Discr´ etisation par une m´ ethode des ´ el´ ements finis de fronti` ere

de fronti`ere

6.3.1 Discr´etisation de l’op´erateur d’imp´edance acoustique de

bord

La construction d’un mod`ele num´erique de calcul est d´eduite de la discr´etisation de la forme faible par la m´ethode des ´el´ements finis en utilisant un maillage du bord Γ en triangles. Soient ϕsol

Γ ∈ RNn et ϕ^∗_Γ ∈ RNn les vecteurs des N_nvaleurs nodales de ϕ_Γet ϕ^∗_Γaux N_nnoeuds du maillage. Soit v_Γ ∈ RNe le vecteur des N_e valeurs nodales de v_Γ au barycentres des N_e ´

el´ements du maillage de Γ. On en d´eduit alors que ϕ^sol_Γ et ϕ^∗_Γ sont solutions du syst`eme d’´equations matriciel suivant

 0 [E]ϕ^sol_Γ  = " −[S3(_c^ω f)] ¹₂[E]^T − [S2(_c^ω f)]^T 1 2[E] − [S₂(_c^ω f)] [S₁(_c^ω f)] # ϕ∗ Γ v_Γ  (6.13)

o`u, pour tout ω ∈ [−ω_max, ω_max], les matrices [S₁(_c^ω

f)], [S₂(_c^ω

f)], [S₃(_c^ω

f)] et [E] proviennent de la discr´etisation des formes bilin´eaires s₁, s₂, s₃ et e, et sont respectivement des matrices `a valeurs complexes de dimension Ne×Ne, Ne×Nn, Nn×Nnet Ne×Nn. Par ailleurs, ωmaxest la pulsation angulaire maximale pour laquelle le mod`ele num´erique est valide. Naturellement, la valeur de ω_max d´epend du nombre d’´el´ements N_e du maillage. Plus N_e est grand, plus ωmax est grand. L’´elimination de ϕ^∗_Γ dans l’Eq. (6.13) permet d’obtenir la matrice [BΓ(ω)] de dimension N_e× N_e qui relie le champ de vitesse normale sur Γ au potentiel de vitesse

[E]ψ^sol_Γ (ω) = [BΓ(ω)]vΓ(ω) .

Cette matrice est directement li´ee `a la matrice d’imp´edance acoustique de bord [Z_Γ(ω)], d´efinie comme

[Z_Γ(ω)] = −iωρ_f[B_Γ(ω)] , (6.14)

reliant v_Γ au vecteur p_Γ des valeurs nodales du champ de pression p_Γ au barycentres des ´

el´ements du maillage de Γ.

p_Γ(ω) = [Z_Γ(ω)]v_Γ(ω) .

En s´eparant les parties r´eelle et imaginaire de la matrice d’imp´edance acoustique de bord [Z_Γ(ω)], on obtient, pour tout ω ∈ [−ω_max, ω_max]

[ZΓ(ω)] = [DΓ(ω)] + iω[MΓ(ω)] . (6.15) o`u les matrices [D<sub>Γ</sub>(ω)] et [M<sub>Γ</sub>(ω)] sont r´eelles, [D<sub>Γ</sub>(ω)] est paire par rapport `a ω, sym´etrique et positive `a cause de la condition de radiation de Sommerfeld `a l’infini, comme prouv´e dans [42]. La matrice [M_Γ(ω)] est paire par rapport `a ω et sym´etrique. Afin que la relation entre b

p_Γ et v_Γ soit causale, les matrices [D_Γ(ω)] et ω[M_Γ(ω)] doivent v´erifier les relations K-K, et l’on a [D_Γ(ω)] = ¹ π ^p.v. Z +∞ −∞ ω⁰[MΓ(ω⁰)] ω − ω0 dω⁰ , (6.16)

ω[M_Γ(ω)] = −¹ π ^p.v. Z +∞ −∞ [DΓ(ω⁰)] ω − ω0 dω⁰ . (6.17)

Les Eqs. (6.16) et (6.17) se r´e´ecrivent

[D_Γ(ω)] = H{ω [M_Γ], ω} , ω[MΓ(ω)] = −H{[DΓ], ω} .

6.3.2 Discr´etisation de l’op´erateur d’imp´edance acoustique

Par ailleurs, pour tout vΓ ∈ C0

Γ, pour tout ϕΓ ∈ CΓ et pour tout x ∈ Ωf, on introduit les op´erateurs R₁ et R₂ qui sont d´efinis par

(R₁v_Γ)(x, ω) = e(ϕ_x, v_Γ) , (R₂ϕ_Γ)(x, ω) = e(ϕ_Γ, v_x) , (6.18) o`u les fonctions y 7→ ϕ_x(y) et y 7→ v_x(y) sont respectivement dans C_Γ et C_Γ⁰, et sont telles que, pour tout y ∈ Γ et pour tout x ∈ Ω_f,

ϕ_x(y) = G(x − y) , v_x(y) = ^{∂G(x − y)} ∂n_y ^.

Soit ϕ_x le vecteur des valeurs nodales du champ y 7→ ϕ_x(y) aux noeuds du maillage de Γ et soit v_x le vecteur des valeurs nodales du champ y 7→ v_x(y) aux barycentres des ´el´ements du maillage de Γ. La premi`ere relation de l’Eq. (6.18) discr´etis´ee par la m´ethode des ´el´ements finis permet d’introduire, pour tout x ∈ Ω_f, la matrice [R₁(x, ω)] qui est la discr´etisation num´erique de l’op´erateur R₁ et qui est telle que, pour tout ω ∈ B = [−ω_max, ω_max],

[R₁(x, ω)]v_Γ= v^∗_Γ[E]ϕ_x = ϕ^∗_x[E]^Tv_Γ . (6.19) D’autre part, la seconde relation de l’Eq. (6.18) discr´etis´ee par la m´ethode des ´el´ements finis permet d’introduire, pour tout x ∈ Ω_f, la matrice [R₂(x, ω)] qui est la discr´etisation num´erique de l’op´erateur R₂ et qui est telle que, pour tout ω ∈ B = [−ω_max, ω_max],

[R₂(x, ω)][E]ϕ_Γ = v^∗_x[E]ϕ_Γ . (6.20) On d´eduit des Eqs. (6.19) et (6.20) que les matrices [R₁(x, ω)] et [R₂(x, ω)] s’´ecrivent

[R₁(x, ω)] = ϕ_x(ω)^∗[E]^T , [R₂(x, ω)] = v_x(ω)^∗ .

Soit la matrice d’imp´edance acoustique [Z(x, ω)], construite par discr´etisation num´erique de l’op´erateur d’imp´edance acoustique Z(ω). La discr´etisation num´erique de l’Eq. (6.10) s’´ecrit alors, pour tout ω ∈ B = [−ωmax, ωmax],

p^EF(x, ω) = [Z(x, ω)]vΓ(x, ω) ,

o`u p<sup>EF</sup>(x, ω) est la valeur approch´ee de la pression p(x, ω) calcul´ee par le mod`ele num´erique de calcul. Enfin, la discr´etisation num´erique de l’Eq. (6.12) s’´ecrit

[Z(x, ω)] = −iωρ_f [R₁(x, ω)] − [R₂(x, ω)][B_Γ(ω)]
. o`u, en utilisant les Eqs. (6.14) et (6.15), la matrice [B_Γ(ω)] est r´e´ecrite

[BΓ(ω)] = − ¹

ρ_f^{[MΓ(ω)] +} i

6.4 R´eduction de mod`ele

Dans ce paragraphe, nous construisons le mod`ele num´erique r´eduit pour la matrice [B_Γ(ω)]. Ce dernier n´ecessite une matrice de base [V ] de dimension N_e× N_V avec N_V  N_n, telle que la repr´esentation r´eduite du vecteur vΓ des vitesses normales sur le bord s’´ecrive

v_Γ = [V ]q_V .

On introduit la matrice r´eduite [B_Γ(ω)] d´efinie par, pour tout ω ∈ B = [−ω_max, ω_max], [B_Γ(ω)] = [V ]^∗[B_Γ(ω)][V ] . On a donc [B_Γ(ω)] = − ¹ ρ_f^{[MΓ(ω)] +} i ωρ_f^{[DΓ(ω)] , (6.21)}

avec [D_Γ(ω)] = [V ]^∗[D_Γ(ω)][V ] et [M_Γ(ω)] = [V ]^∗[M_Γ(ω)][V ]. On notera que d’apr`es l’annexe A, ´ecrire les relations de Kramers-Kronig pour la matrice r´eduite [B<sub>Γ</sub>(ω)] est ´equivalent `a les ´ecrire pour la matrice d’imp´edance de bord r´eduite. Par cons´equent, en utilisant les Eqs. (6.16) et (6.17), on a [D_Γ(ω)] = ¹ π ^p.v. Z +∞ −∞ ω⁰[M_Γ(ω⁰)] ω − ω0 dω⁰ , (6.22) ω[M_Γ(ω)] = −¹ π ^p.v. Z +∞ −∞ [D_Γ(ω⁰)] ω − ω0 dω⁰ . (6.23)

Les Eqs. (6.22) et (6.23) se r´e´ecrivent

[DΓ(ω)] = H{ω [MΓ], ω} ,

ω[M_Γ(ω)] = −H{[D_Γ], ω} .

Soit la matrice d’imp´edance acoustique r´eduite [Z(x, ω)], pour tout x ∈ Ω_f et pour tout ω ∈ B = [−ω_max, ω_max] d´efinie par

[Z(x, ω)] = −iωρ_f [R₁(x, ω)][V ] − [R₂(x, ω)][V ][B_Γ(ω)]
.

Il convient de noter que cette matrice d’imp´edance acoustique r´eduite [Z(x, ω)] n’est pas la projection de la matrice d’imp´edance acoustique [Z(x, ω)]. Toutefois, elle permet d’´ecrire l’approximation suivante

Exemple 1 Nous pr´esentons un premier exemple de construction de la matrice de base [V ] qui peut ˆetre utilis´ee dans le cadre d’un probl`eme de acoustique externe. Soit [ΦN

Γ] la matrice dont chaque colonne contient les valeurs de chaque mode propre de vibration du milieu ´elastique occupant le domaine Ω_s (voir Fig. 7.1), aux barycentres des N_e ´el´ements du maillage de Γ. Ces modes propres ´elastiques sont calcul´es pour construire les matrices g´en´eralis´ees de masse, de raideur et d’amortissement de la structure qui est immerg´ee dans le fluide. La construction de cette matrice [Φ^N_Γ] est d´etaill´ee dans le chapitre 7. On note Φ^k_Γ le vecteur des valeurs de la k-i`eme colonne de la matrice [ΦN

Γ], avec k ≤ N . Soit le vecteur Ψ_Γ d´efini par Ψ_Γ = ¹ N N X k=1 Φ^k_Γ.

On introduit la matrice [Ψ] dont la k-i`eme colonne est le vecteur Φk

Γ−Ψ_Γ. La base de r´eduction [V ] est alors construite en utilisant la SVD (Singular Value Decomposition) ”tronqu´ee” de [Ψ], correspondant `a ses N<sub>V</sub> plus grandes valeurs singuli`eres. On a donc

[Ψ] = [V ][S][W ]^∗ , [V ]^∗[V ] = [I_NV] , o`u [I_NV] est la matrice identit´e de dimension N_V × N_V.

Exemple 2 Nous pr´esentons un second exemple de construction de la matrice de base [V ] qui peut ˆetre utilis´ee dans le cadre d’un probl`eme d’acoustique externe. Il est `a noter que cette base n’est pas utilis´ee pour repr´esenter tout vecteur vΓ(ω) correspondant `a la discr´etisation num´erique d’un champ de vitesse quelconque y 7→ v<sub>Γ</sub>(y, ω) ∈ C<sub>Γ</sub><sup>0</sup>. Cette base correspond simplement `a une repr´esentation r´eduite d’un ensemble de vitesses de bord pour lesquelles nous souhaitons ´etudier le probl`eme d’acoustique externe. Soient des vecteurs de chargement vk(ω) donn´es, avec k = 1, . . . , N<sub>u</sub>. Par exemple, on consid`ere le cas o`u Γ est le bord d’un ellipso¨ıde et les vecteurs de chargement vk(ω) sont des harmoniques sph´eriques. Dans un premier temps, l’ensemble des vecteurs de chargement v^k(ω) est centr´e, et on obtient le vecteur v(ω) d´efini par

v(ω) = ¹ N_u Nu X k=1 v^k(ω) . Soit vk

0(ω) = vk(ω) − v(ω). On a alors, pour tout ω ∈ [−ω_max, ω_max], 1 N_u Nu X k=1 v^k₀(ω) = 0 , (6.25)

Soit ω₁, . . . , ω_Nω un ´echantillonage de la bande de fr´equence [−ω_max, ω_max] et soient les vec-teurs v^k_0,1, . . . , v^k_0,Nω et [B_Γ,1], . . . , [B_Γ,Nω] les ´echantillonages fr´equentiels respectifs de v^k₀ et de [B_Γ] tels que vk

0,i = vk

0(ω_i) et [B_Γ,i] = [B_Γ(ω_i)] pour tout i = 1, . . . , N_ω. On note [V_0,i] la matrice r´eelle N_e× N_u dont la k-i`eme colonne est le vecteur vk

0,i. La matrice [Ψ] de dimension N_e× N_uN_ω est construite par le mod`ele num´erique telle que

Soit le vecteur Ψ dont la j-i`eme composante est d´efinie par (Ψ)<sub>j</sub> = <sup>1</sup> N<sub>u</sub>N<sub>ω</sub> NuNω X `=1 [Ψ]_j` .

On a donc, compte tenu de l’Eq. (6.25),

(Ψ)_j = ¹ N_uN_ω Nω X i=1 Ne X h=1 Nu X k=1 [B_Γ,i]_jh[V_0,i]_hk = ¹ N_ω Nω X i=1 Ne X h=1 [B_Γ,i]_jh ¹ N_u Nu X k=1 [V_0,i]_hk ! = ¹ N_ω Nω X i=1 Ne X h=1 [B_Γ,i]_jh ¹ N_u Nu X k=1 (v₀(ω_i))_k ! = 0 .

Le vecteur Ψ ´etant nul, l’approche par POD (Proper Orthogonal Decomposition) est ´ equi-valente `a directement utiliser la SVD ”tronqu´ee” de la matrice [Ψ], correspondant aux NV

plus grandes valeurs singuli`eres. On a alors

[Ψ] = [V ][S][W ]^∗ , [V ]^∗[V ] = [INV] .