−
→u +
y+3 2
−
→v
7. On a montr´e que si les coordonn´ees d’un point M dans le rep`ere (O;−→ i ,−→
j) sont x ety alors ses coordonn´ees dans le rep`ere (K;−→
u ,−→
v) sont x−y−2 5 ety+32.
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