D.-J. KORTEWEG. — Ueber die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Schalles in elastischen Röhren (Sur la transmission du son par les fluides renfermés dans les tubes à parois élastiques); Ann. der Physik und Chemie, t. V, p. 525; 1878

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Submitted on 1 Jan 1880

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D.-J. KORTEWEG. - Ueber die

Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Schalles in elastischen Röhren (Sur la transmission du son par les fluides renfermés dans les tubes à parois élastiques); Ann. der

Physik und Chemie, t. V, p. 525; 1878

A. Terquem

To cite this version:

A. Terquem. D.-J. KORTEWEG. - Ueber die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Schalles in elastischen Röhren (Sur la transmission du son par les fluides renfermés dans les tubes à parois élastiques); Ann.

der Physik und Chemie, t. V, p. 525; 1878. J. Phys. Theor. Appl., 1880, 9 (1), pp.127-134.

�10.1051/jphystap:018800090012701�. �jpa-00237608�

Pour une déviation

quelconque,

^{on a}

La valeur d’une des divisions de l’échelle _{est, pour de}

petites

^dé-

viations,

L’échclle de

l’appareil

^{de M. Edelmann est divisée en doubles}

centimètres,

dont les dixièmes tracés sur la

règle

^{sont écartés}

de

o"l,002.

D.-J. KORTEWEG. 2014 Ueber die Fortpflanzungsgeschwindigkeit ^des Schalles in elas- tischen Röhren (Sur la transmission du son par les fluides renfermés dans les tubes à parois élastiques); ^{Ann. der} Physik ^und Chemie, ^t. V, p. 525; I878.

La théorie démontre que ^la vitesse du son dans un fluide indé- fini est la même que ^{dans une} colonne

cylindrique,

^renfermée

dans ^un tube à

parois

inébranlables et infiniment

rigides;

^ménle

dans ce cas

l’expérience

^{a montré}

qu’il

^{n’en était} pas ainsi et que diverses causes tendent à diminuer la vitesse de

propagation

^des

ondes.

Mais,

^{si les}

parois

^{sont flexibles et}

élastiques,

^{cette vitesse}

subit, _{par cette}

cause, ^une nouvelle

diminution ;

^{si le fluide est un}

gaz, ^et que

les parois

^soient

épaisses

^{et assez}

rigides,

la diminution

est

faible ;

^{elle est}

déjà

^{notable si les}

parois

^{sont minces et}

^flexibles,

et enfin devient très considérable si le fluide est un

liquide.

Aussi la vitesse du son dans une colonne

cylindrique

^{d’eau a-}

t-elle été trouvée notablement inférieure àla vitesse

théorique 1437m,

par MM.

Wertheim,

^{Kundt et Lehmann et Dvorak}

(1).

^M.

lVlarey

ayant

^{cherché la vitesse de}

propagation

des ondes dans les

liquides

renfermés dans des tubes de

caoutchouc,

^au

point

^{de vue de la cir-}

etilauion du sang ^et du

phénomène

^du

pouls,

^{M. Resal a traité ce}

cas particulier.

^M.

Korteweg, professeur

^à

^Breda,

^a

repris

^la ques- tion et a cherché à la résoudre dans le cas le

plus général.

(1) Journal ^de Physique, ^{t. V,} p. 159 ^et 195.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018800090012701

I28

En

quoi peut

^consister

l’influence

^de l’élasticité des

parois

^sur

la vitesse de

propagation

^{du son} par le fluide renfermé dans ^le

tuyau ?

10 Les

parois

étantflexibles et

extensibles,

^les

compressions

^{et les}

dilatations du fluide intérieur

développeront

^{des forces}

élastiques

moindres que si le tube était infiniment

rigide ;

^{on devra donc tenir}

compte

^des

changements

^{de section du tube}

quand

^{on voudra}

calculer la force

élastique développée

^{en se fondant sur les chan-}

gements

de distance des tranches fluides.

2° Le fluide

communique

^ses vibrations ^au tube

lui-même,

^ce

qui

occasionne ^une

perte d’énergie

^{et une} diminu tion de la vitesse de

propagation.

3°

Enfin,

^{si le} tube était très

flexible,

^{le fluide}

pourrait prendre

un mouvement vibratoire transversal assez

intense,

^{d’où une dimi-}

nution de la vitesse de

propagation

^{des ondes}

longitudinales, puisque

l’élasticité du milieu donne naissance à deux

espèces d’énergies

différentes.

Le

premier

^cas

seul,

^dans

lequel

^{on considère comme}

négli- geables

^les vibrations transversales du tube et du

liquide, peut

^être traité d’une manière élémentaire. Je me propose de donner la marche suivie dans ce cas par M.

Korteweg,

^en éclaircissant

quelques points exposés

par lui

trop

succinctement.

I. Considérons un tube de rayon ^{r, et} soient e

l’épaisseur

^des

parois,

^{E le} coefficient d’élasticité de traction de la matière

qui

forme ces

parois

^{si elles sont très minces ou une}

quantité qui

^en

dépend

^{si elles sont très}

épaisses,

^e le coefficient d’élasticité du fluide renfermé dans le

tube,

Q la densité de ^ce fluide.

Puisqu’on néglige

les vibrations transversales du tube et du

fluide,

^on

_peut

^faire

l’hypothèse

^du

parallélisme

^des

tranches ;

^on

admet en outre que la

longueur

^{d’onde du son transmis est très}

grande

par

rapport

^aux

déplacements moléculaires,

^{de telle sorte}

que les déf ormations du tube varien t

progressivement

^{et très len-}

tement. Dans ces

conditions,

^on

peut

considérer le tube comme

formé sensiblement d’anneaux successifs

indépendants,

^{dilatés ou}

contractés suivant l’état

d’expansion

^{ou de} dilatation du fluide in- térieur.

Soit ABCD une tranche du fluide à l’état de repos, la

pression

intérieure initiale ^est _{Po par} unité de surface. Soien t x la distan ce de AB à une

origine quelconque,

^{x +} d.x celle de CD.

Fig. ^I. Fig. ^2.

Le volume

primitif

^{ABCD = v = rr2 dx.}

Pendant le mouvement

ABCD

devient

A’B’C’D’,

Par suite,

d’où

Si e

^est le coefficient d’élasticité du fluide renfermé dans le

tube,

on a par

définition, quelle qu’en

soit la nature,

I30

d’où

En remplaçant dv v

^{par sa valeur dans}

^(1),

^{on a}

Par le raisonnement

employéhabituellement,

^{on trouve,}

pour la

différence des

pressions auxquelles

^est soumis l’élément A’B’C’D’ sur

ses deux

faces, -d2p dx2dx ^rr2, quantité qui

^{doit être}

égale

^{à la}

force d’inertie de cet

élément,

^ce

qui

^{conduit à}

l’équation

^connue

Il faut enfin trouver une relation entre

dp

^et

di,

^{en tenant}

compte

de l’élasticité de la

paroi.

Pour

cela,

_prenons ^{une tranche}

égale

^{à l’unité de}

longueur,

^et

supposons le tube ainsi que le fluide

décomposés

^{en deux}

parties

^M

et N par ^un

plan

diamétral. La

partie

^{M est en}

équilibre

^{sous l’in-}

fluence des actions

extérieures, qui

^{sonu, d’un}

^côté,

^les

pressions

normales sur

A’B’,

et, de

l’autre,

les tractions exercées en AA’ et BB’

dans

l’épaisseur

du tube. Le tube

développé

^{a une}

longueur égale

à 2rr,

devenue 2 7! (r + dr).

^{Si E est} le coefficient d’élasticité de la matière du tube ou une

quantité qui

^en

dépend,

^{on aura,} pour ces

trac ti ons,

X étant la force

développée

^{sur la surface} touale. Les forces 2X font

équilibre

^aux

pressions 2idp qui

s’exercent sur le

plan A’B;

on aura donc la relation

L’équation (5)

donne donc

l’augmentation

^{de rayon du}

^tube,

^à

l’état

statidue, ^provenant

^du

changement

^de

pression

du fluide in- térieur.

L’équation (3) ^devient

^en

remplaçant dr dx2

par ^sa

valeur,

la

différenuianti

^et substituant

dx2

^dans

^(4),

^{on arrive à}

^{l equa-}

tion définitive

II. Si dans

l’équation (7)

^{on fait E ou e= oc , on a}

l’équation

de la

propagation

^{des ondes}

longitudinales

^{dans un tube}

cylindrique

à

parois

inébranlables

( en négligeant

^{toutefois les autres causes}

qui

^{tendent à diminuer la} vitesse de

propagation).

Soit V cette

vitesse ;

^{on a}

l’expression

^connue

e étant défini par la relatioll

1 ° Si le fluide esL un gaz, ^on

applique

^{la loi de}

^Poisson,

qui

^donne

d’oÙ

2° Si le fluide est un

Iiquide, a

^étant le coefficient de compres-

sibili té,

^{on aurait}

3° Si même le fluide

élastique

^est

remplacé

par ^un

solide,

^on

I32

peut

substituer à

l’équation (g)

puisqu’on néglige

^les

changements

^{de section du} corps ^solide vi-

brant; E

^{est donc le} coefficient habituel d’élasticité du corps si ^sa surface latérale est soumise à une

pression

constante, ^{ou l’inverse} du coefficient de

compressibilité cubique

si le corps ^est

supposé

renfermé dans ^un

cylindre

^à

parois

inextensibles.

III. Si les

parois

^{sont flexibles et}

élastiques,

^{le fluide étant} sup-

posé incompressible,

^on

peut

poser E ^{i 00 , et} l’on _a, pour la vi-

tesse de la transmission des

ondes,

^,

vitesse due

simplement

^aux dilatations etcontractions des

parois

^du

tube. C’est cette

équation qu’avait

^{obtenue M.} Resal dans le cas

d un

liquide

^{contenu dans un tube} de caoutchouc.

En introduisant les deux vitesses V et

V, , l’équation (7)

^de-

vient

ce

qui donne,

pour ^la vi tesse

défini tive,

ou

ou enfin

On trouve ainsi le coefficient par

lequel

^{on doit}

multiplier

^la

vitesse

trop

^faible trouvée pour la vitesse du son dans ^un fluide renfermé dans ^un tube à

parois extensibles

pour ^{en déduire la} vitesse dans ^un milieu indéfini.

Si ^e est très

petit,

^on

peut prendre

pour ^{E le} coefficient d’élas- ticité du

tube,

^déterminé _par

exemple

par des vibrations

longitu-

dinales ;

^{si les}

parois

^{sont très}

épaisses,

^l%I.

Korteweg emploie

^les

formules de

Lamé,

^{en faisant}

l’hypothèse

^de

^Wertheim,

^c’est-à-

dire À _{= 2U,} ce

qui

^donne

E1

^étant le coefficiemt d’élasticité de la substance du tube.

Enfin,

^{dans une théorie}

complète,

^il faudrait tenir

compte

^des tensions

longitudinales, développées

par suite de la différence de déformation des anneaux successifs du

tube;

^{ces tensions ne sont}

pas

négligeable,

^surtout

quand

^{on lance une onde très courte,}

comme dans les

expériences

^{de M.}

JBrlarey,

^{mais il}

^faudrait,

^dans

chaclue

^cas

particulier,

^{connaître les}

déplacements longitudinaux

dont est

susceptible

^{le tube.}

D’après

^M.

KoioEteii-egg,

^{en admettant}

les

hypothèses

^de

^Wertheim,

^il

^faudrait,

^{dans le cas où toute es-}

pèce

^de

déplacement longitudinal

^serait

impossible, remplacer ^E,

dans la formule

(13)

^par

E2

devenant le coefficient d’élasticité du tube.

En

appliquant

les formules

(12)

^et

(13)

^aux

expériences

^de

MM.Wertheim,

^Kundt et Lehmann et

Dvorak, j’ai

^{cherché comme}

inconnue E le coefficient d’élasticité de la

paroi,

^{en admettant}

pour V la vitesse

théorique

^de transmission du son dans l’eau

1437m.

Les

expériences

^{de Dvorak} donnent seules des nombres compa- rables les uns aux autres, ^ce

qui

^{semble démontrer}

qu’elles

^sont

les mieux

faites ;

^{tous ses} tubes étaient en verre, mais

pouvaient

avoir des coefficients d’élasticité notablement

différentes ;

il serai t intéressant de

reprendre

^ces

expériences,

^en déterminant le coef- ficient d’élasticité de la

paroi directement,

par les vibrations lon-

gitudinales

par

exemple,

^{afin de} vérifier dans

quelle

limite les formules de M.

Korteweg

sont exactes. Les

expériences

^de

MM. Kundt et Lehmann donnen t des résultats

qui

^{varient entre}

3l

^et 150. Pour celles de M.

Dvorak,

^{on obtient} les résultats sui-

I34

yants:

E son t les valeurs calculées à l’aide de la formule

(12),

^et

^{E1 celles} (lui’on

^{a obtenues en tenant}

^compte

de la relation

(13).

Sauf

l’expérience ^3,

les résultats donnés par les ^{autres sont}

assez

concordants,

^et

peut-être plus

^sans la correction de la for- mule

(13).

IV. M.

Kortemeg

^a

^cherché

^{ensuite à} introduire les vibrations du tube

lui-même ;

^{il arrive à une}

équation

différentielle du qua- trième ordre en admettant que les vibrations ^{du tube sont} syn- chrones de celles du fluide et

représentées

par ^{un mouvement} pen-

dulaire ;

^cette

hypothèse paraît

peu

probable,

^{car le tube doit}

transmettre les vibrations

qui

^{lui sont}

communiquées

^{avec une vi-}

tesse propre

dépendant

^{de son}

élasticité,

_{ainsi que} ^{l’ont constaté}

Biot et

Regnault,

^ce

qui

^doit

compliquer

la réaction du tube sur le

liquide,

^{surtout si l’on}

produit

des ondes fixes comme dans les

expé-

riences citées

plus ^haut;

^{les noeuds et les ventres du fluide ne coïn-}

cideront pas évidemment avec ceux du tube.

Dans le cas le

plus général,

^{en tenant}

compte

^{des vibrations} transversales du

fluide,

^M.

Kortevcreg

^admet

également

l’existence d’un mouvement

pendulaire synchrone

dumouvemeiii

longitudinal

et

arrive, malgré

^cette

simplification,

^à des formules très

compli- duées,

peu

susceptibles

de vérifications

expérimentales.

A.

TERQUEM.

K.-R. KOCH. 2014 Ueber die Veränderungen, welche die Oberfläche des Platins und des Pal’a liums durch die Sauerstoffpolarisation ^erfährt (Sur ^le changement qu’é-

prouve la surface du platine ^{et du} palladium pendant ^la polarisation par l’oxy- gène); ^{Ann. der} Physik ^und Chemie, ^nouvelle série, ^t. VIII, p. 92; I879.

Lorsqu’on polarise

^{une lame de}

platine

^{ou de}

palladium

^au