Extension au calcul de r´ ealisations ind´ ependantes des matrices al´ eatoires de

des matrices al´eatoires de SE

L’extension au cas o`u [B(ω)], pour tout ω ∈ R est une matrice al´eatoire dans l’ensemble SE⁺⁰, est aussi triviale. Pour tout ω fix´e dans R, on note [C(ω)], la matrice al´eatoire d´efinie par

Les r´ealisations ind´ependantes [C⁽¹⁾(ω)], . . . , [C⁽ⁿr)(ω)] de la matrice al´eatoire [C(ω)] sont calcul´ees avec les r´ealisations ind´ependantes [B(1)(ω)], . . . , [B(nr)(ω)] de la matrice al´eatoire [B(ω)]. On a donc, pour chaque r = 1, . . . , n_r

[C^(r)(ω)] = H{[B^(r)], ω} .

Pour chaque r´ealisation ind´ependante de [B(ω)] et de [C(ω)], nous sommes donc ramen´es au cas pr´ec´edent des fonctions `a valeurs dans l’ensemble des matrices positives. On a alors

[C^(r)(ω)]ij = F(ω; p0, mmax)^T [A] T(i[B^(r)(ω)]ij; p0, mmax) .

Dans ce cas, nous avons une m´ethode num´erique qui permet de construire les r´ealisations de la matrice al´eatoire [A(ω)] dans l’ensemble des matrices al´eatoires SE^{HT +0} si celle-ci est d´efinie par

[A(ω)] = [C(ω)] + i[B(ω)] .

Dans ce cas les r´ealisation ind´ependantes [A⁽¹⁾(ω)], . . . , [A⁽ⁿr)(ω)] de la matrice al´eatoire [A(ω)] sont calcul´ees avec les r´ealisations ind´ependantes [B(1)(ω)], . . . , [B(nr)(ω)] et [C(1)(ω)], . . . , [C(nr)(ω)] des matrices al´eatoires [B(ω)] et [C(ω)]. On a donc, pour chaque r = 1, . . . , nr

Chapitre 5

Application `a la visco´elasticit´e lin´eaire

On consid`ere un solide compos´e de deux phases, l’une ´elastique, l’autre visco´elastique. L’objet vibre `a cause de sollicitations ext´erieures, propageant des vibrations `a travers les milieux solides.

5.1 Mise en ´equations

5.1.1 Equations d’´equilibre et conditions aux limites

Soit Ωs = Ωe∪ Ωve un domaine ouvert et connect´e de R³, constitu´e de deux parties Ωe et Ω_ve. La premi`ere partie Ω<sub>e</sub> est occup´ee par un milieu solide ´elastique tandis que la seconde partie Ω<sub>ve</sub>est occup´ee par un milieu solide visco´elastique. Dans un rep`ere cart´esien (e₁, e₂, e₃), soient x = (x1, x2, x3) le vecteur position de n’importe quel point dans Ωs et dx = dx1dx2dx3

l’´el´ement de volume. Soit n la normale unitaire ext´erieure `a la fronti`ere ∂Ω_s du domaine Ω_s, qui s’´ecrit ∂Ω_s = Γ_u ∪ Γ_f, constitu´ee d’une partie Γ_u sur laquelle une condition de Dirichlet de d´eplacement nul est impos´ee et d’une partie Γf sur laquelle un champ de force surfacique, f_s(x, t), est appliqu´e. Soit u(x, t) le vecteur d´eplacement d´efini sur Ω_s. Le tenseur des d´eformations lin´earis´e est not´e {ε_pq}_pq et le tenseur des contraintes de Cauchy est not´e {σjk}jk avec j, k, p, and q dans {1, 2, 3}. Soit ρ(x) la densit´e de masse en x ∈ Ωs. Dans le domaine fr´equentiel, le probl`eme au limite s’´ecrit, pour tout ω r´eel appartenant `a la bande de fr´equence d’analyse B = [−ω_max, ω_max],

−ω2ρ(x)u(x, ω) − div σ(_{b b}u(x, ω)) = 0 , dans Ω_s , b

u(x, ω) = 0 , sur Γ_u , σ(u(x, ω)) n = b_b f_s(x, ω) , sur Γ_f .

Figure 5.1 Sch´ema du probl`eme de visco´elasticit´e lin´eaire

5.1.2 Loi de comportement ´elastique lin´eaire

Le solide ´elastique occupant le domaine Ω_e se comporte selon la loi de comportement suivante dans le domaine fr´equentiel :

σ(_bu(x, ω)) = a^elas(x) : ε(u(x, ω)) ,_b (5.4) o`u A : B repr´esente le produit doublement contract´e de deux tenseurs A et B et o`u ε(u(x, ω))_b est le tenseur des d´eformations lin´earis´e d´efini comme

ε_pq(_bu(x, ω)) = ¹ 2 ∂_bup(x, ω) ∂x_q ⁺ ∂u_bq(x, ω) ∂x_p
. (5.5)

Le tenseur d’´elasticit´e aelas poss`ede des propri´et´es de sym´etrie et d’ellipticit´e. (i) Sa propri´et´e de sym´etrie s’´ecrit

a^elas_ijkh(x) = a^elas_jikh(x) = a^elas_ijhk(x) = a^elas_khij(x) ,

(ii) Sa propri´et´e d’ellipticit´e est telle que, pour tous tenseurs du second ordre sym´etrique {Xij}ij, il existe une constante r´eelle positive c0, tel que

a^elas_ijkh(x)X_ijX_kh ≥ c₀X_ijX_ij,

5.1.3 Loi de comportement visco´elastique lin´eaire

La loi de comportement dans le domaine temporel, dans le domaine visco´elastique, s’´ecrit σ(u(x, t)) =

Z +∞

0

G(x, τ ) : ε( ˙u(x, t − τ ))dτ ,

avec G(x, τ ) le tenseur du quatri`eme ordre des fonctions de relaxation visco´elastiques. Il est `

a noter que la relation entre les contraintes de Cauchy σ(u) et les taux de d´eformations ε( ˙u) est bien causale car les contraintes de Cauchy `a l’instant t ne d´ependent que des taux de d´eformations aux instants ult´erieurs t − τ ≤ t. En effectuant une int´egration par partie et sous l’hypoth`ese que G(x, t) → 0 quand t → +∞ et que t 7→ ε( ˙u(x, t)) est born´ee, on obtient

σ(u(x, t)) = σ^elas(u(x, t)) + σ^ve(u(x, t)) , avec

σ^elas(u(x, t)) = G(x, 0) : ε(u(x, t)) , σ^ve(u(x, t)) = Z +∞

0

˙

G(x, τ ) : ε(u(x, t − τ ))dt . On pose alors g^elas(x) = G(x, 0), le tenseur g^elas repr´esentant la partie purement ´elastique lin´eaire du comportement et on d´efinit le tenseur g^ve(x, t) de la fa¸con suivante

g^ve(x, t) = 0 si t < 0 , g^ve(x, t) = ˙G(x, t) si t ≥ 0 ,

repr´esentant la partie visco´elastique du comportement. On peut alors r´e´ecrire la loi de com-portement

σ(u(x, t)) = g^elas(x) : ε(u(x, t)) + Z +∞

−∞

g^ve(x, τ ) : ε(u(x, t − τ ))dt . (5.8) En appliquant la transform´ee de Fourier aux deux membres de l’Eq. (5.8), et en in-troduisant la partie r´eelle _bgve,R(x, ω) = <e{_bgve(x, ω)} et la partie imaginaire _bgve,I(x, ω) = =m{_bg^ve(x, ω)}, la loi de comportement dans le domaine fr´equentiel est alors r´e´ecrite

σ(u(x, ω)) = a(x, ω) + i ω b(x, ω)
: ε(_b u(x, ω)) ,_b (5.9) o`u les composantes aijkh(x, ω) et bijkh(x, ω) des tenseurs r´eels du quatri`eme ordre a(x, ω) et b(x, ω) sont les coefficients visco´elastiques tels que

a(x, ω) = g^elas(x) +_bg^ve,R(x, ω) , ω b(x, ω) =_bg^ve,I(x, ω) . (5.10) Propri´et´es des tenseurs a(x, ω) et b(x, ω) Les coefficients visco´elastiques a_ijkh(x, ω) et b_ijkh(x, ω) sont d´ependants de la fr´equence. Ils exhibent ´egalement des propri´et´es de sym´etrie et d’ellipticit´e. Pour tout x et ω fix´es, les tenseurs a(x, ω) et b(x, ω) sont tels que :

(i) Ils sont des fonctions paires de ω

(ii) Leur limite quand ω → +∞ est lim

ω→+∞a(x, ω) = g^elas(x) et lim

ω→+∞b(x, ω) = 0 . (iii) Leur propri´et´e de sym´etrie s’´ecrit

a_ijkh(x, ω) = a_jikh(x, ω) = a_ijhk(x, ω) = a_khij(x, ω) , b_ijkh(x, ω) = b_jikh(x, ω) = b_ijhk(x, ω) = b_khij(x, ω) ;

(iv) La propri´et´e d’ellipticit´e des tenseurs est telle que, pour tous tenseurs du second ordre sym´etrique {X_ij}_ij, il existe deux constantes r´eelles positives c₁ et c₂, ind´ependantes de ω, tel que

a_ijkh(x, ω)X_ijX_kh ≥ c₁X_ijX_ij , b_ijkh(x, ω)X_ijX_ij ≥ c₂X_ijX_kh, o`u la convention de sommation sur les indices r´ep´et´es est appliqu´ee.

Relations sur les coefficients visco´elastiques induites par la causalit´e Puisque la relation entre les contraintes σ(u) et les d´eformations ε(u) doit ˆetre causale, alors il est n´ecessaire que les relations entre d’une part σ^elas(u) et ε(u), et d’autre part σ^ve(u) et ε(u), soient causales. Il est ´evident que c’est le cas pour la relation entre σelas(u) et ε(u). Une relation de causalit´e doit donc ˆetre impos´ee entre σve(u) et ε(u), c’est-`a-dire que σve(u) `a un instant t ne d´epend que des valeurs de ε(u) aux instants ult´erieurs t − τ ≤ t. C’est effectivement le cas car gve v´erifie l’Eq. (5.6). Cette ´equation est donc associ´ee avec le principe de causalit´e dans les relations entre les contraintes de Cauchy et les d´eformations dans le domaine temporel. Il est n´ecessaire de r´e´ecrire cette ´equation dans le domaine fr´equentiel. Dans ce cas, on montre (voir le chapitre 3) qu’il existe des relations entre la partie r´eelle_bgve,R

et la partie imaginaire _bgve,I de la transform´ee de Fourier _bgve, que l’on appelle relations de Kramers-Kronig, lesquelles s’´ecrivent

b g^ve,R(x, ω) = ¹ π ^p.v Z +∞ −∞ b gve,I(x, ω⁰) ω − ω0 dω⁰, (5.11) b g^ve,I(x, ω) = −¹ π^p.v Z +∞ −∞ b g^ve,R(x, ω⁰) ω − ω0 dω⁰, (5.12)

ou encore, en utilisant la transform´ee de Hilbert, b

g^ve,R(x, ω) = H{_bg^ve,I, ω} ,

b

g^ve,I(x, ω) = −H{_bg^ve,R, ω} .

Notons que les Eqs. (5.11) et (5.12) sont ´equivalentes, ainsi, il est possible de n’utiliser qu’une seule de ces ´equations. En utilisant les Eqs. (5.10) et (5.11), on d´eduit la relation suivante entre les tenseurs visco´elastiques a(x, ω) et b(x, ω) :

a(x, ω) = a(x, 0) + ^ω π ^p.v Z +∞ −∞ b(x, ω⁰) ω − ω0 dω⁰ , ∀ ω ∈ R . (5.13)

On introduit le tenseur a₀(x, ω) = ωH{b, ω} et l’Eq. (5.13) est r´e´ecrite a(x, ω) = a(x, 0) + a₀(x, ω) .

La loi de comportement du mat´eriau visco´elastique donn´ee par l’Eq. (5.9) en fr´equence est r´e´ecrite

σ(u(x, ω)) = a(x, 0) + a_{b 0}(x, ω) + i ω b(x, ω)
: ε(u(x, ω)) ._b