Modélisation non paramétrique des incertitudes dans les modèles numériques de calcul linéaires et causaux

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Modélisation non paramétrique des incertitudes dans les

modèles numériques de calcul linéaires et causaux

Remi Capillon

To cite this version:

(2)

Mod´

elisation non param´

etrique

des incertitudes dans les mod`

eles

num´

eriques de calcul lin´

eaires et

causaux

Th`

ese de doctorat

présentée et soutenue publiquement le 10 décembre 2019

pour l’obtention du grade de

Docteur de l’Universit´

e Paris-Est

par

R´emi Capillon

JURY

Dider Clouteau, Professeur, CentraleSup´

elec, pr´

esident

B´

eatrice Faverjon, Maˆıtre de Conf´

erences, INSA Lyon, rapporteur

Roger Ghanem, Professeur, USC, rapporteur

Jean-Fran¸cois De¨

u, Professeur, CNAM, examinateur

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Remerciements

Je remercie Béatrice Faverjon et Roger Ghanem de m’avoir fait l’honneur de rapporter ma thèse. Leurs rapports avant la soutenance étaient extrêmement bienveillants à l’égard de mon travail et m’ont permis d’orienter ma présentation de soutenance dans un souci de clarté. Je remercie également Didier Clouteau d’avoir présidé le jury et Jean-Fran¸cois Deü d’avoir examiné ma thèse. J’ai particulièrement apprécié les échanges lors de la soutenance, tous pertinents, qui m’ont fait revisiter avec un regard critique les 6 années de cette thèse.

En effet, cette thèse fut longue, pour de nombreuses raisons. C’est pourquoi je tiens à remercier chaleureusement Christophe Desceliers et Christian Soize, pas seulement pour avoir dirigé et encadré ce travail, mais pour m’avoir accompagné dans mes difficultés, scientifiques ou autres, et m’avoir compris et écouté quand j’en avais besoin. Je ne pouvais pas espérer meilleur encadrement, et c’est avant tout grâce à eux que cette thèse est arrivée à son terme. Evidemment, ils ont largement contribué à mon apprentissage des sciences, de la rigueur et de l’autonomie dans l’apprentissage. Christophe Desceliers m’a formé depuis 2011, alors que je venais lui demander des conseils pour comprendre la méthode des éléments finis et que je lui ai demandé ce stage de licence au laboratoire MSME qui va m’orienter définitivement vers le monde de la recherche. Christian Soize m’a également donné de précieux cours et conseils tout au long de ma formation, et ses connaissances ont été la clé pour résoudre de nombreux problèmes scientifiques que nous avons rencontrés durant mon doctorat. Je tiens encore une fois à les remercier pour tout ce qu’ils ont fait pour moi.

Je remercie également les membres du laboratoire MSME pour leur bienveillance et leurs conseils, un bon nombre d’entre eux ayant été mon professeur à un point dans mon cur-sus. Evidemment mes remerciements vont aussi aux doctorants du laboratoire, notamment Olivier et Karim qui ont commencé leur doctorat en même temps que moi (mais fini bien avant !), pour la bonne ambiance et les échanges fructueux sur nos diverses problématiques qui furent très enrichissants.

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(6)

R´

esum´

e

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Table des mati`

eres

1 Introduction 13 1.1 Contexte de la recherche . . . 13 1.2 Positionnement de la recherche . . . 14 1.3 Objectifs . . . 15 1.4 Strat´egie . . . 16 1.5 Plan du manuscrit . . . 17

2 Modélisation probabiliste des incertitudes pour les modèles numériques causaux 19 2.1 Méthodologie pour la modélisation probabiliste des incertitudes dans les modèles numériques de calcul . . . 19

2.1.1 Sources d’incertitude . . . 19

2.1.2 Mod´elisation probabiliste des incertitudes . . . 19

2.1.3 Mod´elisation des incertitudes de param`etres . . . 19

2.1.4 Mod´elisation des incertitudes de mod`ele . . . 20

2.2 Principe du Maximum d’Entropie . . . 20

2.3 Stratégie pour la construction des modèles probabilistes des matrices aléatoires pour la modélisation stochastique non paramétrique . . . 22

2.4 Ensemble GOE . . . 23 2.5 Ensemble SG+₀ . . . 24 2.6 Ensemble SG+_ε . . . 25 2.7 Ensemble SE+_ε . . . 26 2.8 Ensemble SE+0 . . . 27 2.9 Ensemble SEHT +_ε . . . 27 2.10 Ensemble SEHT +0 . . . 28

3 Calcul des relations de Kramers-Kronig par intégration directe des trans-formées de Hilbert 29 3.1 Causalité et relations de Kramers-Kronig . . . 29

3.2 Discr´etisation de la transform´ee de Hilbert . . . 31

3.3 Int´egration autour de la singularit´e . . . 32

3.4 Int´egration loin de la singularit´e par quadrature de Gauss . . . 33

(9)

4 Calcul des relations de Kramers-Kronig sans int´egration directe des

trans-form´ees de Hilbert 39

4.1 Pr´esentation des objectifs . . . 39

4.2 Introduction de l’espace H . . . . 39

4.3 Base Hilbertienne de H . . . . 40

4.4 Calcul des coefficients de la repr´esentation des transform´ees de Fourier des fonctions “causales” . . . 41

4.5 R´e´ecriture des relations de Kramers-Kronig sur la base Hilbertienne de H . . 43

4.6 Utilisation de l’information sur le comportement asymptotique . . . 44

4.7 Extension aux fonctions `a valeurs dans l’ensemble des matrices positives . . . 45

4.8 Extension au calcul de réalisations indépendantes des matrices aléatoires de SEHT +0 . . . 45

5 Application à la viscoélasticité linéaire 47 5.1 Mise en équations . . . 47

5.1.1 Equations d’´equilibre et conditions aux limites . . . 47

5.1.2 Loi de comportement ´elastique lin´eaire . . . 48

5.1.3 Loi de comportement visco´elastique lin´eaire . . . 49

5.2 Formulation faible . . . 51

5.3 Discrétisation par la méthode des éléments finis . . . 52

5.4 R´eduction de mod`ele . . . 52

5.5 Application `a une structure composite visco´elastique . . . 52

5.6 Incertitudes de modèle en viscoélasticité linéaire . . . 55

5.7 Construction des modèles probabilistes pour les incertitudes de modèle en viscoélasticité . . . 56

5.7.1 Mod`ele causal . . . 56

5.7.2 Mod`ele na¨ıf . . . 57

5.8 R´esultats et analyse de la propagation des incertitudes . . . 57

5.8.1 Validation de la m´ethode dans le cas d´eterministe . . . 57

5.8.2 Quantification des incertitudes . . . 57

5.9 Commentaires sur l’approche propos´ee . . . 63

6 Application `a l’acoustique externe 65 6.1 Mise en ´equation . . . 65

6.1.1 Equations de l’acoustique externe dans le domaine temporel . . . 66

6.1.2 Equations de l’acoustique externe dans le domaine fr´equentiel . . . . 66

6.1.3 Irrotationalit´e et potentiel de vitesse . . . 67

6.1.4 Probl`eme de Neumann ext´erieur . . . 67

6.1.5 Opérateur de rayonnement et opérateur d’impédance acoustique . . . 68

6.1.6 Op´erateur d’imp´edance acoustique de bord . . . 68

6.2 Formulation faible . . . 69

6.3 Discrétisation par une méthode des éléments finis de frontière . . . 70

6.3.1 Discrétisation de l’opérateur d’impédance acoustique de bord . . . 70

6.3.2 Discrétisation de l’opérateur d’impédance acoustique . . . 71

(10)

6.5 Application à un objet de géométrie ellipso¨ıdale . . . 74

6.6 Incertitudes de mod`ele en acoustique externe . . . 78

6.7 Construction des mod`eles probabilistes pour les incertitudes en acoustique externe . . . 78

6.7.1 Mod`ele causal . . . 78

6.7.2 Mod`ele na¨ıf . . . 79

6.8 R´esultats et analyse de la propagation des incertitudes . . . 79

6.8.1 Validation de la m´ethode dans le cas d´eterministe . . . 79

6.8.2 Quantification des incertitudes . . . 85

7 Application à la vibroacoustique linéaire externe 97 7.1 Mise en équations . . . 98

7.1.1 Equations d’´equilibre et conditions aux limites . . . 98

7.1.2 Loi de comportement ´elastique pour le domaine Ωs . . . 98

7.1.3 Formulation faible . . . 98

7.2 Discr´etisation . . . 99

7.3 Modèle numérique réduit vibroacoustique déterministe . . . 100

7.4 Mod`ele num´erique . . . 101

7.5 Incertitudes de mod`ele en vibroacoustique externe . . . 102

7.6 Application à la modélisation stochastique en vibroacoustique linéaire . . . . 103

7.6.1 Mod`eles stochastiques . . . 103

7.6.2 Identification stochastique inverse des hyperparam`etres . . . 104

7.6.3 R´esultats et analyse de la propagation des incertitudes . . . 106

8 Conclusions et perspectives 111

Annexe A Relations de Kramers-Kronig pour la matrice d’imp´edance

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(12)

Notations

Dans ce manuscrit :

Une variable réelle déterministe est dénotée par une lettre minuscule telle que y. Un vecteur réel déterministe est dénoté par une lettre minuscule grasse telle que y. Une variable aléatoire réelle est dénotée par une lettre majuscule telle que Y . Un vecteur aléatoire réel est dénoté par une lettre majuscule grasse telle que Y.

Une matrice réelle déterministe est dénotée par une lettre majuscule (ou minuscule) entre crochets telle que [A] (ou [a]).

Une matrice aléatoire réelle ou complexe est dénotée par une lettre majuscule grasse entre crochets telle que [A].

||y|| : norme Euclidienne du vecteur y.

||[G]||F : norme de Frobenius de la matrice [G].

E : esp´erance math´ematique.

R : ensemble des nombres r´eels.

C : ensemble des nombres complexes. RN _{: espace Euclidien des vecteurs y = (y}

1, . . . , yN). CN : espace Hermitien des vecteurs _by = (y_b1, . . . ,ybN).

Mm,n : ensemble des matrices réelles m × n. Mn : ensemble des matrices réelles carrées n × n. MS_n : ensemble des matrices réelles symétriques n × n.

M+

n : ensemble des matrices réelles symétriques n × n définies positives.

M+0

n : ensemble des matrices r´eelles sym´etriques n × n positives.

[A]T : transpos´ee de la matrice [A]. [In] : matrice identit´ee dans Mn.

δjk : symbole de Kronecker tel que δjk = 0 si j 6= k et δjk = 1 si j = k.

i : nombre complexe imaginaire pur satisfaisant i2 = −1. idR : fonction identit´e de R dans R, telle que idR(ω) = ω.

1S : fonction support de S ⊂ R telle que 1S(x) = 1 si x ∈ S et sinon 1S(x) = 0.

Acronymes

K-K : Kramers-Kronig.

(13)

Transform´

ees de Fourier

Tout le long de ce manuscrit, on notera bf (ω) la transform´ee de Fourier de la fonction f (t), telle que b f (ω) = Z R f (t)e−iωtdt .

Lorsqu’il n’y aura aucune ambigu¨ıt´e, par exemple s’il n’est pas n´ecessaire de faire la distinc-tion entre t 7→ f (t) et ω 7→ bf (ω), alors nous pourrons omettre le symbole “chapeau” et nous noterons simplement ω 7→ f (ω) la fonction ω 7→ bf (ω).

Int´

egrales en valeur principale de Cauchy

On dénotera par p.v. la valeur principale de Cauchy de l’intégrale d’une fonction singulière. Soit g(x) une fonction à valeurs réelles singulière en x0, on a

p.v. Z +∞ −∞ g(x)dx = lim ε→0+ Z x0−ε −∞ g(x)dx + Z +∞ x0+ε g(x)dx .

Produits de convolution

On notera le produit de convolution d’une fonction x 7→ h(x) avec une fonction x 7→ k(x) par h ? k(x) tel que

h ? k(x) = Z +∞

−∞

h(y)k(x − y)dy .

Transform´

ees de Hilbert

Tout au long de ce manuscrit, on notera H{f, ω} la transform´ee de Hilbert de ω0 7→ f (ω0₎

d´efinie pour tout ω par

H{f, ω} = 1 πp.v. Z +∞ −∞ f (ω0) ω − ω0dω 0 .

Deux propriétés fondamentales de la transformée de Hilbert sont les suivantes :

H2{f, ω} = HH{f, ·}, ω = −f (ω) , H{f, ·} = h ? f ,

avec la distribution h(ω) = p.v. 1

π ω. Il est possible de montrer que pour toute fonction f

int´egrable sur R, on a la propri´et´e suivante, pour tout ω ∈ R,

(14)

Chapitre 1

Introduction

1.1 Contexte de la recherche

Ce travail concerne la modélisation des incertitudes dans les systèmes numériques linéaires pour lesquels s’applique le principe de causalité, en particulier avec prise en compte des incertitudes de modèle à travers l’approche probabiliste non paramétrique, et présente les méthodes numériques développées afin de mettre en oeuvre une telle modélisation. Il est de nos jours bien compris que les incertitudes jouent un rôle prépondérant dans la précision, l’interprétation et l’utilisation des résultats de simulations de systèmes physiques. En particulier, la modélisation des incertitudes de modèle est d’une grande importance, permettant de prendre en compte le manque de connaissances dans la physique ´

etudiée ou encore les imprécisions sur la géométrie exacte de l’objet dues au processus de discrétisation. Il s’agit d’une variabilité dont l’approche probabiliste paramétrique de la modélisation des incertitudes ne peut pas rendre compte, contrairement à l’approche probabiliste non paramétrique dont la prise en compte des incertitudes de modèle est l’objet. Récemment, des travaux théoriques en modélisation des incertitudes de modèle par l’approche probabiliste non paramétrique pour les problèmes numériques faisant intervenir le principe de causalité ont été publiés. Cependant, aucune application numérique mettant en oeuvre une méthodologie pratique pour effectuer des simulations numériques n’a été pro-posée. Il apparaˆıt donc comme nécessaire de développer des méthodes numériques efficaces afin d’étendre le champ d’application pratique de l’approche probabiliste non paramétrique, dans un premier temps aux problèmes de physique numérique linéaire dans le domaine fréquentiel et c’est ce que propose ce travail de thèse, dans les cas de la viscoélasticité ([61], [13], [53]), de l’acoustique externe ([38], [14], [12], [31], [37]) et de la vibroacoustique externe ([42], [29], [33], [19], [43]) linéaires.

(15)

introduit dans le système modélisé à l’aide de matrices aléatoires. En l’absence d’information sur leur corrélation, la théorie de l’information dicte que ces différentes matrices doivent ˆ

etre considérées comme indépendantes statistiquement. C’est à ce niveau là qu’intervient l’information apportée par le principe de causalité. En effet, dans le domaine temporel, ce principe nous dit que la réponse du système n’anticipe pas sur les états futurs du système, ce qui correspond à une information sur la corrélation dans le temps des différentes matrices aléatoires. Dans le domaine fréquentiel, cette corrélation est d’autant plus simple `

a voir que la condition imposée par le principe de causalité s’écrit comme un jeu de deux relations intégrales, dites de Kramers-Kronig (K-K), directement entre les parties réelles et imaginaires des matrices dépendantes de la fréquence et sujettes à ce principe ([35], [34], [44]). On obtient donc des équations traduisant exactement la corrélation entre les différentes matrices dépendantes de la fréquence intervenant dans le système numérique aléatoire. Une autre difficulté arrive alors lors de la résolution de ces équations. En effet, les relations K-K font intervenir des intégrales impropres dont l’intégrande possède une singularité. De plus, ces équations doivent être résolues pour chaque valeur de la fréquence à laquelle on souhaite calculer la réponse du système. Enfin, dans un contexte numérique, la bande de fréquence sur laquelle il est possible d’étudier le système sans commettre de grandes erreurs est dictée par la finesse de la discrétisation de la géométrie étudiée. Les méthodes numériques à développer pour prendre en compte de manière efficace le principe de causalité doivent donc respecter ces différentes contraintes.

1.2 Positionnement de la recherche

(16)

résolution de problèmes dans le domaine temporel ou fréquentiel en dynamique linéaire ou non linéaire ([6], [39], [41], [40], [8]).

Tous les systèmes physiques doivent vérifier le principe de causalité, c’est-à-dire que l’état du système à un temps donné n’anticipe pas sur les actions extérieures imposées aux ins-tants ultérieurs. Par exemple, en dynamique linéaire, l’état du système est décrit par une ´

equation aux dérivées partielles du second ordre dont les solutions, dans le domaine tempo-rel, peuvent être écrites comme le produit de convolution temporelle des forces extérieures avec une fonction que l’on appelle réponse impulsionnelle : il s’agit de l’intégrale de Duhamel. Autre exemple : en viscoélasticité, les contraintes s’écrivent comme le produit de convolution temporel d’une fonction de relaxation avec les déformations. Dans ces cas, le principe de cau-salité est satisfait si et seulement si les valeurs de la réponse impulsionnelle ou de la fonction de relaxation sont nulles pour tout instant négatif. Si le principe de causalité semble s’énoncer facilement dans le domaine temporel, il n’en est pas de même dans le domaine fréquentiel, dans lequel les produits de convolution deviennent de simples produits des transformées de Fourier de la réponse impulsionnelle (fonction de réponse en fréquence) ou de la fonction de relaxation avec celles des quantités duales (déplacements ou déformations). En effet, il est montré que le principe de causalité dans le domaine fréquentiel est vérifié si et seulement si les parties réelle et imaginaire de la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle ou de la fonction de relaxation satisfont les relations de Kramers-Kronig (K-K) qui relient l’une `

a l’autre. La causalité de l’état du système est donc une information à prendre en compte lors de la construction du modèle probabiliste des matrices aléatoires par le Principe du Maximum d’Entropie. On obtient alors les ensembles de matrices aléatoires notés SEHT +_ε et SEHT +0, selon les propriétés algébriques des parties réelle et imaginaire de la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle ou de la fonction de relaxation. Un aspect non trivial de ces modèles stochastiques causaux est l’obtention numérique de réalisations des matrices aléatoires satisfaisant le principe de causalité.

1.3 Objectifs

S’inscrivant dans la continuité des travaux effectués ces dernières années sur la modélisation non paramétrique des incertitudes appliquée à la dynamique des structures, l’acoustique et leur couplage, la présente recherche vise à étendre le champ d’application de l’approche probabiliste non paramétrique aux systèmes numériques linéaires soumis au prin-cipe de causalité. Des travaux théoriques ont récemment été publiés, concernant les systèmes viscoélastiques linéaires causaux [53], [56]. L’un des objectifs de la thèse est d’étendre ces résultats théoriques aux domaines de l’acoustique externe et de la vibroacoustique externe. Par ailleurs, les difficultés relatives à la mise en oeuvre numérique de ces approches n’ont jus-qu’alors pas été abordées dans la littérature. Un autre objectif de la thèse est donc de proposer des méthodes numériques permettant de construire des modèles numériques stochastiques en accord avec le principe de causalité dans le domaine fréquentiel.

(17)

loin-tain en acoustique externe, où le modèle probabiliste de l’opérateur aléatoire d’impédance acoustique de bord régit par la causalité du système, sera construit, ce qui n’a jamais été traité dans le cadre de l’approche non paramétrique des incertitudes. La modélisation sto-chastique de l’opérateur de rayonnement ne sera pas traitée au delà de la dépendance de celui-ci à l’opérateur d’impédance acoustique de bord. Les incertitudes venant des fluctua-tions statistiques des opérateurs de rayonnement ne seront pas prises en compte car on ne souhaite quantifier que la propagation des incertitudes venant de l’opérateur d’impédance acoustique de bord. L’étape suivante, en perspective de ce travail de thèse, serait de compléter la modélisation probabiliste avec les modèles probabilistes non paramétriques des opérateurs de rayonnement, lesquels doivent permettre au principe de causalité d’être vérifié. Enfin sera présenté le cas de l’étude vibroacoustique d’une structure élastique couplée à un fluide acous-tique externe où la modélisation des incertitudes sera focalisée encore une fois sur l’opérateur d’impédance acoustique de bord, négligeant les fluctuations statistiques des opérateurs re-latifs à la structure élastique linéaire. Au delà des applications précises présentées ici, les méthodes numériques utilisées pour les mettre en oeuvre seront développées avec le souci de rester le plus général possible, permettant éventuellement à ce travail de recherche d’ap-puyer de futurs travaux traitant d’autres systèmes physiques linéaires soumis au principe de causalité tels que l’électromagnétisme, la piézoélectricité, ou encore l’optique. Enfin, les méthodes développées pour ce travail seront construites dans le but de permettre une grande précision dans les calculs complexifiés par la prise en compte de la causalité, et cela même en présence d’information fréquentielle limitée par la taille du modèle numérique et la finesse de sa discrétisation. Cela nécessitera le développement de codes numériques spécifiquement réalisés pour permettre le contrôle de la précision et la compréhension de bout en bout du processus de résolution, donnant les clés nécessaires à une analyse poussée de la propagation des incertitudes dans les systèmes étudiés. Le présent travail prétend montrer à travers les applications présentées l’importance, si ce n’est la nécessité, d’employer une modélisation sto-chastique cohérente avec le principe de causalité sous peine de commettre de graves erreurs d’interprétation des résultats.

1.4 Strat´

egie

La modélisation probabiliste des incertitudes de modèle dans les modèles de cal-cul numérique est ramené à l’introduction d’ensembles de matrices aléatoires spécifiques construits par le Principe du Maximum d’Entropie [56]. Concernant la prise en compte de la causalité presque sûrement dans les modèles numériques de calcul, les matrices aléatoires concernées sont telles que les parties réelle et imaginaire vérifient les relations K-K. Ces rela-tions K-K font intervenir des transformées de Hilbert [27]. Les ensembles SEHT +_ε et SEHT +0 sont des ensembles de matrices aléatoires qui vérifient presque sûrement ces relations entre parties réelles et parties imaginaires et par conséquent, les parties réelles et imaginaires se déduisent l’une de l’autre par une transformée de Hilbert. En outre, les matrices aléatoires de ces ensembles vérifient d’autres informations qui seront présentées dans le chapitre 2. Dans le cadre de ce travail, la méthode numérique de Monte Carlo est utilisée pour résoudre les ´

(18)

suivante : une réalisation de la partie réelle (ou de la partie imaginaire) sera construite, puis en calculant sa transformée de Hilbert, la réalisation de la partie imaginaire (ou la partie réelle) sera déduite. Une grande difficulté numérique concerne le calcul efficace de la trans-formée de Hilbert. Une première difficulté numérique est qu’il s’agit du calcul de la valeur principale de Cauchy d’une intégrale impropre. Une seconde difficulté est que cette intégrale doit être effectuée sur tout l’axe réel et qu’une troncature du domaine d’intégration induit généralement de grandes erreurs dans l’estimation de la transformée de Hilbert. Comme rap-pelé dans le premier paragraphe, il s’agit d’un problème ouvert pour lequel des résultats récents sont publiés. L’un des objectifs de la thèse est d’aborder ce problème en présentant deux approches. Une première approche pour le calcul de réalisations indépendantes de ma-trices aléatoires dans SEHT +_ε sera présentée, basée sur la résolution numérique directe des relations K-K dans le cadre d’information fréquentielle limitée qui induit à priori une tron-cature du domaine d’intégration si l’on veut obtenir un temps de calcul raisonnable. Afin de palier à cette troncature qui provoque des erreurs, il est possible d’extrapoler sur le compor-tement hors bande de l’intégrande en un faible nombre de points et d’utiliser une quadrature de Gauss spécifique qui sera détaillée. Cette première approche sera mise en oeuvre dans le cadre de la modélisation stochastique en viscoélasticité linéaire pour la dynamique des structures composites. Afin de mettre en évidence la spécificité avec laquelle se propagent les incertitudes dans le cadre d’un système causal, les résultats seront comparés avec ceux d’un modèle, dit na¨ıf, où les parties réelle et imaginaire des matrices aléatoires seront considérées comme indépendantes statistiquement, contrairement à ce qu’impliquent les relations K-K. Les difficultés d’ordre numérique rencontrées ainsi que les limitations de cette approche se-ront exposées, ce qui mènera naturellement au développement d’une seconde approche, plus générale, permettant aisément l’exploitation de tout le domaine fréquentiel admissible du modèle numérique et s’affranchissant du calcul direct des relations K-K tout en respectant le principe de causalité. Cette seconde approche du calcul de réalisations indépendantes sera détaillée sur le plan théorique pour les matrices aléatoires de l’ensemble SEHT +0 et deux applications numériques seront présentées, l’une concernant la modélisation stochastique en acoustique externe et l’autre concernant l’identification stochastique inverse en vibroacous-tique linéaire externe. Dans les deux cas, le modèle stochastique causal sera à nouveau com-paré à un modèle probabiliste na¨ıf. Dans la dernière application traitant la vibroacoustique, les hyperparamètres des modèles stochastiques causal et na¨ıf seront cette fois-ci identifiés en résolvant un problème statistique inverse pour lequel une réponse cible est donné. Les deux modèles seront comparés en terme de performance vis-à-vis de la prédiction robuste de la réponse du modèle numérique de calcul aléatoire.

1.5 Plan du manuscrit

(19)

`

(20)

Chapitre 2

Mod´

elisation probabiliste des

incertitudes pour les mod`

eles

num´

eriques causaux

2.1 M´

ethodologie pour la mod´

elisation probabiliste des

incertitudes dans les mod`

eles num´

eriques de calcul

2.1.1 Sources d’incertitude

L’incertitude apparaˆıt à plusieurs niveaux dans les modèles numériques de calcul. On distingue :

— l’incertitude sur un certains nombres de paramètres ; — l’incertitude liée à la géométrie étudiée ;

— l’incertitude liée aux hypothèses de modélisation.

2.1.2 Mod´

elisation probabiliste des incertitudes

L’approche probabiliste permet de prendre en compte non seulement les incertitudes sur les paramètres du modèle, mais aussi les incertitudes de modèle, comprenant les fluctuations statistiques de la géométrie ou encore les incertitudes induites par le choix d’une modélisation numérique. Le système numérique stochastique obtenu à l’issue de cette modélisation est constitué de variables aléatoires à valeurs scalaires, vectorielles ou matricielles. Les incerti-tudes se propagent à travers un tel modèle numérique de calcul stochastique sur les obser-vables du modèle. Ce problème de propagation et de quantification des incertitudes est résolu en utilisant un solveur stochastique tel que la méthode numérique de Monte Carlo ([47], [32], [46]).

2.1.3 Mod´

elisation des incertitudes de param`

etres

(21)

w des matrices du modèle numérique de calcul peut être représentée par une application F définie sur l’ensemble des valeurs possibles pour ces paramètres et à valeurs matricielles. La modélisation paramétrique des incertitudes consiste alors à modéliser ces paramètres par des variables aléatoires W et par conséquent, les matrices du modèle numérique sont rem-placées par des variables aléatoires à valeurs matricielles qui sont définies comme l’image de ces paramètres aléatoires par l’application F . Ainsi, si l’application F est construite de sorte que le principe de causalité soit vérifié pour tous paramètres w, alors les matrices aléatoires construites par l’approche probabiliste vérifieront presque sûrement le principe de causalité elles aussi. Il n’y a donc aucune difficulté en ce qui concerne l’approche probabiliste paramétrique des incertitudes vis-à-vis du principe de causalité. Il est à noter que la distri-bution de probabilité de ces matrices aléatoires est donc construite indirectement à partir de la distribution de probabilité des paramètres aléatoires.

2.1.4 Mod´

elisation des incertitudes de mod`

ele

Afin de prendre en compte les incertitudes de modèle, l’approche probabiliste non pa-ramétrique a été développée ([56],[51],[52],[54]). Cette approche consiste à, cette fois, rem-placer les matrices du modèle numérique de calcul par des variables aléatoires à valeurs dans un ensemble de matrices ad hoc et dont la distribution de probabilité est directement construite contrairement à l’approche probabiliste paramétrique des incertitudes. Il existe différentes méthodes afin de construire le modèle probabiliste de ces matrices aléatoires. Dans la suite de ce document, nous n’envisagerons que le Principe du Maximum d’Entropie (MaxEnt) tel que proposé par [51]. Par ailleurs, l’utilisation du MaxEnt consiste à maximi-ser une fonctionnelle de la densité de probabilité de la matrice aléatoire sous la contrainte d’équations correspondant à l’écriture mathématique d’information disponible sur le modèle de calcul. Cette approche a fait l’objet de nombreux travaux durant les vingt dernières années ([15],[1],[6],[18],[39],[16],[3],[7],[41],[25],[40],[4],[8]) en dynamique linéaire et en dynamique non linéaire. Cependant, le principe de causalité n’a jamais été pris comme une information à considérer. Les modèles des matrices aléatoires construites sont alors généralement dans un ensemble de matrices aléatoires appelé SE+. Ainsi, en élastodynamique linéaire, on en vient `

a construire les modèles probabilistes des matrices de masse, de raideur et d’amortissement généralisées de sorte que ces matrices aléatoires soient indépendantes statistiquement. On peut alors se poser la question si un tel modèle probabiliste est toujours compatible avec le principe de causalité. En fait, la réponse est non, et c’est d’ailleurs l’objet de la suite de ce chapitre, où l’on décrit la construction d’ensembles de matrices aléatoires permettant une modélisation probabiliste non paramétrique des incertitudes pour modéliser les incertitudes de modèle qui soit presque sûrement compatible avec le principe de causalité.

2.2 Principe du Maximum d’Entropie

(22)

densité de la distribution de probabilité des variables aléatoires. Une autre approche directe consisterait à utiliser des données issues de simulations numériques ainsi que les statistiques non paramétriques ([5],[28],[30],[49],[25],[50],[56]) pour construire les modèles probabilistes. Notons que de nouvelles approches émergentes entrent dans cette catégorie, notamment la modélisation probabiliste guidée par les données et l’apprentissage probabiliste ([55],[57],[58]). Enfin, il est aussi possible d’utiliser les approches indirectes pour la construction des modèles probabilistes lorsque les représentations algébriques des grandeurs stochastiques sont dispo-nibles ([24],[23]). Afin de construire les modèles probabilistes pour les modèles numériques de calcul, l’ensemble de l’information disponible peut être pris en compte. Parmi tous les modèles probabilistes compatibles avec cette information disponible, il est raisonnable de choisir celui qui nécessite le minimum de paramètres pour être compatible avec la totalité de l’information disponible. En effet, chaque paramètre du modèle probabiliste peut être associé à une infor-mation statistique sur la variable aléatoire. Le minimum de paramètres correspond donc à un minimum d’information à connaˆıtre. Cette mesure de l’information associée à une distribu-tion de probabilité peut être quantifiée par l’entropie au sens de Shannon. Choisir un modèle probabiliste qui maximise l’entropie de Shannon, sous la contrainte d’information disponible correspond au Principe du Maximum d’Entropie. Par exemple, c’est ce principe qui permet de répondre à la question de la dépendance statistique de deux matrices aléatoires : en l’absence d’information sur leur dépendance, le modèle probabiliste a priori qui minimise le nombre de paramètres à définir est celui pour lesquels elles sont indépendantes statistiquement. Le Principe du Maximum d’Entropie revient à poser formellement un problème d’optimisation sous contraintes, dont la solution est une distribution de probabilité qui maximise l’entropie au sens de Shannon.

Afin d’illustrer la construction d’un modèle probabiliste par le Principe du Maximum d’Entropie, nous présentons ci-dessous le cas d’une variable aléatoire à valeurs vectorielles. Par ailleurs, le cas de variables aléatoires à valeurs matricielles est détaillé dans [56] dont les résultats nécessaires au travail de cette thèse sont donnés dans les paragraphes suivants. Soit a n’importe quel vecteur dans Rn et da la mesure de Lebesgue associée. On considère la variable aléatoire A `a valeurs dans Rn pour laquelle la distribution de probabilité PA(da)

est inconnue mais représentée par une fonction de densité de probabilité a 7→ pA(a) définie

sur Rn et `a valeurs dans R+ et dont le support est Sn ⊂ Rn. Cette densit´e de probabilit´e doit

satisfaire la condition de normalisation suivante Z

Sn

pA(a)da = 1 . (2.1)

On suppose qu’il existe une fonction a 7→ g(a) de Rn _{dans R}µ _{et un vecteur f de R}µ _{telle que}

l’information disponible sur A s’´ecrive

E{g(A)} = f , ou encore

Z

Rn

g(a)pA(a)da = f . (2.2)

(23)

valeurs dans R+ qui sont telles que les Eqs. (2.1) et (2.2) soient vérifiées. Alors le Principe du Maximum d’Entropie consiste à construire pA∈ C telle que

pA= argmax p∈C

S(p) , (2.3)

où S(p) est l’entropie au sens de Shannon de la densité de probabilité p, définie par S(p) = −

Z

Rn

pAlog(pA)da .

Il est possible de montrer ( voir [56]) que les solutions de l’Eq. (2.3) s’´ecrivent sous la forme pAλ(a) = 1Sn(a)c0(λ)exp(− < λ, g(a) >µ) , ∀a ∈ R

n_,

avec < ·, · >µ repr´esentant le produit scalaire euclidien dans Rµ, et

c0(λ) =

Z

Sn

exp(− < λ, g(a) >µ)da

−1 .

Soit la variable aléatoire Aλ dont la mesure de probabilité a pour fonction de densité de

probabilité pAλ. Le calcul du vecteur λ est fait en utilisant un schéma itératif présenté

ci-dessous. On introduit la variable al´eatoire Gλ = g(Aλ) dont la matrice de covariance est

not´ee [CGλ]. On note λ

sol _{le vecteur de R}µ _{tel que λ}sol_{= lim}

i→+∞λi o`u

λi+1= λi− α[CGλ](f − E{Gλi}) .

On a alors

pA(a) = pA_λsol(a) , ∀a ∈ Rn.

2.3 Strat´

egie pour la construction des mod`

eles

proba-bilistes des matrices al´

eatoires pour la mod´

elisation

stochastique non param´

etrique

Dans ce travail, trois ensembles fondamentaux de matrices aléatoires, construits par le Principe du Maximum d’Entropie seront utilisés. Ils ont tous fait l’objet de développements durant les vingt dernières années avec des applications pour la modélisation non paramétrique des incertitudes en mécanique multi-échelle des matériaux et pour les modèles de calcul dynamiques linéaires et non linéaires (voir [25],[15],[1],[6],[18],[39],[16],[3],[7],[41],[40],[4],[8]). Ces ensembles sont les suivants :

(24)

— Ensemble SE+0 : cet ensemble contient les matrices aléatoires presque sûrement po-sitives dont les valeurs moyennes sont n’importe quelle matrice positive donnée. Cet ensemble de matrices aléatoires sera utilisé pour la modélisation probabiliste non pa-ramétrique des incertitudes de modèle sur les matrices [DΓ] et [Df] (voir paragraphes

6-7 et 7-5) ;

— Ensemble SEHT +_ε : cet ensemble contient les matrices aléatoires à valeurs complexes dont la partie réelle est la transformée de Hilbert de la partie imaginaire, cette dernière étant prise dans SE+_ε. Cet ensemble de matrices aléatoires sera utilisé pour la mod´ elisa-tion probabiliste non paramétrique des incertitudes de modèle sur les matrices [K0(ω)]

et [D(ω)] (voir 5-7) ;

— Ensemble SEHT +0 : cet ensemble contient les matrices aléatoires à valeurs complexes dont la partie réelle est la transformée de Hilbert de la partie imaginaire, cette dernière étant prise dans SE+0. Cet ensemble de matrices aléatoires sera utilisé pour la mo-délisation probabiliste non paramétrique des incertitudes de modèle sur les matrices [BΓ(ω)] et [Af(ω)] (voir 6-7 et 7-5).

La construction de ces ensembles est détaillée dans [56] et des rappels sont donnés dans les paragraphes suivants, notamment en ce qui concerne l’aspect numérique pour la construction de réalisations statistiquement indépendantes de ces matrices.

2.4 Ensemble GOE

Dans ce paragraphe, nous donnons des rappels sur le Gaussian Orthogonal Ensemble (GOE), bien que cet ensemble ne sera pas utilisé dans ce travail. Cependant, il est très largement utilisé en modélidation probabiliste et permet de situer l’originaligé des autres ensembles cités dans le paragraphe 2-3. Une matrice aléatoire appartenant à cet ensemble, notée [GGOE], est à valeurs dans l’ensemble des matrices carrées réelles et sym´etriques MS_n. La valeur moyenne de [GGOE_{] est}

E{[GGOE]} = [In] ,

et elle s’´ecrit

[GGOE] = [In] + [GδGOE] ,

avec [GδGOE_{] une matrice al´}_{eatoire centr´}_{ee telle que}

— La distribution de probabilit´e de [GδGOE_{] est invariante par rapport `}_{a n’importe quelle}

transformation réelle orthogonale. — Les variables aléatoires réelles {[GδGOE_]

ij , 1 ≤ i ≤ j ≤ n} sont toutes statistiquement

ind´ependantes les unes des autres.

— Le paramètre de dispersion δGOE de la matrice aléatoire [GδGOE] est défini par

δGOE =

E{||[GδGOE_{] − E{[G}δGOE_]}||2

F}

||E{[GδGOE]}||2

F

(25)

— Chacune des variables al´eatoires [GδGOE_]

ij est une variable al´eatoire du second ordre,

de loi normale centr´ee et de variance var([GδGOE_]

ij) = (1 + δij)

δGOE2

n + 1 , avec δij le symbole de Kronecker.

Le param`etre de dispersion δ_[GGOE_] quantifiant l’amplitude des fluctuations statistiques de la

matrice al´eatoire [GGOE_{] est d´}_{efini par}

δ[GGOE_]=

E{||[GGOE_{] − E{[G}GOE_]}||2 F}

||E{[GGOE_]}||2 F

1₂ . On montre que δ[GGOE_]= δ_GOE

Remarques sur l’utilisation du GOE pour la modélisation non paramétrique des incertitudes dans les systèmes physiques Les matrices aléatoires [GGOE_{] ∈ GOE ne}

sont pas définies positives ou négatives presque sûrement. De plus, on a E{||[GGOE]−1||2

F} = +∞ ,

ce qui signifie que [GGOE_]−1 _{n’est pas une matrice al´}_{eatoire du second ordre. Par cons´}_equent,

cet ensemble ne peut pas être utilisé en modélisation stochastique lorsque la définie-positivité de la matrice ou l’intégrabilité de son inverse sont requises. Bien que séduisant par la rela-tive simplicité de sa construction, les propriétés algébriques que cet ensemble confère aux matrices aléatoires ne sont donc pas suffisantes pour qu’il puisse être employé dans de nom-breuses applications, incluant les problèmes physiques qui seront présentés dans la suite de ce manuscrit.

2.5 Ensemble SG

+₀

Cet ensemble est le plus fondamental, puisqu’il est utilis´e dans les ensembles suivants comme germe stochastique. Une matrice al´eatoire [G0] dans SG+0 est `a valeurs dans M+n(R)

et est construit par le Principe du Maximum d’Entropie en utilisant l’information statistique suivante

E{[G0]} = [In] , E{log(det([G0]))} = νG0 , |νG0| < +∞.

La condition E{log(det([G0]))} = νG0 sert à assurer l’inversibilité de [G0] et l’intégrabilité

de son inverse, ce qui manque aux matrices aléatoires du GOE. La densité de probabilité obtenue pour la matrice [G0] est `a support Sn= M+n(R) et s’écrit

p[G0]([G]) = 1Sn([G]) κ (det[G])

(n+1)1−δ2

2δ2 e−

n+1

2δ2tr[G]. (2.4)

(26)

où, pour tout z > 0, Γ(z) =R₀+∞tz−1e−tdt. Ainsi, [G0] dépend d’un unique paramètre global

de dispersion statistique δ qui est `a valeurs dans [ 0 ,qn+1_n+5 ] et est d´efini comme

δ = E{||[G0] − E{[G0]}|| 2 F} ||E{[G0]}||2F 1₂ .

Puisque la matrice [G0] est presque sˆurement d´efinie positive, il existe alors une matrice

aléatoire triangulaire supérieure, notée [L], telle que la factorisation de Cholesky de la matrice aléatoire [G0] s’écrive

[G0] = [L]T[L] , presque sˆurement . (2.5)

Afin que la densité de probabilité de la matrice aléatoire [G0] s’écrive telle que donné par

l’Eq. (2.4), on montre que les composantes [L]jj0 de la matrice al´eatoire triangulaire sup´erieure

[L] sont telles que

[L]j0_j = ξV_j0_j , pour j0 < j ≤ n , (2.6)

[L]jj = ξ

q

2h(ηj, Vjj) pour j ≤ n , (2.7)

o`u {Vj0_j, 1 ≤ j0 ≤ j ≤ n} est un ensemble de variables al´eatoires Gaussiennes

norma-lisées, indépendantes et à valeurs réelles. Les paramètres réels ξ et ηj sont définis comme

ξ = δ(n + 1)−12 et η_j = n+1 2δ2 + 1−j 2 . La fonction h s’´ecrit h(η, V ) = F −1 Γη (FV(v)) o`u FV est la

fonction de répartition d’une variable aléatoire Gaussienne normalisée V et FΓη est la fonction

de répartition d’une variable aléatoire Gamma Γη de paramètre η. Des réalisations

statisti-quement ind´ependantes [G(1)₀ ], . . . , [G(Nr)

0 ] de la matrice al´eatoire [G0] sont alors facilement

calculables en utilisant les relations (2.5), (2.6) et (2.7) `a partir des r´ealisations v(1)_j0_j, . . . , v

(Nr)

j0_j

de la variable al´eatoire Vj0_j. On a donc, pour tout 1 ≤ r ≤ N_r et pour tout j0 < j ≤ n,

[G(r)₀ ] = [L(r)]T[L(r)] , [L(r)]j0_j = ξv(r)

j0_j , [L(r)]jj = ξ

q

2h(ηj, v(r)jj ) .

2.6 Ensemble SG

+_ε

Comme indiqué précédemment, pour tout ε > 0, il s’agit d’un sous-ensemble de SG+₀ avec une borne inférieure donnée par la matrice définie positive [G`] qui s’écrit

[G`] =

ε

1 + ε[In] .

L’ensemble SG+_ε est construit comme étant l’ensemble des matrices aléatoires [G] à valeurs dans M+

n(R) telles qu’il existe une matrice al´eatoire [G0] ∈ SG+0 dont le coefficient de

disper-sion δ est donn´e et telles que

[G] = 1

1 + ε([G0] + ε[In]) . (2.8)

On a donc 0 < [G`] < [G] presque sˆurement. On introduit le param`etre de dispersion δG de

(27)

On a alors la relation suivante entre δGet δ, le coefficient de dispersion de la matrice al´eatoire

[G0], pour tout ε > 0

δG=

δ 1 + ε .

Des r´ealisations statistiquement ind´ependantes [G(1)_{], . . . , [G}(Nr)_{] de la matrice al´}_{eatoire [G] ∈}

SG+₀ peuvent être calculées à partir des réalisations statistiquement indépendantes [G(1)₀ ] , . . . , [G(Nr)

0 ] de la matrice [G0] en utilisant l’Eq. (2.8),

[G(r)] = 1 1 + ε([G

(r)

0 ] + ε[In]) .

2.7 Ensemble SE

+_ε

Cet ensemble est constitu´e de matrices al´eatoires [A] `a valeurs dans M+

n(R) et dont la

valeur moyenne [A] = E{[A]} est une matrice donn´ee dans M+_n(R). Pour tout ε > 0, l’ensemble SE+_ε est donc construit comme l’ensemble des matrices aléatoires [A] telles qu’il existe une matrice aléatoire [G] ∈ SG+_ε dont le coefficient de dispersion δG est donné et telle que

[A] = [LA]T[G][LA] (2.9)

o`u [LA] est la matrice triangulaire sup´erieure issue de la factorisation de Cholesky de la

matrice moyenne [A] = [LA]T[LA]. Il est alors possible de montrer que cet ensemble SE+ε

admet une borne inférieure notée [Al] ∈ M+n(R) et définie par

[Al] =

ε 1 + ε[A] . Le param`etre de dispersion δA de [A] s’´ecrit

δA= E{||[A] − [A]||2 F} ||[A]||2 F 1₂ . On montre que δA= δG √ n + 1 1 + (tr[A]) 2 ||[A]||2 F 1₂ ,

où δG est le paramètre de dispersion de la matrice aléatoire [G] ∈ SG+ε. Des réalisations

statistiquement ind´ependantes [A(1)], . . . , [A(Nr)_{] de la matrice al´}_{eatoire [A] sont calcul´}_{ees `}_a

partir de r´ealisations statistiquement ind´ependantes [G(1)_{], . . . , [G}(Nr)_{] de la matrice al´}_eatoire

[G] ∈ SG+_ε en utilisant l’Eq. (2.9),

(28)

2.8 Ensemble SE

+0

Cet ensemble est constitu´e de matrices al´eatoires [A] `a valeurs dans M+0

m (R). La valeur

moyenne [A] = E{[A]} est une matrice donn´ee dans M+0

m (R). La dimension du noyau null([A])

est µnull telle que 1 ≤ µnull≤ m. Il existe une matrice [RA] dans Mnm(R) avec n = m − µnull

telle que

[A] = [RA]T[RA] . (2.10)

L’ensemble SE+0 est alors construit comme l’ensemble des matrices al´eatoires [A] pour les-quelles il existe une matrice [G] ∈ SG+_ε, de coefficient de dispersion δG et `a valeurs dans

M+

n(R) avec n = m − µnull, telle que

[A] = [RA]T[G][RA] .

Le param`etre de dispersion de [A] s’´ecrit δA= E{||[A] − [A]||2 F} ||[A]||2 F 1₂ .

Des r´ealisations statistiquement ind´ependantes [A(1)], . . . , [A(Nr)_{] de la matrice al´}_{eatoire [A]}

sont calculées à partir de réalisations statistiquement indépendantes [G(1)_{], . . . , [G}(Nr)_{] de la}

matrice al´eatoire [G] ∈ SG+_ε en utilisant l’Eq. (2.10),

[A(r)] = [RA]T[G(r)][RA] , 1 ≤ r ≤ Nr .

2.9 Ensemble SE

HT +_ε

Cet ensemble SEHT +_ε est celui des fonctions matricielles aléatoires index´ees par R et `a valeurs dans un sous-ensemble de Mn(C). Une matrice aléatoire dépendante de la fréquence

[A(ω)] appartenant `a SEHT +_ε s’´ecrit, pour tout ω ∈ R,

[A(ω)] = [C(ω)] + i[B(ω)] . (2.11)

telle que [A] soit la transformée de Fourier d’un processus aléatoire causal, intégrable et index´e sur R et à valeurs dans un sous-ensemble de Mn(C). Ainsi, ses parties imaginaire B(ω)

et réelle C(ω) sont reliées à travers les relations de Kramers-Kronig (K-K) faisant intervenir des transformées de Hilbert

[C(ω)] = 1 π p.v. Z +∞ −∞ [B(ω0)] ω − ω0 dω 0 (2.12) [B(ω)]} = −1 π p.v. Z +∞ −∞ [C(ω0)] ω − ω0 dω 0 .

Dans l’ensemble de ce manuscrit, SEHT +_ε est construit en prenant [B(ω)] dans l’en-semble des matrices aléatoires SE+_ε décrit dans ce chapitre. Des réalisations statisti-quement indépendantes [A(1)(ω)], . . . , [A(Nr)_{(ω)] de la matrice al´}_{eatoire [A(ω)] sont}

(29)

[C(1)(ω)], . . . , [C(Nr)_{(ω)] des matrices al´}_{eatoires [B(ω)], [C(ω)] en utilisant l’Eq. (2.11) et} (2.12), [A(r)(ω)] = [C(r)(ω)] + i[B(r)(ω)] , avec [C(r)(ω)] = 1 π p.v. Z +∞ −∞ [B(r)(ω0)] ω − ω0 dω 0 .

2.10 Ensemble SE

HT +0

Cet ensemble est très similaire à SEHT +_ε à la différence que la matrice aléatoire [B(ω)] est dans l’ensemble SE+0 et non pas SE+_ε. C’est un ensemble de fonctions matricielles aléatoires index´ees par R et à valeurs dans un sous-ensemble de Mn(C). Une matrice aléatoire dépendante

de la fr´equence [A(ω)] appartenant `a SEHT +0 s’´ecrit, pour tout ω ∈ R,

[A(ω)] = [C(ω)] + i[B(ω)] , (2.13)

o`u la matrice al´eatoire [B(ω)] est dans l’ensemble SEHT +_ε et [C(ω)] = 1 π p.v. Z +∞ −∞ [B(ω0)] ω − ω0 dω 0 _(2.14)

Des r´ealisations statistiquement ind´ependantes [A(1)(ω)], . . . , [A(Nr)_{(ω)] de la matrice}

aléatoire [A(ω)] sont calculées à partir de réalisations statistiquement indépendantes [B(1)_{(ω)], . . . , [B}(Nr)_{(ω)] et [C}(1)_{(ω)], . . . , [C}(Nr)_{(ω)] des matrices al´}_{eatoires [B(ω)], [C(ω)] en}

(30)

Chapitre 3

Calcul des relations de

Kramers-Kronig par int´

egration

directe des transform´

ees de Hilbert

3.1 Causalit´

e et relations de Kramers-Kronig

Dans l’ensemble de ce travail, nous utilisons la terminologie “causale” et “principe de causalité” lorsque nous décrivons les modèles numériques de calculs et lorsque nous construi-sons les modèles probabilistes non paramétriques de leurs opérateurs. Ces terminologies sont précisées dans ce paragraphe. Dans le cadre des modèles numériques de calculs en visco-´

elasticité linaire et en vibro-acoustique externe, lorsque les modèles sont fomrulés dans le domaine fréquenciel, les équations exhibent des produits du type [A(ω)] q(ω) où ω 7→ q(ω) est la fonction d’état du système dynamique étudié que l’on construit comme étant la solution du modèle numérique de calcul. La matrice [A(ω)] est une matrice à valeurs dans l’ensemble des matrices de dimension N ×N et à valeurs complexe. Le vecteur q(ω) est `a valeur dans CN_.

Ecrits dans le domaine temporel, les produits du type [A(ω)] q(ω) deviennent des produits de convolution [A] ? q(t) que l’on peut ´ecrire

[A] ? q(t) = Z +∞

−∞

[A(t − u)] q(u) du .

Ainsi, a priori, l’équation formulée dans le domaine temporel comporte un terme [A] ? q(t) qui est défini à l’instant présent t par les valeurs de q aux instants u ≥ t. Ce résultat est contraire au principe de causalité pour lequel, les équations qui décrivent l’état du système dynamique à un instant présent t ne doivent dépendre que des valeurs de la variable d’état q aux instants passés u ≤ t. Ainsi, ce principe de causalité induit que le support de t 7→ [A(t)] est R+_{. Dans ce cas nous avons,}

[A] ? q(t) = Z t

−∞

[A(t − u)] q(u) du ,

(31)

num´erique est causal, si les composantes t 7→ [A(t)]ij sont des fonctions de support R+, `a

valeurs dans R et de carr´e int´egrable pour la mesure de Lebesgue ([A]ij ∈ L2(R+, R)). Ainsi,

par la suite, nous applerons “fonction causale” toute fonction f ∈ L2_{(R, R) `}_{a support R}+_{. Il}

est aisé de déterminer si une fonction donnée est “causale” ou non lorsque son graphe est connu dans le domaine temporel. Il suffit de vérifier que

1. f (t) = 0, pour tout t < 0. 2.

Z +∞

0

|f (t)|2dt < +∞.

Par contre, ce n’est plus aussi aisé lorsque l’on se place dans le domaine fréquentiel et que seul le graphe de ω 7→ bf (ω), la transformée de Fourier de t 7→ f (t), est connu, sans bien entendu, avoir à calculer sa transformée de Fourier inverse. Par définition, une fonction “causale” t 7→ f (t) est donc telle que, pour tout t ∈ R

f (t) = 1R+(t) f (t) , (3.1)

o`u 1R+ est la fonction indicatrice de R+. La transform´ee de Fourier ω 7→ bf (ω) est bien

définie puisque f appartient à l’ensemble L2(R, R). La transformée de Fourier de la fonction indicatrice 1R+ n’est, quant à elle, définie qu’au sens des fonctions généralisées et nous avons

d

1R+(ω) = π δ0(ω) +

1 i ω ,

où δ0 désigne la distribution de Dirac en 0. En appliquant la transformée de Fourier aux deux

membres de l’Eq. (3.1), nous obtenons b f (ω) = 1 2πd1R+ ? bf (ω) , = 1 2π Z R d 1R+(Ω) bf (ω − Ω) dΩ , = 1 2 Z R δ0(Ω) bf (ω − Ω) dΩ + 1 2πp.v Z R b f (ω − Ω) i Ω dΩ , = 1 2f (ω) −b i 2πp.v Z R b f (Ω) ω − ΩdΩ ,

et où p.v signifie que la valeur principale de l’intégrale est calculée. Finalement, nous obtenons b f (ω) = −i π p.v Z R b f (Ω) ω − ΩdΩ . (3.2)

Cette relation n’est valable que pour une fonction ω 7→ bf (ω), d´efinie sur R et `a valeurs dans

C et de carr´e intégrable au sens de Lebesgue, c’est à dire bf ∈ L2(R, C), et dont la transformée

de Fourier inverse t 7→ f (t) est “causale”. Nous introduisons maintenant les parties r´eelle fR_{(ω) et imaginaire f}I_{(ω) de b}_{f (ω) et nous en d´}_{eduisons alors}

(32)

Ces deux relations sont les “relations de Kramers-Kronig” et permettent de déterminier si une fonction t 7→ f (t) est “causale” uniquement en se donnant la donnée du graphe de sa transformée de Fourier ω 7→ bf (ω) et sans avoir à calculer sa transformée de Fourier inverse, donc en restant uniquement dans le domaine fréquentiel. Elles nous indiquent que les parties réelle et imaginaire de ω 7→ bf (ω) sont les transformées d’Hilbert l’une de l’autre à un signe pr`es. Par la suite, dans tout ce manuscrit, nous utilisons la notation H{f, ω} pour d´esigner la transformée de Hilbert d’une fonction ω 7→ f (ω) et que nous définissons par

H{f, ω} = 1 πp.v. Z R f (Ω) ω − ΩdΩ . (3.3)

3.2 Discr´

etisation de la transform´

ee de Hilbert

L’objet de ce chapitre est de présenter une première méthode pour calculer numériquement la transformée d’Hilbert d’une fonction ω 7→ f (ω) donnée. Nous ometterons volontairement le symbole “chapeau” pour distinguer la transformée de Fourier par soucis d’alléger les ex-pressions mathématiques. Cette méthode sera ensuite étendue aux matrices aléatoires pour la construction des réalisations des matrices aléatoires (voir le chapitre 2) dans l’ensemble SEHT +_ε qui vérifient les relations de Kramers-Kronig dans le cadre de modèles numériques causaux (voir le chapitre 5 pour une application à la viscoélasticité linaire). L’objectif est donc de présenter une méthode num´erique efficace permettant de calculer H{f, ω} o`u la fonc-tion ω 7→ f (ω) sera calculée par un modèle numérique causal, déterministe ou stochastique, pour ω appartenant à une bande de fréquence B. Ainsi, on admet que le modèle numérique de calcul est potentiellement erroné pour tout calcul de f (ω) lorsque ω est en dehors de cette bande fr´equentielle B. En pratique, le calcul de H{f, ω} est d´elicat. Il requiert la connais-sance de la fonction ω 7→ f (ω) pour tout ω ≥ 0 et pas seulement pour la bande de fréquence d’analyse B. Il est donc nécessaire que l’échantillonnage fréquentiel de la fonction ω 7→ f (ω) soit restreint à des fréquences appartenant à B. Une approche na¨ıve consisterait à tronquer l’intervalle d’int´egration sur R pour int´egrer uniquement sur B. Faire une telle approxima-tion nécessiterait, pour être justifiée, que ω 7→ f (ω) décroisse suffisamment rapidement sur B lorsque ω augmente. Or, cela n’est pas le cas et il est prouvé qu’une décroissance rapide est par ailleurs antinomique avec les fonctions réelles “causales”, c’est à dire vérifiant les relations de Kramers-Kronig, lesquelles sont les fonctions qui nous intéressent spécifiquement dans ce travail de thèse. Dans un premier temps, la stratégie consiste à séparer l’intervalle d’intégration [0, +∞[ en deux, un premier étant [0, ug] et le second [ug, +∞[, où le paramètre

ug doit ˆetre plus grand que 1, ce qui scinde l’int´egrale de l’Eq. (3.3) en deux parties, une

première où se situe la singularité de l’intégrale en valeur principale de Cauchy et une se-conde sur le reste de l’intervalle d’intégration, séparant ainsi les deux problèmes liés au calcul numérique de cette intégrale, à savoir le traitement de la singularité et l’intégration sur un intervalle infini. On écrit ceci

H{f, ω} = 2ω

(33)

où les intégrales I1(ω) et I2(ω) s’écrivent I1(ω) = p.v Z ug 0 1 1 − u2f (ωu)du , I2(ω) = Z +∞ ug 1 1 − u2f (ωu)du .

Dans la suite, pour le calcul de I1(ω), qui on le rappelle fait intervenir une singularit´e en

u = 1, l’intégrande est évaluée pour un grand nombre de valeurs de u échantillonnées finement et de fa¸con symétrique autour de la singularité, et une technique d’intégration numérique classique est utilisée, ici une méthode des trapèzes utilisant Nupoints d’intégration. La raison

pour laquelle cette méthode ne peut pas être transposée au calcul de I2(ω), où l’intervalle

d’intégration serait tronqué en un intervalle fini [ug, umax] où la borne supérieure d’intégration

umax ∈ B serait fixée à une valeur suffisamment grande telle que le reste de l’intégrale

soit négligeable, est que cela nécessiterait de garder un échantillonage en u très fin sur un intervalle bien plus large que [0, ug], ce qui serait d’un coût numérique prohibitif, ou d’utiliser

un pas d’intégration plus large, ce qui crée alors un problème de sur- ou sous-estimation systématique de la valeur de l’intégrale, dans une mesure qui ne peut pas être estimée dans le cas général. L’objectif étant de contrôler la précision du calcul dans sa globalité, il est nécessaire d’adopter une autre approche. A ces fins, l’intégration sur [ug, +∞[ est réécrite en

intégration sur l’intervalle [−1, 1] en utilisant un changement de variable, intervalle sur lequel une quadrature de Gauss est appliquée en utilisant uniquement un échantillonage fréquentiel dans la bande B pour laquelle le modèle numérique est valide. L’avantage de cette approche est de permettre une intégration exacte d’un type de fonctions choisies pour correspondre au problème traité, et ce en n’utilisant qu’un faible nombre Nq de points de quadrature.

3.3 Int´

egration autour de la singularit´

e

La méthode décrite précédemment pour le calcul de I1(ω), qu’on écrit

I1(ω) = lim η→0+{ Z 1−η 0 1 1 − u2f (ωu) du + Z ug 1+η 1 1 − u2f (ωu) du} ,

avec un paramètre ug > 1 fixé arbitrairement, consiste à prendre en compte la limite η → 0+

par ´echantillonnage des valeurs de l’int´egrande aux points {ui, i = 1, . . . , Nu, ui 6= 1} avec

un pas constant ui+1− ui 1. Garder un ´echantillonnage sym´etrique au voisinage de la

singularité, tel que c’est le cas ici, est en accord avec le principe de l’intégration en va-leur principale de Cauchy qui est que pour les deux parties de l’intégrale, les intervalles d’intégration tendent vers leur valeur limite à la même vitesse. La position u = 1 ne pouvant ˆ

etre évaluée numériquement, un échantillonnage très fin autour de la singularité permet de raisonnablement faire l’approximation réalisée ici, à savoir que le point u = 1 est simplement supprimé lors de l’intégration numérique. Une fois l’échantillonnage posé, une technique clas-sique d’intégration numérique peut être choisie, par exemple parmi la famille des techniques dites de Newton-Cotes. Ici, on choisit l’usage de la méthode des trapèzes qui permet d’écrire

(34)

3.4 Int´

egration loin de la singularit´

e par quadrature de

Gauss

On s’int´eresse maintenant au calcul pratique de I2(ω) d´efinie par

I2(ω) =

Z +∞

ug

1

1 − u2 f (ωu)du , (3.4)

pour ug > 1. Comme décrit précédemment, un changement de variable et une règle de

quadrature ad hoc sont introduits. Ainsi, on d´efinit le changement de variable η 7→ u = U (η) de [−1, 1[ vers [ug, +∞[,

U (η) = 2 ug

1 − η , ug > 1 . (3.5)

L’Eq. (3.4) peut être réécrite comme I2(ω) = µ

Z 1

−1

f (ω U (η)) pH(η) dη ,

où la constante négative µ est définie par µ = 1

2log

(ug− 1)

(ug + 1)

< 0 , ug > 1 ,

et o`u pH est une fonction d´efinie sur [−1, 1 ], `a valeurs dans R+, telle que

pH(η) =

2ug

µ(η2_{− 2η + 1 − 4u}2 g)

, η ∈ [−1, 1 ] , ug > 1 .

Cette fonction à valeurs positives, possédant la propriété Z 1

−1

pH(η) dη = 1 ,

peut ainsi être vu comme la densité de probabilité d’une variable aléatoire H à valeurs dans [−1, 1 ] définie sur un espace probabilisé (Ξ, T , P), ce qui sera utilisé par la suite. Cette interprétation probabiliste de l’intégrale I2(ω) donne alors

I2(ω) = µE{f ( ω U (H))} .

Cette espérance mathématique peut être calculée par la méthode numérique de Monte-Carlo et l’on obtient alors l’approximation

I2(ω) ' µ ns ns X q=1 f ( ω U (h(q))) , o`u h(1), . . . , h(ns) _{sont n}

s réalisations statistiquement indépendantes de la variable aléatoire

(35)

Une autre interprétation probabiliste est présentée par la suite. Pour cela, on construit le schéma de quadrature à Nq points d’intégration par rapport à la mesure pH(η) dη sur [−1, 1 ]

de manière à ce que I2(ω) soit calculée par

I2(ω) ' Nq

X

q=1

wqf (ω U (hq)) ,

où hq est le q-ième point de Gauss et wq est son poids de Gauss associé.

Polynômes orthogonaux par rapport à la mesure pH(η) dη La procédure pour

construire la règle de quadrature associée à n’importe quelle mesure a été détaillé par exemple par W. Gautschi dans [20], [21] et [22]. Cette construction est basée sur la relation de récurrence à trois termes qui peut être exprimée entre les polynômes moniques (polynômes d’une seule variable où le coefficient de plus haut degré est égal à 1) qui sont orthogonaux par rapport à la mesure pH(η) dη sur [−1, 1 ]. Soit H = L2([−1, 1 ], pH(η)dη) l’espace

Hilber-tien des fonctions réelles de carré intégrable définies sur [−1, 1 ] par rapport à la mesure de probabilité pH(η) dη, muni du produit scalaire suivant et de la norme associée

< g , g0 >= Z 1

−1

g(η) g0(η) pH(η) dη , kgk =< g , g >1/2 .

Pour k = 0, . . . , Nq, soit πk(η) le polynˆome monique orthogonal d’ordre k dans H et de degr´e

k. On a, cons´equemment, pour k et k0 dans {0, 1, . . . , Nq},

< πk, πk0 >= 0 for k 6= k0.

La relation de récurrence à trois termes vérifiée par cette famille de polynômes orthogonaux s’écrit

πk+1(η) = (η − αk) πk(η) − βkπk−1(η) , k = 0, 1, ..., Nq− 1 ,

π0(η) = 1 , π−1(η) = 0 .

o`u les coefficients αk et βk s’´ecrivent

αk=< η πk kπkk , πk kπkk > , k = 0, ..., Nq− 1 , (3.6) βk= (kπkk kπk−1k−1)2 , k = 1, ..., Nq− 1 . (3.7)

où kπkk kπk−1k−1 peut être calculé par l’équation

kπkk kπk−1k−1 =< η πk−1 kπk−1k , πk kπkk > , k = 1, ..., Nq− 1 .

La valeur du coefficient β0 est arbitraire et d´efinie par convention par

β0 = kπ0k2 =

Z 1

−1

(36)

Une fois les coefficients connus, on construit la matrice de Jacobi suivante : [JNq] =        α0 √ β1 √ β1 α1 √ β2 √ β2 α2 √ β3 . .. . .. . .. pβNq−1 αNq−1       

La r`egle de quadrature est ensuite d´eduite par calcul des valeurs propres h1, . . . , hNq et des

vecteurs propres normalis´es v1, . . . , vNq de cette matrice de Jacobi,

[JNq] vq = hqvq , q = 1, . . . , Nq.

Les abscisses recherch´ees sont h1, . . . , hNq et les poids associ´ees w1, . . . , wNq sont tels que

wq = β0{vq}21 = {vq}21 , q = 1, . . . , Nq,

où {vq}1 est la première composante du q-ième vecteur propre normalisé vq. Il est

impor-tant de souligner que, puisque la quadrature ainsi construite sur [−1, 1] est exacte pour les polynômes de degré 2Nq− 1 et de par l’Eq. (3.5), les intégrandes de la forme _{P (u)}1 , où P (u)

est un polynôme de degré 2Nq− 1 au plus, seront calculées correctement.

Algorithme pour la construction des polynômes orthogonaux Nous avons donc présenté la construction de la famille de polynˆomes moniques orthogonaux dans H. L’al-gorithme de Gram-Schmidt est une technique courante pour générer un jeu de polynômes orthogonaux à partir d’un ensemble de départ de polynômes (en général pris comme des monômes d’ordre croissant). Cependant, ce processus est numériquement instable, notam-ment face à l’augmentation du nombre de polynômes à orthogonaliser. Afin d’éviter de tels soucis de stabilité, on se propose d’utiliser une méthode alternative, détaillée dans [45], qui a été appliquée avec succès à la construction de chaos polynomiaux en grande dimension par rapport à une mesure arbitraire. La méthode est numériquement stable et est basée sur la théorie des probabilités. Introduisons les polynômes orthonormaux {Ψ0, Ψ1, . . . , ΨNq}

associ´ees aux polynˆomes orthogonaux {π0, π1, . . . , πNq},

Ψk(η) = πk(η)kπkk−1 , k = 0, 1, . . . , Nq− 1 ,

On a alors, pour tout k et k0 dans {0, 1, . . . , Nq− 1},

E{Ψk(H) Ψk0(H)} =

Z 1

−1

Ψk(η) Ψk0(η) p_H(η) dη = δ_kk0,

où E dénote l’espérance mathématique et où δkk0 est le symbole de Kronecker. Soient n_s

r´ealisations statistiquement ind´ependantes h(1), . . . , h(ns) _{de la variable al´}_{eatoire H de densit´}_e

de probabilit´e pH(η). Pour ns suffisamment grand, on a

(37)

Soit [P] la matrice r´eele de taille (Nq× ns) telle que

[P]κ`= Ψκ−1(h(`)) , κ = 1, . . . , Nq , ` = 1, . . . , ns.

On peut alors d´eduire que

lim

ns→+∞

1 ns− 1

[P][P]T = [INq] .

Soit alors [M] la matrice r´eelle de taille (Nq× ns) contenant les r´ealisations des monˆomes telle

que

[M]κ` = (h(`))κ−1 , κ = 1, . . . , Nq , ` = 1, . . . , ns. (3.8)

L’algorithme `a suivre est alors le suivant :

1. Calculer la matrice [M] d´efinie par Eq. (3.8), puis calculer la matrice r´eelle, de taille (Nq× Nq), [F] = _n_s1−1[M] [M]

T_{. On suppose que n}

s > Nq afin que la matrice [F] soit

d´efinie positive.

2. Calculer la matrice r´eelle, de taille (Nq× Nq), triangulaire inf´erieure [L] provenant de

la d´ecomposition de Cholesky [L] [L]T de la matrice sym´etrique d´efinie positive [F]. 3. Calculer la matrice r´eelle [P] de taille (Nq × ns) comme la solution de l’´equation

matricielle lin´eaire [L] [P] = [M].

Les coefficients αk et βk sont alors calcul´es en utilisant les Eqs. (3.6) et (3.7) dans lesquelles

on a < η πk kπkk , πk kπkk >= E{H Ψk(H)2} , k = 0, ..., Nq− 1 , kπkk kπk−1k−1 = E{H Ψk−1(H) Ψk(H)} , k = 1, ..., Nq− 1 .

o`u, pour k = 0, ..., Nq− 1, les approximations suivantes sont utilis´ees

E{H Ψk(H)2} ≈ 1 ns ns X `=1 h(`)Ψk(h(`))2, E{H Ψk−1(H) Ψk(H)} ≈ 1 ns ns X `=1 h(`)Ψk−1(h(`)) Ψk(h(`)) ,

ce qui conclut la description de la construction des polynômes orthogonaux nécessaires à la règle de quadrature de Gauss qu’on souhaite introduire.

3.5 Extension aux fonctions `

a valeurs dans l’ensemble

des matrices d´

efinies positives

L’extension au cas des fonctions ω 7→ [B(ω)] à valeurs dans l’ensemble des matrices réelles, définies positives est trivial. Pour tout ω fix´e dans R, on note [C(ω)] = H{[B], ω}, la matrice dont l’élément (i, j) est [C(ω)]ij = H{[B]ij, ω} défini par

[C(ω)]ij = H{[B]ij, ω} =

2ω