Construction des mod` eles probabilistes pour les incertitudes en acoustique

in-certitudes en acoustique externe

6.7.1 Mod`ele causal

En utilisant les ensembles de matrices aléatoires présentés dans le chapitre 2, on construit deux modèles probabilistes, l’un dit causal, respectant la relation K-K utilisée presque sûrement, et l’autre, dit na¨ıf, où les matrices aléatoires [M_Γ(ω)] et [D_Γ(ω)] sont considérées comme indépendantes statistiquement. Dans ce dernier cas, les relations de K-K ne sont vérifiées que pour le modèle moyen. Cela ne garantit en rien que la réponse moyenne du

modèle ”na¨ıf” soit causal. Seule la réponse du modèle moyen est causale dans le cas de l’approche ”na¨ıve”. Le but est de quantifier, dans les résultats numériques, l’influence de la causalité sur la réponse aléatoire du système numérique et ainsi de quantifier s’il est indis-pensable ou pas d’utiliser une modélisation stochastique appropriée et mathématiquement fondée, à savoir causale, pour éviter de grandes erreurs sur la propagation des incertitudes dans le système ou, dans le cas contraire, si l’approche ”na¨ıve” serait une approximation satis-faisante. Pour le modèle causal, on prend la matrice aléatoire [C(ω)] = −ω[M_Γ(ω)]+i [D_Γ(ω)] dans l’ensemble SE^{HT +0} et la matrice aléatoire [D_Γ(ω)] est prise dans l’ensemble de matrice aléatoires SE⁺⁰.

6.7.2 Mod`ele na¨ıf

Pour le mod`ele na¨ıf, on utilise les ensembles suivants :

1. La matrice [M_Γ(ω)] dans l’ensemble SE^rectcar nous n’avons pas connaissance d’aucune propriété algébrique concernant cette matrice ;

2. La matrice [D_Γ(ω)] dans l’ensemble SE⁺⁰;

6.8 R´esultats et analyse de la propagation des

incerti-tudes

On présente maintenant les résultats d’une simulation mettant en oeuvre les deux modèles probabilistes décrits ci-dessus en utilisant la méthode numérique décrite au chapitre 4 pour construire des réalisations indépendantes de la matrice aléatoire [C(ω)] ∈ SE^{HT +0}.

6.8.1 Validation de la m´ethode dans le cas d´eterministe

Afin de valider la méthode présentée dans ce chapitre, on s’intéresse à la reconstitution par cette méthode de la matrice [M_Γ(ω)]. Pour cela, on compare la norme de Frobenius de la matrice reconstituée à celle de la référence calculée sans transformée de Hilbert, pour différentes bandes de fréquences de calcul, à savoir [0, 4700] Hz, puis [0, 7050] Hz et enfin [0, 14100] Hz. On regarde également les résultats obtenus avec et sans l’utilisation du com-portement asymptotique tel que cela a été présenté dans ce chapitre.

La Fig. 6.9 montre la fonction ν 7→ ||[M_Γ(2πν)]||_F pour la référence (ligne noire) et pour la méthode de projection (croix rouges), en utilisant la bande de fréquence de calcul [0, 4700] Hz. La Fig. 6.10 montre les mêmes courbes lorsque le comportement asymptotique est utilisé. La Fig. 6.11 montre la fonction ν 7→ ||[M_Γ(2πν)]||_F pour la référence (ligne noire) et pour la méthode de projection (croix rouges), en utilisant la bande de fréquence de calcul [0, 7050] Hz. La Fig. 6.12 montre les mêmes courbes lorsque le comportement asymptotique est utilisé. La Fig. 6.13 montre la fonction ν 7→ ||[M_Γ(2πν)]||_F pour la référence (ligne noire) et pour la méthode de projection (croix rouges), en utilisant la bande de fréquence de calcul [0, 14100] Hz. La Fig. 6.14 montre les mêmes courbes lorsque le comportement asymptotique est utilisé. L’apport de l’usage du comportement asymptotique est clairement mis en évidence. On voit

egalement qu’une précision correcte est atteinte pour la bande de fréquence de calcul de [0, 7050] Hz, qui est celle qui sera utilisée pour le reste de la simulation.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 10⁰

10¹ 10²

Figure 6.9 Graphe de ν 7→ ||[MΓ(2πν)]||_F pour la référence (ligne noire) et pour la méthode de projection (croix rouges) avec utilisation de la bande de fréquence de calcul [0, 4700] Hz et sans utilisation du comportement asymptotique. Axe horizontal : fréquence ν en Hz.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 10⁰

10¹ 10²

Figure 6.10 Graphe de ν 7→ ||[MΓ(2πν)]||_F pour la référence (ligne noire) et pour la méthode de projection (croix rouges) avec utilisation de la bande de fréquence de calcul [0, 4700] Hz et utilisation du comportement asymptotique. Axe horizontal : fréquence ν en Hz.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 10⁰

10¹ 10²

Figure 6.11 Graphe de ν 7→ ||[MΓ(2πν)]||_F pour la référence (ligne noire) et pour la méthode de projection (croix rouges) avec utilisation de la bande de fréquence de calcul [0, 7050] Hz et sans utilisation du comportement asymptotique. Axe horizontal : fréquence ν en Hz.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 10⁰

10¹ 10²

Figure 6.12 Graphe de ν 7→ ||[MΓ(2πν)]||_F pour la référence (ligne noire) et pour la méthode de projection (croix rouges) avec utilisation de la bande de fréquence de calcul [0, 7050] Hz et utilisation du comportement asymptotique. Axe horizontal : fréquence ν en Hz.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 10⁰

10¹ 10²

Figure 6.13 Graphe de ν 7→ ||[MΓ(2πν)]||_F pour la référence (ligne noire) et pour la méthode de projection (croix rouges) avec utilisation de la bande de fréquence de calcul [0, 14100] Hz et sans utilisation du comportement asymptotique. Axe horizontal : fréquence ν en Hz.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 10⁰

10¹ 10²

Figure 6.14 Graphe de ν 7→ ||[MΓ(2πν)]||_F pour la référence (ligne noire) et pour la méthode de projection (croix rouges) avec utilisation de la bande de fréquence de calcul [0, 14100] Hz et utilisation du comportement asymptotique. Axe horizontal : fréquence ν en Hz.

Pour finir la validation de la méthode proposée, on regarde le champ de pression déterministe obtenu en un point lointain de l’objet. On choisit comme point d’observation celui situé en x1 =(-15.8 m, 25.5 m, 0 m) et on regarde le champ obtenu pour la référence et pour la méthode de projection avec la bande de calcul sélectionnée précédemment. La

Fig. 6.15 montre donc le champ de pression en x₁ pour la référence (ligne noire) et pour la méthode de projection (croix rouges) sur la bande de fréquence d’analyse. On observe une bonne correspondance entre la référence et le calcul par la méthode proposée. Afin de mieux visualiser le champ de pression obtenu, on montre également dans les Figs. 6.16 et 6.17 une coupe du champ extérieur de pression autour de l’ellipso¨ıde à la fréquence ν = 2197 Hz. La Fig. 6.16 montre le champ de référence et la Fig. 6.17 montre le résultat de la méthode de projection. Ces figures mettent bien en évidence que le champ de pression autour de l’objet est reconstitué avec précision.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 90 100 110 120 130 140 150

Figure 6.15 Champ de pression déterministe en fonction de la fréquence obtenu au point x₁ =(-15.8 m, 25.5 m, 0 m) pour la référence (ligne noire) et pour la méthode de projection (croix rouges). Axe horizontal : fréquence ν en Hz.

Figure 6.16 Coupe du champ ext´erieur de pression autour de l’ellipso¨ıde dans le plan e₁-e₂ `

a la fréquence ν = 2197 Hz pour la référence.

Figure 6.17 Coupe du champ ext´erieur de pression autour de l’ellipso¨ıde dans le plan e1-e2

6.8.2 Quantification des incertitudes

La méthode numérique de Monte Carlo est utilisée pour résoudre les problèmes stochas-tiques présentés dans le paragraphe 6.7, permettant de comparer les résultats obtenus pour le modèle na¨ıf et pour le modèle causal. Tout d’abord, on met en évidence une différence au niveau de la dispersion statistique observée sur la matrice d’impédance acoustique de bord [ZΓ(ω)] en tra¸cant son coefficient de dispersion δZ en fonction de la fréquence pour les deux modèles. Le résultat est montré sur la Fig. 6.18, avec le modèle causal (noir) et le modèle na¨ıf (rouge). Pour obtenir cette courbe, on a utilisé, pour le modèle causal comme pour le modèle na¨ıf, des hyperparamètres controllant la dispersion tous égaux à 0.5.

Figure 6.18 Graphe de ν 7→ δZ(ν) pour le modèle stochastique causal (noir) et le modèle stochastique na¨ıf (rouge). Axe horizontal : fréquence ν en Hz.

On présente maintenant quelques résultats obtenus en mesurant le champ de pression aléatoire au point (10r₁,0,0) pour différentes valeurs de la fréquence dans la bande de fréquence d’analyse. Sur la Fig. 6.19, on peut voir la densité de probabilité de l’amplitude de la pression mesurée à ν = 757 Hz pour le modèle na¨ıf (ligne noire) et pour le modèle causal (ligne bleue). La Fig. 6.20 montre la même mesure effectuée à la fréquence ν = 2616 Hz. Ces deux figures mettent en évidence le fait que pour certaines fréquences, les deux modèles co¨ıncident au niveau de la réponse aléatoire, alors que pour d’autres fréquences, des différences notables sont observées.

123 123.5 125 125.5 126 126.5 128 0 0.2 0 0.6 0.8 1 1.2

Figure 6.19 Densité de probabilité de l’amplitude de la pression mesurée à ν = 757 Hz pour le modèle stochastique causal (ligne bleue) et pour le modèle stochastique na¨ıf (ligne noire).

0 0.2 0.6 0.8 1 1.2

Figure 6.20 Densité de probabilité de l’amplitude de la pression mesurée à ν = 2616 Hz pour le modèle stochastique causal (ligne bleue) et pour le modèle stochastique na¨ıf (ligne noire).

Afin de mieux observer les queues de distributions, on présente le même type de résultat où la densité de probabilité est tracée en échelle logarithmique. Sur la Fig. 6.21, on peut voir la densité de probabilité de l’amplitude de la pression mesurée à ν = 1324 Hz pour le modèle na¨ıf (ligne noire) et pour le modèle causal (ligne bleue). La Fig. 6.22 montre la même mesure effectuée à la fréquence ν = 3956 Hz. Les deux figures mettent en évidence encore une fois le

fait que les deux mod`eles co¨ıncident pour certaines fr´equences, mais pas pour d’autres. 138 138.5 ! !" # $ % $% " # $ 10^-5 10& ' 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹

Figure 6.21 Densité de probabilité en échelle logarithmique de l’amplitude de la pression mesurée à ν = 1324 Hz pour le modèle stochastique causal (ligne bleue) et pour le modèle stochastique na¨ıf (ligne noire).

130 132 134 136 138 140 142 10^-6 10^-5 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰

Figure 6.22 Densité de probabilité en échelle logarithmique de l’amplitude de la pression mesurée à ν = 3956 Hz pour le modèle stochastique causal (ligne bleue) et pour le modèle stochastique na¨ıf (ligne noire).

Pour compléter ces résultats par des figures plus visuelles, on va montrer le champ de pression lointain aléatoire obtenu pour les deux modèles à travers des courbes de directivité,

des courbes de pression angulaire et des coupes de la moyenne et de la variance du champ de pression dans un plan. L’angle d’observation est noté pour ces courbes par θ. La Fig. 6.23 montre la courbe de directivité dep(θ; 2πν) `_b a la fréquence ν = 322 Hz où on voit les intervalles de confiance à 95%, pour le modèle causal (bleu) et le modèle na¨ıf (lignes pointillées noires) ainsi que le résultat du modèle déterministe moyen (ligne rouge). La Fig. 6.24 montre la même courbe à la fréquence ν = 1442 Hz. On peut à nouveau voir grâce aux Figs. 6.23 et 6.24 que parfois les modèles causal et na¨ıf donnent des résultats similaire, mais qu’à contrario ils exhibent à certaines fréquences des différences notables.

-100 -50 0 50 100 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Figure 6.23 Courbe de directivité du champ de pression à la fréquence ν = 322 Hz. Intervalle de confiance à 95% pour le modèle stochastique causal (région bleue) et pour le modèle stochastique na¨ıf (lignes pointillées noires), modèle déterministe moyen (ligne rouge).

-100 -50 0 50 100 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Figure 6.24 Courbe de directivité du champ de pression à la fréquence ν = 1442 Hz. Intervalle de confiance à 95% pour le modèle stochastique causal (région bleue) et pour le modèle stochastique na¨ıf (lignes pointillées noires), modèle déterministe moyen (ligne rouge).

Les Figs. 6.25 à 6.28 présentent des courbes de pression angulaire θ 7→ _bp(θ; 2πν) aux fréquences ν = 2065 Hz, ν = 3582 Hz, ν = 980 Hz et ν = 4156 Hz respectivement. On y observe des fréquences pour lesquelles les deux modèles se recoupent et d’autres pour lesquelles les résultats ne sont pas semblables. En outre, les Figs. 6.25 et 6.27 montrent que, dans le cadre du modèle causal, le modèle déterministe moyen n’est pas robuste aux incertitudes puisque la réponse en pression déterministe sort complètement de l’intervalle de confiance de la réponse aléatoire.

0 1 2 3 4 5 6 7 90 100 110 120 130 140 150

Figure 6.25 Courbe de pression angulaire θ 7→ bp(θ; 2πν) à la fréquence ν = 2065 Hz. Intervalle de confiance à 95% pour le modèle stochastique causal (région bleue) et pour le modèle stochastique na¨ıf (lignes pointillées noires), modèle déterministe moyen (ligne rouge).

0 1 2 3 4 5 6 7 120 125 130 135 140 145 150

Figure 6.26 Courbe de pression angulaire θ 7→ bp(θ; 2πν) à la fréquence ν = 3582 Hz. Intervalle de confiance à 95% pour le modèle stochastique causal (région bleue) et pour le modèle stochastique na¨ıf (lignes pointillées noires), modèle déterministe moyen (ligne rouge).

0 1 2 3 4 5 6 7 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135

Figure 6.27 Courbe de pression angulaire θ 7→p(θ; 2πν) `b a la fréquence ν = 980 Hz. Intervalle de confiance à 95% pour le modèle stochastique causal (région bleue) et pour le modèle stochastique na¨ıf (lignes pointillées noires), modèle déterministe moyen (ligne rouge).

0 1 2 3 4 5 6 7 115 120 125 130 135 140 145 150

Figure 6.28 Courbe de pression angulaire θ 7→ bp(θ; 2πν) à la fréquence ν = 4156 Hz. Intervalle de confiance à 95% pour le modèle stochastique causal (région bleue) et pour le modèle stochastique na¨ıf (lignes pointillées noires), modèle déterministe moyen (ligne rouge). Enfin, on présente des coupes du champ de pression aléatoire autour de l’ellipso¨ıde à plusieurs valeurs de la fréquence. Pour visualiser cela, on choisit de montrer la moyenne statistique du champ de pression ou sa variance.

e₁-e₂ pour le modèle causal (Fig. 6.29) et pour le modèle na¨ıf (Fig. 6.30) à la fréquence ν = 3406 Hz.

Les Figs. 6.31 et 6.32 montrent la moyenne statistique du champ de pression dans le plan e₁-e₂ pour le modèle causal (Fig. 6.31) et pour le modèle na¨ıf (Fig. 6.32) à la fréquence ν = 2197 Hz.

Les Figs. 6.33 et 6.34 montrent la variance du champ de pression dans le plan e₁-e₂ pour le modèle causal (Fig. 6.33) et pour le modèle na¨ıf (Fig. 6.34) à la fréquence ν = 3074 Hz. Les Figs. 6.35 et 6.36 montrent la variance statistique du champ de pression dans le plan e₁-e₂ pour le modèle causal (Fig. 6.35) et pour le modèle na¨ıf (Fig. 6.36) à la fréquence ν = 1562 Hz.

Figure 6.29 Coupe de la moyenne statistique du champ extérieur de pression autour de l’ellipso¨ıde dans le plan e₁-e₂ à la fréquence ν = 3406 Hz pour le modèle stochastique causal.

Figure 6.30 Coupe de la moyenne statistique du champ extérieur de pression autour de l’ellipso¨ıde dans le plan e1-e2 à la fréquence ν = 3406 Hz pour le modèle stochastique na¨ıf.

Figure 6.31 Coupe de la moyenne statistique du champ extérieur de pression autour de l’ellipso¨ıde dans le plan e₁-e₂ à la fréquence ν = 2197 Hz pour le modèle stochastique causal.

Figure 6.32 Coupe de la moyenne statistique du champ extérieur de pression autour de l’ellipso¨ıde dans le plan e1-e2 à la fréquence ν = 2197 Hz pour le modèle stochastique na¨ıf.

Figure 6.33 Coupe de la variance du champ extérieur de pression autour de l’ellipso¨ıde dans le plan e₁-e₂ à la fréquence ν = 3074 Hz pour le modèle stochastique causal.

Figure 6.34 Coupe de la variance du champ extérieur de pression autour de l’ellipso¨ıde dans le plan e1-e2 à la fréquence ν = 3074 Hz pour le modèle stochastique na¨ıf.

Figure 6.35 Coupe de la variance du champ extérieur de pression autour de l’ellipso¨ıde dans le plan e₁-e₂ à la fréquence ν = 1562 Hz pour le modèle stochastique causal.

Figure 6.36 Coupe de la variance du champ extérieur de pression autour de l’ellipso¨ıde dans le plan e1-e2 à la fréquence ν = 1562 Hz pour le modèle stochastique na¨ıf.

Chapitre 7

Application `a la vibroacoustique

lin´eaire externe

Figure 7.1 Schéma du problème de vibroacoustique linéaire externe

On considère cette fois un solide élastique creux plongé dans un fluide acoustique s’étendant infiniment autour dans un domaine non borné Ω_f. L’objet entre en vibrations suite à des sollicitations sur son bord interne, qui sont alors couplées à la propagation d’ondes acoustiques dans le milieu fluide externe.

7.1 Mise en ´equations

7.1.1 Equations d’´equilibre et conditions aux limites

Soit Ω = R³ l’espace tridimensionnel euclidien de base orthonormale (e₁, e₂, e₃) où le vecteur position est noté x = (x₁, x₂, x₃). Cet espace est tel que Ω_s ∪ Ω_i ∪ Ω_f = Ω où Ω_s est un domaine occupé par une structure constituée d’un matériau homogène linéaire ´

elastique de masse volumique ρ_s, Ω_i est le volume vide intérieur à la structure et Ω_f est un domaine infini occupé par un fluide acoustique de masse volumique ρ_f et où la célérité des ondes est c_f. La frontière externe entre Ω_s et Ω_f est notée Γ, dont une partie notée Γ_u re¸coit les conditions de Dirichlet, et sa normale extérieure par rapport à Ω_s est notée n_Γ(x). La frontière interne entre Ω_set Ω_i est notée γ et sa normale extérieure par rapport à Ω_s est notée n_γ(x). Dans Ω_s, on a dx = dx₁dx₂dx₃ le volume élémentaire. Dans le domaine fréquentiel, le problème aux limites considéré s’écrit, pour tout ω dans la bande fréquentielle d’analyse [−ω_max, ω_max],

−ω²ρs_bu(x, ω) = div σ(_bu(x, ω)) , dans Ωs (7.1) σ(_bu(y, ω)).n_γ(y) = bf_s(y, ω) , sur γ (7.2)

u(y, ω) = 0 , sur Γ_u (7.3)

σ(_bu(y, ω)).n_Γ(y) = − Z_Γv_Γ(y, ω).n_Γ(y) , sur Γ (7.4) où v_Γ(y, ω) = iωu(y, ω).n_b _Γ(y), le vecteur déplacement est noté _bu, σ est le tenseur des contraintes de Cauchy du second ordre, bf_s est la transformée de Fourier du vecteur de forces surfaciques appliquées à la frontière interne γ et Z_Γ est l’opérateur d’impédance acoustique de bord de la surface extérieure Γ (voir chapitre 6).

7.1.2 Loi de comportement ´elastique pour le domaine Ω

Dans le domaine Ωs, le solide élastique est considéré homogène élastique linéaire. On a donc, pour tout x ∈ Ω_s

σ(u(x, ω)) = C_b _elas: ε(u(x, ω))_b (7.5) où C_elas est le tenseur d’élasticité du quatrième ordre et ε(_bu(x, ω)) est le tenseur des déformations linéarisé du second ordre

ε_pq(_bu(x, ω)) = ¹ 2 ∂_bu_p(x, ω) ∂x_q ⁺ ∂u_b_q(x, ω) ∂x_p . (7.6)

7.1.3 Formulation faible

Un modèle numérique de calcul sera construit pour résoudre le problème aux limites défini par les Eqs. (7.1), (7.2), (7.4), (7.5) et (7.6). Pour cela il est nécessaire de donner la formulation faible de ce problème. On introduit Cad l’ensemble des fonctions H¹(Ωs, C³) qui sont cinématiquement admissibles (qui vérifient donc l’Eq. (7.3)). La formulation faible de

ce probl`eme est donn´ee dans [43] : trouver u dans C_b _ad tel que pour tout v ∈ C_ad on a, pour tout ω ∈ [−ω_max, ω_max],

a_s(_bu, v; ω) − ω²a_f(_bu, v; ω) = f (v; ω)

où a_s est la forme sesquilinéaire associée à la raideur dynamique de la structure, a_f est la forme sesquilinéaire associée à la raideur dynamique du fluide et f est la forme antilinéaire associée aux forces telles que

a_s(u, v; ω) = −ω_b ²m_s(_bu, v) + k_s(_bu, v) , −ω2a_f(u, v; ω) =_b

(v.n_Γ) Z_Γv_Γds(y) avec v_Γ(y, ω) =u(y, ω).n_b _Γ(y) f (v; ω) =

bf_s(y, ω).v ds(y) ,

où m_s et k_ssont les formes sesquilinéaires de masse et de raideur respectivement, définies sur C_ad par m_s(_bu, v) = Z Ωs ρ_s_bu.v dx , k_s(u, v) =_b Z Ωs {C_elas: ε(u)} : ε(v) dx ,_b

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