Identification stochastique inverse des hyperparam` etres

a nouveau deux mod`eles probabilistes, l’un dit causal, respectant la relation K-K utilis´ee et l’autre, dit na¨ıf, o`u les matrices al´eatoires [M_Γ(ω)] et [D_Γ(ω)] sont consid´er´ees comme ind´ependantes statistiquement, utilis´e comme base de comparaison afin de mettre en ´evidence la n´ecessit´e d’utiliser une mod´elisation respectant la causalit´e du syst`eme.

7.6.1.1 Mod`ele causal

Pour le mod`ele causal, on place la matrice al´eatoire [A_f(ω)] = −^[MΓ(ω)]

ρf + i^[DΓ(ω)] ωρf dans l’ensemble SE^{HT +0}. La matrice de raideur dynamique structurelle [A_s(ω)] reste d´eterministe. 7.6.1.2 Mod`ele na¨ıf

Pour le mod`ele na¨ıf, on utilise les ensembles suivants : 1. La matrice [M_Γ(ω)] dans l’ensemble SE^rect;

2. La matrice [D_Γ(ω)] dans l’ensemble SE⁺⁰;

3. La matrice de raideur dynamique structurelle [A_s(ω)] reste d´eterministe.

7.6.2 Identification stochastique inverse des hyperparam`etres

On pose le probl`eme suivant d’identification stochastique en inverse. Pour une r´eponse cible mesur´ee en acc´el´eration en un nombre n<sub>o</sub> de noeuds d’observation, trouver la valeur des hyperparam`etres tels que la r´eponse al´eatoire du mod`ele stochastique soit aussi proche que possible de la r´eponse cible. Afin de d´efinir ce que l’on entend par ”proche”, on in-troduit plusieurs quantit´es qui permettent de mesurer la distance entre une r´ealisation du mod`ele stochastique et la r´eponse cible. Notons par _bo^{(N )}(ω), bO^{(N )}(ω; δ) et_bo^target(ω) les vec-teurs contenant l’acc´el´eration mesur´ee aux noeuds d’observation pour le mod`ele moyen, le mod`ele stochastique et la r´eponse cible respectivement. le vecteur δ contient les diff´erents hyperparameters du mod`ele stochastique. on introduit les quantit´es vectorielles suivantes

db^{(N )}(ω) = log₁₀(|_bo^{(N )}(ω)|) , dB^{(N )}(ω; δ) = log₁₀(| bO^{(N )}(ω; δ)|) ,

db^target(ω) = log₁₀(|_bo^target(ω)|) .

Ainsi, on peut d´efinir l’erreur stochastique entre la r´eponse cible et la r´eponse du mod`ele stochastique. On introduit la variable al´eatoire `a valeurs positives Q(δ) pour laquelle on

´

ecrit, pour la r´ealisation θ_l

Q(δ; θ_l) =

Z

B

||db^target(ω) − dB^{(N )}(ω; δ; θ_l)||²_µdω . Sa moyenne et son ´ecart-type sont donn´es respectivement par les quantit´es

mean_Q(δ) = E{Q(δ)} ,

std_Q(δ) = {E{Q(δ)²} − mean_Q(δ)²}¹2 .

On introduit ´egalement les r´eels positifs qtarget et qerror qui seront utilis´es pour normaliser la fonction objectif du probl`eme d’optimisation :

q^target = Z B ||dbtarget(ω)||²_µdω , q^error = Z B ||db^target(ω) − db^{(N )}(ω)||²_µdω .

Soit ω → r(ω) une fonction `a valeurs dans Rno. Alors, ||r(ω)||_µ s’´ecrit comme

||r(ω)||_µ= {

no

X

j=0

r_j(ω)²µ_j(ω)}¹2

o`u la fonction µ(ω) est construite de fa¸con `a privil´egier les fr´equences dans la bande d’analyse o`u l’erreur est la plus grande. Dans [58], il est sugg´er´e d’utiliser la fonction suivante

µ_j(ω) = ^ej(ω) max_ω∈B{e_j(ω)} avec

e_j(ω) = 10^dbtargetj (ω)

La valeur optimale δopt de δ par rapport `a la r´eponse cible est la solution du probl`eme de minimisation suivant

δ^opt = argmin_δJfreq(δ) o`u l’on utilise la fonction objectif J_freq propos´ee dans [55]. On a

J_freq(δ) = ^κJ

qtargetmean_Q(δ) + ^{1 − κJ}

ξ_J qtarget|std_Q(δ) − ξ_J q^error| (7.10) o`u κ<sub>J</sub> et ξ<sub>J</sub> sont deux constantes dans l’intervalle [0, 1]. Cette fonction prend en compte `a la fois la distance en moyenne et en ´ecart-type dans des proportions fix´ees par les constantes κ_J et ξJ. Afin de trouver un minimum global de Jfreq, on utilisera dans ce travail un algorithme simple ”grid-search” o`u les valeurs des hyperparam`etres sont discr´etis´es en une grille r´eguli`ere dans leur intervalle [0,

q

N +1

N +5]. La r´eponse du mod`ele stochastique est alors calcul´ee pour chaque valeur discr`ete du vecteur δ pour lesquelles la valeur de la fonction objectif est ´evalu´ee.

Une fois tous les points de la grille ´evalu´es, il est alors ais´e de trouver la valeur de δ pour laquelle un minimum global est atteint. Cette approche est coˆuteuse mais efficace puisque les hyperparam`etres sont contenus dans un intervalle restreint. Cependant, il est possible de substituer cette m´ethode par n’importe quelle autre m´ethode qui am´eliorerait le nombre de fois o`u la r´eponse du mod`ele stochastique doit ˆetre ´evalu´ee, comme par exemple une m´ethode bas´ee sur l’apprentissage probabiliste (probabilistic learning), comme propos´e dans [55], [57] et [58], ou des algorithmes d’optimisation plus traditionnels.

7.6.2.1 Construction de la r´eponse cible

La r´eponse cible utilis´ee dans la simulation pr´esent´ee en application a ´et´e g´en´er´ee comme une r´ealisation du mod`ele na¨ıf avec de forts coefficients de dispersion δ<sub>GD</sub> = δ<sub>GM</sub> = 0.9, choisie pour son ´ecart notable par rapport `a la moyenne statistique d’un ´echantillon restreint de r´ealisations sur la bande de fr´equence d’analyse.

7.6.3 R´esultats et analyse de la propagation des incertitudes

On pr´esente maintenant les r´esultats d’une simulation mettant en oeuvre les deux mod`eles probabilistes d´ecrits ci-dessus. Dans cette simulation, on s’int´eressera au champ de pression sur le bord externe de la structure, dans la bande de fr´equence Bν = [0 , 7000] Hz.

Validation de la m´ethode dans le cas d´eterministe Puisque la m´ethode utilis´ee est la mˆeme que dans l’application et surtout, que l’op´erateur d’imp´edance acoustique de bord sur laquelle la m´ethode est appliqu´ee est celui de la mˆeme fronti`ere solide/fluide, on peut ˆ

etre sˆur que la pr´ecision obtenue dans la reconstitution de la matrice [M_Γ(ω)] sera la mˆeme `

a maillage ´equivalent et `a bande de fr´equence de calcul ´equivalente, ce qui est le cas ici.

Quantification des incertitudes Les hyperparam`etres des deux mod`eles stochastiques causal et na¨ıf ont ´et´e optimis´es par rapport `a la r´eponse cible via la fonction coˆut pr´esent´ee par l’Eq. (7.10) et un algorithme de grid-search. Dans le cas du mod`ele causal, on obtient une valeur pour δ_GD de 0.7426. Pour le mod`ele na¨ıf, on obtient les valeurs δ<sub>GM</sub> = δ<sub>GD</sub> = 0.8912. On notera une plus forte dispersion statistique pour le mod`ele na¨ıf comme premi`ere diff´erence. Les courbes de la fonctionnelle de l’Eq. (7.10) en fonction des hyperparam`etres du mod`ele sont donn´ees par la Fig. 7.5 pour le mod`ele causal et la Fig. 7.6 pour le mod`ele na¨ıf. Afin d’obtenir `

a coup de calcul ´egal de meilleurs r´esultats, on peut envisager d’utiliser des algorithmes d’optimisation bas´es sur des m´ethodes limitant le nombre d’´evaluations de la fonction coˆut, o`u le coˆut calcul r´eside et qui fˆut le facteur limitant dans la simulation pr´esent´ee ici, comme des m´ethodes bas´ees sur l’apprentissage automatique (machine learning) dont les r´ef´erences [55] et [57] traite.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.1 0.102 0.104 0.106 0.108 0.11 0.112 0.114

Figure 7.5 Graphe de la fonctionnelle Jfreq(δ) pour le mod`ele causal.

0.1 0 0.2 0.105 0.4 0.11 0.6 0 0.2 0.8 0.4 0.115 0.6 0.8 1 1

Figure 7.6 Graphe de la fonctionnelle Jfreq(δ) pour le mod`ele na¨ıf.

La r´eponse al´eatoire des deux mod`eles optimis´es vis-`a-vis de la r´eponse cible est montr´ee dans les Figs. 7.7 `a 7.8, pour le mod`ele causal, et dans les Figs. 7.9 `a 7.10 pour le mod`ele na¨ıf, pour une s´election de degr´es de libert´e sur le bord ext´erieur de la structure. Sur ces figures on peut voir l’intervalle de confiance `a 95% en bande jaune, ainsi que la moyenne sta-tistique (ligne verte), la r´eponse d´eterministe (ligne rouge) et la r´eponse cible (ligne noire). On observe des intervalles de confiance sensiblement les mˆemes pour les deux mod`eles, bien que l´eg`erement plus grands pour le mod`ele na¨ıf, en coh´erence avec les plus grands hyper-param`etres calcul´es par l’algorithme d’optimisation. En somme, les deux mod`eles arrivent `a faire co¨ıncider leurs r´esultats avec la r´eponse cible, mais le mod`ele non causal pr´esente une plus grande dispersion statistique `a moyenne semblable, ce qui laisse penser que les moments d’ordre sup´erieurs ne sont pas les mˆemes.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Figure 7.7 Graphe de l’amplitude du d´eplacement au degr´e de libert´e 35 du maillage, pour le mod`ele stochastique causal : intervalle de confiance `a 95% (r´egion jaune), moyenne statistique (ligne verte), r´eponse d´eterministe (ligne rouge) et r´eponse cible (ligne noire). Axe horizontal : fr´equence ν en Hz. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Figure 7.8 Graphe de l’amplitude du d´eplacement au degr´e de libert´e 71 du maillage, pour le mod`ele stochastique causal : intervalle de confiance `a 95% (r´egion jaune), moyenne statistique (ligne verte), r´eponse d´eterministe (ligne rouge) et r´eponse cible (ligne noire). Axe horizontal : fr´equence ν en Hz.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Figure 7.9 Graphe de l’amplitude du d´eplacement au degr´e de libert´e 35 du maillage, pour le mod`ele stochastique na¨ıf : intervalle de confiance `a 95% (r´egion jaune), moyenne statistique (ligne verte), r´eponse d´eterministe (ligne rouge) et r´eponse cible (ligne noire). Axe horizontal : fr´equence ν en Hz. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Figure 7.10 Graphe de l’amplitude du d´eplacement au degr´e de libert´e 71 du maillage, pour le mod`ele stochastique na¨ıf : intervalle de confiance `a 95% (r´egion jaune), moyenne statistique (ligne verte), r´eponse d´eterministe (ligne rouge) et r´eponse cible (ligne noire). Axe horizontal : fr´equence ν en Hz.

Chapitre 8

Conclusions et perspectives

Afin de mod´eliser les incertitudes dans les mod`eles num´eriques physiques, ´etudi´es dans le domaine fr´equentiel, en pr´esence d’une causalit´e de la r´eponse du syst`eme, deux approches ont ´et´e d´evelopp´ees dans ce travail. Une premi`ere approche consistant en la r´esolution directe des relations de Kramers-Kronig a ´et´e pr´esent´ee, avec les d´etails de sa mise en oeuvre num´erique impliquant une int´egration par des m´ethodes standards autour de la singularit´e pr´esente dans les relations K-K, et une prise en compte du comportement haute fr´equence du syst`eme `a travers une r`egle de quadrature exacte pour la mesure induite par la transform´ee de Hilbert. Cette approche permet un calcul pr´ecis des solutions des relations K-K, au prix d’un coˆut num´erique important et de limitations en terme de bande de fr´equence d’analyse. Son efficacit´e a ´et´e illustr´ee `a travers une application en dynamique des structures composites visco´elastiques lin´eaires en pr´esence d’incertitudes non param´etriques, o`u les r´esultats ont ´

et´e compar´es avec une approche ne prenant pas en compte la causalit´e presque sˆurement, ce qui a permis au passage de mettre en ´evidence l’importance d’utiliser une mod´elisation des incertitudes en accord avec le principe de causalit´e. En effet, de grandes diff´erences entre les intervalles de confiance obtenus pour les deux approches ont ´et´e constat´ees.

Dans le but d’am´eliorer la g´en´eralit´e de la premi`ere approche d´evelopp´ee dans ce tra-vail, et de palier aux diff´erentes limitations induites par celle-ci, une seconde approche, utilisant la projection sur une base Hilbertienne des matrices impliqu´ees dans les relations K-K, un sch´ema num´erique efficace bas´e sur l’algorithme de F.F.T. et la prise en compte du comportement asymptotique de ces matrices d´ependantes de la fr´equence, a ´et´e construite et pr´esent´ee, sur le plan th´eorique puis `a travers deux applications. La premi`ere concernait l’acoustique externe et le calcul du champ de pression lointain r´esultant de la vibration d’un objet plong´e dans un fluide acoustique avec une prise en compte des incertitudes non param´etriques sur l’op´erateur d’imp´edance acoustique de bord, et les r´esultats obtenus ont encore une fois montr´e que la prise en compte de la causalit´e changeait radicalement la dispersion statistique du champ de pression lointain observ´e. La seconde application se voulait poser les bases d’un regroupement des deux exemples num´eriques trait´es pr´ec´edemment, en faisant l’´etude vibroacoustique d’un syst`eme structural ´elastique coupl´e `

a un fluide acoustique externe en pr´esence d’incertitudes non param´etriques sur l’op´erateur d’imp´edance acoustique de bord. Sur cette application, les hyperparam`etres du mod`ele stochastique ont ´et´e identifi´es en inverse pour maximiser l’accordance de la pr´ediction de

ce mod`ele stochastique vis-`a-vis d’une r´eponse cible, ici construite num´eriquement mais repr´esentant une mesure exp´erimentale du syst`eme r´eel mod´elis´e.

Les diff´erentes m´ethodes num´eriques utilis´ees dans le travail pr´esent´e, comprenant la discr´etisation aux ´el´ements finis, de fronti`ere ou non, le couplage entre fluide acoustique et structure m´ecanique, la r´eduction des mod`eles num´eriques, l’impl´ementation de l’approche non param´etrique pour la mod´elisation des incertitudes ou encore la r´esolution, directe ou non, des relations K-K, ont toutes ´et´e mises en oeuvres `a travers des codes num´eriques r´ealis´es sp´ecifiquement pour ce travail, en Matlab et C++, ce qui a permis une compr´ehension et une analyse pouss´ees des probl`emes num´eriques intervenant dans la probl´ematique trait´ee, facilitant le d´eveloppement de m´ethodes adapt´ees. L’accent a notamment ´et´e mis sur le contrˆole de la pr´ecision des diff´erents calculs, les algorithmes utilis´es pouvant ˆetre mis en oeuvre `a grande ´echelle. En effet, la finesse du maillage aux ´el´ements finis peut ˆetre augment´ee, la taille de la base de projection utilis´ee pour la r´eduction de mod`ele peut ˆetre agrandie et l’erreur commise lors du calcul des solutions des relations K-K en pr´esence d’information fr´equentielle limit´ee peut ˆetre r´eduite, afin d’obtenir une pr´ecision arbitrai-rement grande dans la limite des capacit´es des machines utilis´ees dans les calculs num´eriques. Le travail de recherche pr´esent´e dans ce manuscrit est novateur sur plusieurs aspects. L’approche probabiliste non param´etrique n’avait jusqu’alors pas ´et´e mise en oeuvre pour des syst`emes pr´esentant une causalit´e sous-jacente. Les m´ethodes num´eriques propos´ees dans ce travail de th`ese pour la prise en compte du principe de causalit´e `a travers les relations de Kramers-Kronig se d´emarquent de l’existant dans la litt´erature, aussi bien que pour la construction des mod`eles num´eriques de calcul d´eterministes que probabilistes pour la prise en compte des incertitudes de mod´elisation et d’´etude de la robustesse de leurs solutions vis `

a vis de ces incertitudes.

Venant compl´eter les travaux effectu´es au cours de ces derni`eres ann´ees sur la mod´elisation non param´etrique des incertitudes en dynamique des structures et en vibroacoustique interne, les applications pr´esent´ees dans ce manuscrit permettent d’envisager une utilisation globale de la mod´elisation non param´etrique des incertitudes pour l’´etude de l’interaction fluide-structure avec des couplages internes comme externes, avec une prise en compte du principe de causalit´e permettant une mod´elisation correcte de mat´eriaux visco´elastiques et de fluides acoustiques. Cependant, des obstacles persistent quant `a l’utilisation des mod`eles stochastiques construits dans ce pr´esent travail dans des applications industrielles haute performance mises en oeuvre `a grande ´echelle. En effet, les syst`emes vibroacoustiques r´eels peuvent pr´esenter des non lin´earit´es, de nature g´eom´etrique, pour la prise en compte des grandes d´eformations de la structure et des vibrations de grande amplitude des fluides, ou bien mat´erielle, pour la mod´elisation de mat´eriaux, potentiellement composites, visco´elastiques complexes. La prise en compte de ces ph´enom`enes non lin´eaires implique d’abandonner l’´etude purement fr´equentielle des syst`emes physiques en jeu, et n´ecessite l’utilisation de formulations temporelles. Les relations de causalit´e r´egissant le syst`eme ´etudi´e doivent alors ˆetre ´etablies avec pr´ecaution et trait´ees avec des m´ethodes qu’il convient de d´evelopper, bien que celles-ci pourront s’appuyer sur les diff´erents ´el´ements et les approches pr´esent´ees dans ce travail de th`ese.

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