Dans ce chapitre, le calcul de r´ealisations statistiquement ind´ependantes d’une matrice dans SEHT +ε ont ´et´e calcul´ees en utilisant la m´ethode num´erique pr´esent´e dans le chapitre 3. Elle pr´esente l’avantage d’utiliser directement l’´equation de la relation K-K. Cependant, un certain nombre de facteurs font qu’elle n’est pas satisfaisante.
— Un maillage fin est n´ecessaire autour de la singularit´e ;
— Un grand nombre de points maˆıtres sont n´ecessaires pour capter les variations des fonctions de relaxation ;
— La bande d’analyse doit ˆetre plus restreinte que la bande utilis´ee pour le calcul de l’int´egrale impropre ;
— Le calcul des int´egrandes pour la quadrature est lourd car il n´ecessite l’assemblage de matrices ´el´ements finis.
Chapitre 6
Application `a l’acoustique externe
Figure 6.1 Sch´ema du probl`eme d’acoustique externe
On consid`ere ici un objet occupant le domaine Ωs dont le bord est not´e Γ. Cet objet est plong´e dans un fluide acoustique s’´etendant infiniment autour dans un domaine non-born´e Ωf. L’objet vibre `a son bord Γ, ce qui provoque la propagation d’ondes acoustiques dans Ωf.
6.1 Mise en ´equation
Hypoth`eses On s’int´eresse ici aux vibrations de faible amplitude d’un fluide homog`ene, compressible et non visqueux autour d’une configuration de r´ef´erence `a l’´equilibre statique. Les effets gravitationnels sont n´eglig´es. On introduit ρ(x, t) la perturbation de la masse volumique par rapport `a la valeur `a l’´equilibre ρf, p(x, t) la perturbation du champ de pression externe par rapport `a la valeur `a l’´equilibre p0 et le champ de vitesse v(x, t). Ces
diff´erents champs sont d´efinis sur Ωf. Il est suppos´e que les perturbations des champs de masse volumique et de pression sont faibles, soit ρ ρf et p p0. On introduit ´egalement la c´el´erit´e des ondes dans le fluide cf et le nombre d’onde k = cω
f.
6.1.1 Equations de l’acoustique externe dans le domaine temporel
Ecrite dans le domaine temporel et en l’absence de source acoustique externe, l’´equation lin´earis´ee de conservation de la masse est
∂ρ(x, t)
∂t + ρf∇.v(x, t) = 0 . (6.1)
A cette ´equation vient s’ajouter l’´equation d’Euler lin´earis´ee qui s’´ecrit ρf∂v(x, t)
∂t + ∇p(x, t) = 0 . (6.2)
On a la loi de comportement suivante
p(x, t) = c2fρ(x, t) ,
qui permet d’´ecrire l’Eqs. (6.1) en fonction des champs de pression et de vitesse et en ´eliminant ρ(x, t), on obtient
∂p(x, t)
∂t = −ρfc
2
f∇.v(x, t) , (6.3)
o`u ∇.v est la divergence du champ de vitesse v et o`u ∇p est le gradient du champ de pression p. Sur le bord Γ, un d´eplacement normal uΓ(y, t) est impos´e. On a donc la condition aux limites suivante
v(y, t).ny = ∂uΓ(y, t)
∂t , ∀y ∈ Γ . (6.4)
6.1.2 Equations de l’acoustique externe dans le domaine
fr´equentiel
On introduitv(x, ω) etb p(x, ω) les transform´b ees de Fourier des perturbations des champs de vitesse et de pression. Par la suite, puisque la d´ependance en ω des transform´ees de Fourier permet de lever toute ambigu¨ıt´e, on omettra les chapeaux pour distinguer les transform´ees de Fourier de v et p. Ainsi on notera v(x, ω) et p(x, ω) les transform´ees de Fourier de v(x, t) et p(x, t). En appliquant la transform´ee de Fourier aux Eqs. (6.2) et (6.3), on obtient, dans le domaine fr´equentiel
iωρfv(x, ω) + ∇p(x, ω) = 0 , (6.5)
6.1.3 Irrotationalit´e et potentiel de vitesse
La condition d’irrotationalit´e est obtenue en appliquant l’operateur rotationnel (∇×) aux deux membres de l’Eq. (6.5)
∇ × v(x, ω) = 0 .
On en d´eduit l’existence d’un potentiel scalaire du champ de vitesse ϕ(x, ω) d´efini `a une constante additive pr`es, tel que
v(x, ω) = ∇ϕ(x, ω) .
Les Eqs. (6.5) et (6.6), r´e´ecrites dans le domaine fr´equentiel s’´ecrivent, pour tout x ∈ Ωf
iωρf∇ϕ(x, ω) + ∇p(x, ω) = 0 , (6.7)
iωp(x, ω) = −ρfc2f∇2ϕ(x, ω) . En combinant ces deux ´equations, on obtient l’´equation d’Helmoltz
∇2ϕ(x, ω) +ω
2
c2 f
ϕ(x, ω) = 0 ,
o`u ∇2ϕ repr´esente le Laplacien du potentiel de vitesse ϕ. La condition aux limites d´efinie par l’Eq. (6.4) dans le domaine fr´equentiel devient alors
∂ϕ(y, ω)
∂ny = vΓ(y, ω) , ∀y ∈ Γ , o`u
∂ϕ(y, ω)
∂ny = ∇ϕ(y, ω).ny , vΓ(y, ω) = iωuΓ(y, ω)
6.1.4 Probl`eme de Neumann ext´erieur
Nous sommes donc ramen´es `a r´esoudre le probl`eme de Neumann ext´erieur qui s’´enonce : trouver ϕ tel que, pour tout vΓ donn´e
∇2ϕ(x, ω) +ω 2 c2 f ϕ(x, ω) = 0 , ∂ϕ(y, ω) ∂ny = vΓ(y, ω) . (6.8)
Pour tout k 6= 0 et pour tout champ de vitesse vΓ(y, ω) donn´e, le probl`eme de Neu-mann ext´erieur n’admet pas de solution unique. Cependant, il convient de consid´erer que les ondes qui partent vers l’infini ne reviennent pas. Pour cela, on ajoute des condi-tions suppl´ementaires, les conditions de rayonnement externe de Sommerfeld `a l’infini, qui s’´ecrivent |ϕ| = O(1 R) , |∂ϕ ∂R + ikϕ| = O( 1 R2) ,
lorsque R = ||x|| tend vers +∞, avec ∂R∂ d´enotant la d´eriv´ee partielle dans la direction radiale par rapport `a l’origine.
6.1.5 Op´erateur de rayonnement et op´erateur d’imp´edance
acous-tique
La solution ϕ du probl`eme de Neumann ext´erieur est unique pour tout vΓdonn´e. Il existe donc un unique op´erateur lin´eaire B(ω), appel´e op´erateur de rayonnement, reliant ces deux quantit´es, tel que l’on ait, pour tout x ∈ Ωf
ϕ = B(ω)vΓ . (6.9)
En utilisant l’Eq. (6.7), on a p(x, ω) = −iωρfϕ(x, ω) et l’Eq. (6.9) devient alors p = Z(ω)vΓ ,
o`u Z(ω) est l’op´erateur d’imp´edance acoustique qui est donc d´efini par
Z(ω) = −iωρfB(ω) , (6.10)
6.1.6 Op´erateur d’imp´edance acoustique de bord
Soit ϕΓ la trace du potentiel de vitesse ϕ sur le bord Γ. Pour tout ϕ donn´e, sa trace ϕΓ est d´efinie de fa¸con unique. Il existe donc un op´erateur lin´eaire BΓ(ω) tel que
ϕΓ = BΓ(ω)vΓ
Soit pΓ la trace du champ de pression p sur le bord Γ. On introduit alors l’op´erateur d’imp´edance acoustique de bord ZΓ(ω), d´efini comme
ZΓ(ω) = −iωρfBΓ(ω) ,
qui permet de relier le champ de pression au bord pΓ au champ vΓde vitesse normal au bord,
pΓ= ZΓ(ω)vΓ. (6.11)
Il est `a noter que, si les transform´ees de Fourier inverses de ω 7→ ZΓ(ω) et ω 7→ vΓ(ω) sont formellement not´ees τ 7→ ZΓ(τ ) et τ 7→ vΓ(τ ) (nous avons gard´e les mˆemes notations entre ZΓ, vΓet leurs transform´ees de Fourier car il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e pour les distinguer), alors l’Eq. (6.11) est r´e´ecrite dans le domaine temporel sous la forme suivante
pΓ(t) = Z +∞
−∞
ZΓ(τ )vΓ(t − τ ) dτ .
Il est possible de montrer la relation suivante entre l’op´erateur d’imp´edance acoustique Z(x, ω) et l’op´erateur de bord BΓ(ω) (voir [42])
Z(ω) = −iωρf{R1(ω) − R2(ω)BΓ(ω)} . (6.12) Les op´erateur int´egraux R1 et R2 sont tels que, pour tout x ∈ Ωf, si on note ϕ1 = R1(ω)vΓ et ϕ2 = R2(ω)ϕΓ, pour tout vΓ et ϕΓ, alors
(R1vΓ)(x, ω) = Z
Γ
(R2ϕΓ)(x, ω) = Z
Γ
ϕΓ(y, ω)∂G(x − y; k) ∂ny dSy
o`u ny est le vecteur normal `a la surface Γ au point y et o`u G(x − y; k) est la fonction de Green du milieu acoustique homog`ene occupant R3 et qui s’´ecrit, pour tout x ∈ R3
G(x − y; k) = − e
−ik||x−y||
4π||x − y|| .
6.2 Formulation faible
La forme faible du probl`eme de Neumann ext´erieur est d´eduite en utilisant la th´eorie des potentiels. La forme faible obtenue permet d’´eviter les probl`emes dus aux fr´equences irr´eguli`eres. Cette construction a ´et´e propos´ee dans [42] et [43]. Pour cela, nous introduisons l’espace de fonctions CΓ = H1/2(Γ, C) et son dual CΓ0 = H−1/2(Γ, C). Le champ de vitesse normal sur le bord vΓ est une fonction de CΓ0. La forme faible s’´ecrit alors : trouver ϕΓ et ϕ∗Γ dans CΓ tels que, pour tout δϕ ∈ CΓ et δv ∈ CΓ0, on ait
s3(ϕ∗Γ, δϕ) = 1 2e(δϕ, vΓ) − s2(δϕ, vΓ) , e(ϕΓ, δv) = 1 2e(ϕ ∗ Γ, δv) − s2(ϕΓ, δv) + s1(v, δv) ,
o`u pour tout vΓ et δv dans CΓ0 et pour tout ϕΓ et δϕ dans CΓ, les formes bilin´eaires s1, s2, s3 et e sont d´efinies comme
s1(vΓ, δv) = Z Γ Z Γ G(x − y) vΓ(y)δv(x) ds(y)ds(x) s2(ϕΓ, δv) = Z Γ Z Γ ∂G(x − y) ∂ny ϕΓ(y)δv(x) ds(y)ds(x) s3(ϕΓ, δϕ) = − k2 Z Γ Z Γ
G(x − y)nx· ny ϕΓ(y)δϕ(x) ds(y)ds(x) + Z Γ Z Γ G(x − y) {ny× ∇yϕΓ(y)} · {nx× ∇xδϕ(x)} ds(y)ds(x) . e(ϕΓ, δv) = Z Γ ϕΓ(y)δv(x) ds(y) , o`u les d´ependances en k = cω
f de la fonction de Green not´ee G(x − y; k), des formes bilin´eaires s1(vΓ, δv; k), s2(ϕΓ, δv; k) et s3(ϕΓ, δϕ; k) ont ´et´e volontairement omises pour simplifier la lecture.