Mod ´eliser et simuler les syst `emes lin ´eaires continus invariants.

Mod ´eliser et simuler les syst `emes lin ´eaires continus invariants.

CI-SCLI-1 Comparer les r ´esultats des simulations num ´eriques aux r ´esultats exp ´erimentaux.

Lyc´ee Carnot (Dijon), 2021 - 2022

J-P Vincent, G. Gondor et A. Maire du Poset

Objectif

Le cours pr ´esente la mod ´elisation d’un moteur ´electrique `a partir des

´equations de la physique. Il s’agit de mod `eles de connaissance.

L’objectif du Tp r ´eside dans l’implantation de ces mod `eles de

connaissances dans Scilab et dans l’ ´etude de performances li ´ees au syst `eme.

Pr ´esentation : La chirurgie endoscopique

Sommaire

1 Pr ´esentation : La chirurgie endoscopique La chirurgie endoscopique manuelle La chirurgie endoscopique robotis ´ee Evolution du robot esclave

2 Pr ´esentation de la chaˆıne fonctionnelle ´etudi ´ee

3 Asservissement en position du moto-r ´educteur

4 Validation de la chaˆıne compl `ete de positionnement de l’instrument

Pr ´esentation : La chirurgie endoscopique

Les avanc ´ees technologiques dans le domaine de la chirurgie per- mettent actuellement de r ´ealiser des op ´erations de tr `es grande complexit ´e (chirurgie cardiaque, digestive, urologique etc.) avec des avantages pour le patient qui proviennent de la limitation des zones de dissection, ce qui r ´eduit consid ´erablement le traumatisme op ´eratoire.

Plusieurs ´etapes ont ´et ´e franchies lors de la mise au point des solu- tions limitant l’ ´etendue des incisions dans le corps du patient, et per- mettant n ´eanmoins au chirurgien l’acc `es jusqu’aux organes `a soigner ; ces ´etapes sont pr ´esent ´ees ci-dessous.

Pr ´esentation : La chirurgie endoscopique

Les avanc ´ees technologiques dans le domaine de la chirurgie per- mettent actuellement de r ´ealiser des op ´erations de tr `es grande complexit ´e (chirurgie cardiaque, digestive, urologique etc.) avec des avantages pour le patient qui proviennent de la limitation des zones de dissection, ce qui r ´eduit consid ´erablement le traumatisme op ´eratoire.

Plusieurs ´etapes ont ´et ´e franchies lors de la mise au point des solu- tions limitant l’ ´etendue des incisions dans le corps du patient, et per- mettant n ´eanmoins au chirurgien l’acc `es jusqu’aux organes `a soigner ; ces ´etapes sont pr ´esent ´ees ci-dessous.

Pr ´esentation : La chirurgie endoscopique La chirurgie endoscopique manuelle

La premi `ere ´etape est l’utilisation de micro-instruments (voir photo- graphies 1, 2 et 3 ci-dessous) :

Photo 1 : chirurgie endoscopique

manuelle Photo 2 : instrument

chirurgical ”pince”

Photo 3 :Outil ”pince”

Pr ´esentation : La chirurgie endoscopique La chirurgie endoscopique manuelle

Il s’agit d’utiliser des outils chirurgicaux de tr `es petite taille, plac ´es

`

a l’extr ´emit ´e de tiges tubulaires tenues par le chirurgien ; la partie inf ´erieure des tiges est ins ´er ´ee dans la zone `a traiter, `a travers trois petits orifices r ´ealis ´es dans le corps du patient (entre les c ˆotes par exemple pour une chirurgie cardiaque).

Ces outils chirurgicaux sont actionn ´es par un syst `eme de c ˆables fins qui passent `a l’int ´erieur des tiges tubulaires et sont command ´es par le chirurgien `a l’aide de leviers plac ´es sur la partie sup ´erieure des tiges.

Dans la suite du sujet, l’ensemble ”outil chirurgical + tige + leviers de commande” sera nomm ´e plus simplement ”Instrument chirurgical”.

Pr ´esentation : La chirurgie endoscopique La chirurgie endoscopique manuelle

Les instruments sont en g ´en ´eral au nombre de trois : une pince, un scalpel et un support de cam ´era miniature (instrument ”endoscope”) qui permet au chirurgien de visualiser la zone de travail `a l’int ´erieur du corps du patient.

Pour faciliter le passage de chaque outil `a travers les orifices r ´ealis ´es dans le corps du patient, on utilise un guide ou ”trocart” fix ´e sur la peau (voir figure 6).

Pr ´esentation : La chirurgie endoscopique La chirurgie endoscopique manuelle

Un nouveau pas a ´et ´e franchi autour des ann ´ees 1990 lorsqu’une

´equipe chirurgicale utilisa trois robots `a actionneurs ´electriques pour positionner et commander chacun des trois instruments. Le chirurgien est alors plus confortablement install ´e devant un poste de commande et de contr ˆole (Photo 4) pour commander `a distance les robots et donc les outils chirurgicaux.

Ce poste nomm ´e ”console” contient :

• les dispositifs d’acquisition des mouvements du chirurgien,

• un ´ecran vid ´eo pour le retour d’image provenant de l’endoscope,

• un ´ecran de contr ˆole du syst `eme informatique.

Pr ´esentation : La chirurgie endoscopique La chirurgie endoscopique manuelle

Les trois robots appel ´es ”robots esclaves” (photo 5) portent les instru- ments, dont l’endoscope.

Photo 4 : chirurgie robo- tis ´ee - la console

Photo 5 : les trois robots esclaves

Pr ´esentation : La chirurgie endoscopique La chirurgie endoscopique manuelle

Outre le confort op ´eratoire pour le chirurgien, le principal avantage du syst `eme robotis ´e est de permettre le traitement des ordres g ´en ´er ´es par la console, avant que ceux-ci ne soient transmis aux robots esclaves.

On peut par exemple utiliser ce traitement pour

• limiter les d ´ebattements des outils,

• filtrer les mouvements vibratoires,

• changer d’ ´echelle et permettre des d ´eplacements infinit ´esimaux.

Pr ´esentation : La chirurgie endoscopique Evolution du robot esclave

Les recherches men ´ees `a partir des ann ´ees 2000 portent sur une structure de robot esclave, qui permet d’am ´eliorer la pr ´ecision des mouvements op ´eratoires.

Le robot objet de cette ´etude est un prototype d ´emonstrateur de la faisabilit ´e des concepts.

Le sujet propos ´e reprend certaines des d ´emarches des ing ´enieurs qui ont d ´evelopp ´e le prototype de robot appel ´e ”EndoXirob” ou ”robot pour la chirurgie endoscopique”. Ce robot a ´et ´e pr ´esent ´e pour la premi `ere fois en 2002 au ”Salon International des Techniques et Energies du Futur” de Toulouse.

Une repr ´esentation de ce robot est fournie ci-dessous en figure 6 page suivante.

Pr ´esentation : La chirurgie endoscopique Evolution du robot esclave

Figure 6 :La structure du robot esclave ”EndoXi- rob”

Photo 7 :la plaque d’interface entre le bras et l’instrument

Pr ´esentation : La chirurgie endoscopique Evolution du robot esclave

Sur l’extr ´emit ´e du bras de robot, les instruments chirurgicaux sont interchangeables. L’ ´echange d’instruments doit pouvoir s’effectuer rapidement pendant l’utilisation du robot.

Le choix technologique des ing ´enieurs a ´et ´e de placer les actionneurs

´electriques de l’outil chirurgical non pas sur l’instrument lui-m ˆeme, mais sur la structure du robot ; ce choix a conduit `a la conception d’une interface m ´ecanique sp ´ecifique, `a poussoirs, permettant le transfert des actions de commande des actionneurs vers l’outil chirurgical.

La photo 7 montre la plaque d’extr ´emit ´e du bras de robot, sur laquelle l’instrument chirurgical vient se positionner et se fixer ; des ouvertures usin ´ees permettent le passage des poussoirs.

Le diagramme d’analyse fonctionnelle SADT d’une seule chaˆıne de commande d’un robot esclave est pr ´esent ´e figure 8 ci-apr `es.

Pr ´esentation de la chaˆıne fonctionnelle ´etudi ´ee

Sommaire

1 Pr ´esentation : La chirurgie endoscopique

2 Pr ´esentation de la chaˆıne fonctionnelle ´etudi ´ee Introduction

Cahier des charges

Structure de la partie op ´erative Structure de la commande en position

3 Asservissement en position du moto-r ´educteur

4 Validation de la chaˆıne compl `ete de positionnement de l’instrument

Pr ´esentation de la chaˆıne fonctionnelle ´etudi ´ee Introduction

L’ ´etude men ´ee dans cette partie consiste `a valider le choix des composants du robot qui permettent de respecter les niveaux des crit `eres associ ´es `a la fonction de service ”Permettre `a l’instrument chirurgical de se mouvoir avec des performances dynamiques com- parables ou meilleures que celles r ´ealis ´ees par un chirurgien humain ”.

Un sch ´ema de principe donne ci- contre la structure du m ´ecanisme permettant le d ´eplacement de l’instrument chirurgical.

L’ ´etude sera effectu ´ee unique- ment pour l’axe ”d’ ´el ´evation” se- lonZ1.

Pr ´esentation de la chaˆıne fonctionnelle ´etudi ´ee Introduction

On donne ci-apr `es un extrait du cahier de charges fonctionnel du syst `eme.

Crit `eres associ ´es `a la fonc- tion

Niveaux

Pr ´ecision Ecart statique≤0,2 mm

Retard de traˆınage ≤ 0,1 s pour une rampe `a 0,1 m/s

Rapidit ´e Temps de r ´eaction `a 5% du mo- teur≤100 ms

Pr ´esentation de la chaˆıne fonctionnelle ´etudi ´ee Structure de la partie op ´erative

Figure 9 : chaˆıne cin ´ematique simplifi ´ee de l’axe d’ ´el ´evation

Pr ´esentation de la chaˆıne fonctionnelle ´etudi ´ee Structure de la partie op ´erative

L’actionneur est un moto-r ´educteur (1) `a courant continu Gammatic n^◦RH-8D-6006.

Le premier ´etage de transmission du mouvement se fait par une courroie crant ´ee (2) qui s’enroule sur des poulies de m ˆeme diam `etre pour entraˆıner l’arbre interm ´ediaire (3) `a la m ˆeme vitesse que le moteur.

Une roue dent ´ee (3’) de diam `etre primitif 1 = 38,4 mm solidaire de l’arbre interm ´ediaire (3) engr `ene avec une cr ´emaill `ere (4) solidaire de la partie sup ´erieure mobile du robot. Cette cr ´emaill `ere est guid ´ee en translation suivant l’axe Z1 par rapport `a la partie inf ´erieure du robot consid ´er ´ee comme fixe dans cette partie du sujet, et not ´ee ” B ˆati ”. Un syst `eme de contrepoids non repr ´esent ´e permet d’ ´equilibrer l’en- semble m ´ecanique.

Pr ´esentation de la chaˆıne fonctionnelle ´etudi ´ee Structure de la partie op ´erative

L’actionneur est un moto-r ´educteur (1) `a courant continu Gammatic n^◦RH-8D-6006.

Le premier ´etage de transmission du mouvement se fait par une courroie crant ´ee (2) qui s’enroule sur des poulies de m ˆeme diam `etre pour entraˆıner l’arbre interm ´ediaire (3) `a la m ˆeme vitesse que le moteur.

Une roue dent ´ee (3’) de diam `etre primitif 1 = 38,4 mm solidaire de l’arbre interm ´ediaire (3) engr `ene avec une cr ´emaill `ere (4) solidaire de la partie sup ´erieure mobile du robot. Cette cr ´emaill `ere est guid ´ee en translation suivant l’axe Z1 par rapport `a la partie inf ´erieure du robot consid ´er ´ee comme fixe dans cette partie du sujet, et not ´ee ” B ˆati ”. Un syst `eme de contrepoids non repr ´esent ´e permet d’ ´equilibrer l’en- semble m ´ecanique.

Pr ´esentation de la chaˆıne fonctionnelle ´etudi ´ee Structure de la partie op ´erative

L’actionneur est un moto-r ´educteur (1) `a courant continu Gammatic n^◦RH-8D-6006.

Le premier ´etage de transmission du mouvement se fait par une courroie crant ´ee (2) qui s’enroule sur des poulies de m ˆeme diam `etre pour entraˆıner l’arbre interm ´ediaire (3) `a la m ˆeme vitesse que le moteur.

Une roue dent ´ee (3’) de diam `etre primitif 1 = 38,4 mm solidaire de l’arbre interm ´ediaire (3) engr `ene avec une cr ´emaill `ere (4) solidaire de la partie sup ´erieure mobile du robot. Cette cr ´emaill `ere est guid ´ee en translation suivant l’axe Z1 par rapport `a la partie inf ´erieure du robot consid ´er ´ee comme fixe dans cette partie du sujet, et not ´ee ” B ˆati ”.

Un syst `eme de contrepoids non repr ´esent ´e permet d’ ´equilibrer l’en- semble m ´ecanique.

Pr ´esentation de la chaˆıne fonctionnelle ´etudi ´ee Structure de la partie op ´erative

L’actionneur est un moto-r ´educteur (1) `a courant continu Gammatic n^◦RH-8D-6006.

Le premier ´etage de transmission du mouvement se fait par une courroie crant ´ee (2) qui s’enroule sur des poulies de m ˆeme diam `etre pour entraˆıner l’arbre interm ´ediaire (3) `a la m ˆeme vitesse que le moteur.

Une roue dent ´ee (3’) de diam `etre primitif 1 = 38,4 mm solidaire de l’arbre interm ´ediaire (3) engr `ene avec une cr ´emaill `ere (4) solidaire de la partie sup ´erieure mobile du robot. Cette cr ´emaill `ere est guid ´ee en translation suivant l’axe Z1 par rapport `a la partie inf ´erieure du robot consid ´er ´ee comme fixe dans cette partie du sujet, et not ´ee ” B ˆati ”.

Un syst `eme de contrepoids non repr ´esent ´e permet d’ ´equilibrer l’en- semble m ´ecanique.

Pr ´esentation de la chaˆıne fonctionnelle ´etudi ´ee Structure de la commande en position

La figure 10 ci-dessous repr ´esente la sch ´ema-bloc de l’axe d’ ´el ´evation du dispositif de commande de l’instrument chirurgical :

Figure 10 :

d ´eplacement en translation de la main du chirurgien

capteur +codeur + filtre - att ´enuateur

consigne de position angulaire

+− ampli moto

r ´educteur

position angulaire

m ´ecanisme de transformation de mouvement

d ´eplacement en translation de l’instrument capteur

Pr ´esentation de la chaˆıne fonctionnelle ´etudi ´ee Structure de la commande en position

La console permet de capter le d ´eplacement de la main, de le coder, de le corriger ´eventuellement afin d’ ´elaborer la consigne de position angulaire du rotor du moteur.

La position angulaire est ensuite transform ´ee en position lin ´eaire de l’instrument par le m ´ecanisme de transformation de mouvement `a cr ´emaill `ere.

Asservissement en position du moto-r ´educteur

Sommaire

1 Pr ´esentation : La chirurgie endoscopique

2 Pr ´esentation de la chaˆıne fonctionnelle ´etudi ´ee

3 Asservissement en position du moto-r ´educteur Fonction de transfert du moto-r ´educteur

R ´eglage de la commande en position du moto-r ´educteur

Etude de la pr ´ecision de la commande en position du moto-r ´educteur

4 Validation de la chaˆıne compl `ete de positionnement de l’instrument

Asservissement en position du moto-r ´educteur Fonction de transfert du moto-r ´educteur

On rappelle les ´equations temporelles :

u_m(t) = R.i(t) +L.di(t)

dt +e(t) ; e(t) = k_e.ω_m(t) C_m(t) = k_c.i(t) ; J.dω_m(t)

dt = C_m(t)−C_r(t)−f_v.ω_m(t) Les transform ´ees de Laplace des fonctionsu_m(t),i(t),e(t), ω_m(t),C_m(t) etC_r(t) seront respectivement not ´eesU_M(p),I(p),E(p),Ω_M(p),C_M(p)etC_R(p).

On consid `ere toutes les conditions initiales nulles.

Asservissement en position du moto-r ´educteur Fonction de transfert du moto-r ´educteur

On rappelle les ´equations temporelles : u_m(t) = R.i(t) +L.di(t)

dt +e(t) ; e(t) = k_e.ω_m(t) C_m(t) = k_c.i(t) ; J.dω_m(t)

dt = C_m(t)−C_r(t)−f_v.ω_m(t)

Les transform ´ees de Laplace des fonctionsu_m(t),i(t),e(t), ω_m(t),C_m(t) etC_r(t) seront respectivement not ´eesU_M(p),I(p),E(p),Ω_M(p),C_M(p)etC_R(p).

On consid `ere toutes les conditions initiales nulles.

Asservissement en position du moto-r ´educteur Fonction de transfert du moto-r ´educteur

On rappelle les ´equations temporelles : u_m(t) = R.i(t) +L.di(t)

dt +e(t) ; e(t) = k_e.ω_m(t) C_m(t) = k_c.i(t) ; J.dω_m(t)

dt = C_m(t)−C_r(t)−f_v.ω_m(t) Les transform ´ees de Laplace des fonctionsu_m(t),i(t),e(t), ω_m(t),C_m(t) etC_r(t) seront respectivement not ´eesU_M(p),I(p),E(p),Ω_M(p),C_M(p)etC_R(p).

On consid `ere toutes les conditions initiales nulles.

Asservissement en position du moto-r ´educteur Fonction de transfert du moto-r ´educteur

avec :

• u_m(t): tension appliqu ´ee aux bornes de l’induit

• i(t): intensit ´e du courant traversant l’induit

• e(t): force ´electromotrice induite par la rotation du moteur

• ω_m(t): vitesse de rotation `a la sortie du r ´educteur

• C_m(t): couple moteur ramen ´e `a la sortie du r ´educteur

• C_r(t): couple r ´esistant induit par les frottements secs

• R=10 : r ´esistance de l’induit

• L=2,2 mH : inductance de l’induit

• k_c=2,1 N.m/A : constante de couple

• k_e=2,1 V.s/rad : constante de f.e.m

• fv=0,04 Nm.s/rad : coefficient de frottement visqueux ´equivalent

• J=7.10⁻³kg.m²: moment d’inertie ´equivalent `a toutes les pi `eces en

Asservissement en position du moto-r ´educteur Fonction de transfert du moto-r ´educteur

Le sch ´ema blocs du moteur prend alors la forme suivante :

Tension de commande

U_M(p)en V+− 1

R+L.p I(p) k_c −

+ −

+ 1

J.p

Ω_M(p)moto- r ´educteur en rad/s

k_e

f_v C_R(p)

Asservissement en position du moto-r ´educteur Fonction de transfert du moto-r ´educteur

Q - 1:Implanter le sch ´ema-bloc ci-dessus dans Scilab, avec un temps de simulation de 0,15 s.

Asservissement en position du moto-r ´educteur Fonction de transfert du moto-r ´educteur

La lecture du sch ´ema bloc conduit `a :

J.p.ΩM(p) = k_c.I(p)−C_r(p)−f_v.ΩM(p) = k_c

R+L.p.(UM(p)−E(p))−C_r(p)−f_v.ΩM(p)

= k_c

R+L.p.(U_M(p)−k_e.Ω_M(p))−C_r(p)−f_v.Ω_M(p)

J.p+ k_c.k_e R+L.p+f_v

.ΩM(p) = k_c

R+L.p.UM(p)−C_r(p)

⇒ ΩM(p) = k_c

k_c.ke+ (R+L.p).(J.p+f_v).UM(p)− R+L.p

k_c.ke+ (R+L.p).(J.p+f_v).Cr(p) On n ´eglige dans un premier temps l’influence de la perturbationC_R(p)

Asservissement en position du moto-r ´educteur Fonction de transfert du moto-r ´educteur

La lecture du sch ´ema bloc conduit `a :

J.p.ΩM(p) = k_c.I(p)−C_r(p)−f_v.ΩM(p) = k_c

R+L.p.(UM(p)−E(p))−C_r(p)−f_v.ΩM(p)

= k_c

R+L.p.(U_M(p)−k_e.Ω_M(p))−C_r(p)−f_v.Ω_M(p)

J.p+ k_c.k_e R+L.p+f_v

.ΩM(p) = k_c

R+L.p.UM(p)−C_r(p)

⇒ ΩM(p) = k_c

k_c.ke+ (R+L.p).(J.p+f_v).UM(p)− R+L.p

k_c.ke+ (R+L.p).(J.p+f_v).Cr(p)

On n ´eglige dans un premier temps l’influence de la perturbationC_R(p)

Asservissement en position du moto-r ´educteur Fonction de transfert du moto-r ´educteur

La lecture du sch ´ema bloc conduit `a :

J.p.ΩM(p) = k_c.I(p)−C_r(p)−f_v.ΩM(p) = k_c

R+L.p.(UM(p)−E(p))−C_r(p)−f_v.ΩM(p)

= k_c

R+L.p.(U_M(p)−k_e.Ω_M(p))−C_r(p)−f_v.Ω_M(p)

J.p+ k_c.k_e R+L.p+f_v

.ΩM(p) = k_c

R+L.p.UM(p)−C_r(p)

⇒ ΩM(p) = k_c

k_c.ke+ (R+L.p).(J.p+f_v).UM(p)− R+L.p

k_c.ke+ (R+L.p).(J.p+f_v).Cr(p) On n ´eglige dans un premier temps l’influence de la perturbationC_R(p)

Asservissement en position du moto-r ´educteur Fonction de transfert du moto-r ´educteur

Sur le syst `eme, on a pratiqu ´e un essai en charge, en donnant au moteur un ´echelon de tensionu_m(t) =24 V.

Avec un capteur de vitesse dont le gain est de 0,166 V.s/rad, on a trac ´e sur le document r ´eponse la courbe de tension image deω_m(t).

Q - 2:Introduire le capteur de vitesse dans le sch ´ema bloc et si- muler le syst `eme pour obtenir la courbe de tension image de ω_m(t). V ´erifier la coh ´erence entre la simulation et la courbe exp ´erimentale.

Asservissement en position du moto-r ´educteur Fonction de transfert du moto-r ´educteur

Tension (V) image deω_red(t), en fonction du tempst:

Asservissement en position du moto-r ´educteur Fonction de transfert du moto-r ´educteur

En absence de perturbation l’expression de la vitesse de rotation est : Ω_M(p) = k_c

k_c.k_e+ (R+L.p)(J.p+f_v).U_M(p)

La fonction de transfert est donc du deuxi `eme ordre. Or la courbe de r ´eponse mesur ´ee est caract ´eristique d’un syst `eme du 1er ordre (tangente non nulle, temps de r ´eponse ´egale `a 3 fois la constante de temps. . . ).

En n ´egligeant l’inductance L, la fonction de transfert devient effecti- vement bien du 1er ordre ce qui valide cette hypoth `ese.

Asservissement en position du moto-r ´educteur Fonction de transfert du moto-r ´educteur

Q - 3: Justifier par la simulation l’hypoth `ese pr ´ec ´edente por- tant sur l’inductance. Pour cela, ins ´erer le bloc dans le sch ´ema bloc initial avec diff´erentes valeurs de (L =0 mH, L =2,2 mH et L = 22 mH). Conclure quand `a la pertinence de l’hy- poth `ese.

Dans la suite du probl `eme, on n ´egligera l’inductanceL du moteur.

Asservissement en position du moto-r ´educteur Fonction de transfert du moto-r ´educteur

Q - 3: Justifier par la simulation l’hypoth `ese pr ´ec ´edente por- tant sur l’inductance. Pour cela, ins ´erer le bloc dans le sch ´ema bloc initial avec diff´erentes valeurs de (L =0 mH, L =2,2 mH et L = 22 mH). Conclure quand `a la pertinence de l’hy- poth `ese.

Asservissement en position du moto-r ´educteur Fonction de transfert du moto-r ´educteur

La fonction de transfert simplifi ´ee devient:

H1(p) =ΩM(p) UM(p) =

kc kc.ke+fv.R 1+ R.J+L.fv

kc.ke+fv.R.p+ J.L kc.ke+fv.R.p2

≈ kc kc.ke+fv.R

1+ R.J

kc.ke+fv.R.p

= Gs 1+T.p

avecGs= kc

kc.ke+fv.R=0,437 rad/(s.V) et T= J.R

kc.ke+fv.R=1,46.10−2 s

Q - 4:Ajouter un simple bloc du premier ordre `a c ˆot ´e du sch ´ema complet du moteur et par la simulation du syst `eme, justifier que les valeurs pr ´ec ´edemment donn ´ees pour G_s et T sont satisfai- santes.

Remarque : pour faire apparaˆıtre les deux courbes sur le m ˆeme graphique, changer les param `etres du bloc scope.

Asservissement en position du moto-r ´educteur R ´eglage de la commande en position du moto-r ´educteur

La boucle d’asservissement de la position angulaire de l’arbre de sortie du r ´educteur est d ´efinie par le sch ´ema-bloc figure 11 ci-dessous.

Figure 11 :

Consigne de position angulaireΘc C

Adaptateur

consigne de

position num ´erique +− A Ampli

Tension de

commandeUM M(p)

Moto-r ´educteur VitesseΩM

du moteur 1 p

Position angulaire du moteurΘM C

Capteur (codeur) ε

Asservissement en position du moto-r ´educteur R ´eglage de la commande en position du moto-r ´educteur

La consigne de positionθ(t)en radian est ´elabor ´ee par le calculateur,

`

a partir des informations envoy ´ees par la console.

La mesure de l’angle de rotation du moteur se fait num ´eriquement

`

a l’aide d’un codeur incr ´emental plac ´e sur son rotor. L’ensemble est assimilable `a un gain purC=2865 inc/rad (inc signifiant ” incr ´ements

” : unit ´e de mesure num ´erique). Il est donc n ´ecessaire d’adapter la consigne avec le m ˆeme coefficientC.

Le convertisseur-amplificateur de gain A variable ´elabore la com- mande du moteur.Ind ´ependamment des r ´esultats pr ´ec ´edents, on pren- dra :

M(p) = G_S

1+T.p avec

G_S = 0,437 rad/(s.V) T = 14,6.10⁻³s

Asservissement en position du moto-r ´educteur R ´eglage de la commande en position du moto-r ´educteur

La nouvelle fonction de transfertF(p)de la commande en position du moteur (figure 11) prend l’expression suivante :

Θ_M(p) =1

p.M(p).A.[C.Θ_C(p)−C.Θ_M(p)] ⇒

1+C p.M(p).A

.Θ_M(p) =C

p.M(p).A.Θ_C(p)

⇒ F(p) =Θ_M(p) Θ_C(p) =

C p.M(p).A 1+C

p.M(p).A

= C p. G_S

1+T.p.A 1+C

p. G_S 1+T.p.A

= C.G_S.A p.(1+T.p) +C.G_S.A

Asservissement en position du moto-r ´educteur R ´eglage de la commande en position du moto-r ´educteur

Il s’agit alors d’une fonction de transfert du second ordre ayant les va- leurs suivantes pour caract ´eristiques :

F(p) = 1

1+ 1

C.G_S.A.p+ T C.G_S.A.p²

= K

1+2.z

ω₀.p+p² ω₀²

K =1 ; ω₀=

rC.G_S.A

T et z= 1

C.G_S.A.ω₀

2 = 1

2.

√

T.C.G_S.A

Asservissement en position du moto-r ´educteur R ´eglage de la commande en position du moto-r ´educteur

Q - 5:D ´eterminer les valeurs de A permettant d’obtenir :

• le syst `eme le plus rapide sans d ´epassement

• le syst `eme le plus rapide

• z=0,54, valeur pr ´econis ´ee par les ing ´enieurs dans l’optimisation des crit `eres de pr ´ecision, rapidit ´e et stabilit ´e.

Q - 6:Compl ´eter le sch ´ema bloc sous Scilab.

Q - 7: D ´eterminer sur les courbes simul ´ees (r ´eponses indi- cielles) les temps de r ´eponse `a 5%.

Q - 8:Comparer ces valeurs `a celles donn ´ees par les abaques

Asservissement en position du moto-r ´educteur R ´eglage de la commande en position du moto-r ´educteur

Asservissement en position du moto-r ´educteur R ´eglage de la commande en position du moto-r ´educteur

10¹ 10² 10³

Tr−5%.ω0

Asservissement en position du moto-r ´educteur R ´eglage de la commande en position du moto-r ´educteur

0.5 1 1.5

0 5 10

z Tr−5%.ω0

Temps de r ´eponse `a 5% r ´eduitT<sub>r</sub>−5%.ω<sub>0</sub>en fonction du coefficient d’amortissement, en ´echelle logarithmique ( `a gauche) et en ´echelle

lin ´eaire ( `a droite)

Asservissement en position du moto-r ´educteur R ´eglage de la commande en position du moto-r ´educteur

Dans la suite, nous conserverons pour z la valeur pr ´econis ´ee par les ing ´enieurs. Ind ´ependamment des r ´esultats trouv ´es pr ´ec ´edemment, nous prendronsA=46,9.10⁻³V/inc etω₀=63,4 rad/s.

Asservissement en position du moto-r ´educteur

Etude de la pr ´ecision de la commande en position du moto-r ´educteur

Pour piloter un d ´eplacement de 1 mm de l’instrument chirurgical, le moteur doit effectuer une rotation d’un angle θ₀=5,24.10⁻² rad (le d ´eplacement de l’instrument ´etant proportionnel `a la rotation effectu ´ee par le moteur).

Q - 9: Tracer l’erreur statique E_rr(t) en radian lorsque la consigne est un ´echelon de position : θ_c(t) = θ₀.u(t) avec θ₀=5,24.10⁻²rad. Que vaut l’erreur statique quand t tend vers l’infinie ? Retrouver ce r ´esultat par le calcul.

Pour affiner l’ ´etude de la pr ´ecision de l’asservissement, il est n ´ecessaire de prendre en compte le couple r ´esistant n ´eglig ´e jus- qu’alors. On adopte le sch ´ema de la figure 12 ci-contre pour introduire cette perturbation.

Asservissement en position du moto-r ´educteur

Etude de la pr ´ecision de la commande en position du moto-r ´educteur

Figure 12 :

C ΘC(p)

+− A

ε(p)

M(p)

U(p) −

+ 1

p

ΩM(p) ΘM(p)

C

M(p).R k_c C_R(p)

La perturbation est telle queC_r(t) =C_r.u(t)avecC_r=0,2 N.m .

Asservissement en position du moto-r ´educteur

Etude de la pr ´ecision de la commande en position du moto-r ´educteur

Q - 10:Afin d’utiliser le sch ´ema bloc du moteur une seule fois, transformer le sch ´ema bloc de la figure 12 pour ajouter rapi- dement la perturbation au sch ´ema sch ´ema bloc pr ´ec ´edemment construit sous Scilab.

Q - 11: D ´eterminer l’expression de l’erreur statique E_rr−s en fonction de R , k_c, C , A et C_r pour une consigne en ´echelon θ_c(t) =θ₀.u(t)

Q - 12:Faire l’application num ´erique pour la valeur de A trouv ´ee

`

a la question 11. En d ´eduire la pr ´ecision en mm de la posi- tion de l’instrument chirurgical. V ´erifier la validit ´e du cahier des charges. Retrouver ces diff´erents r ´esultats par simulation.

Asservissement en position du moto-r ´educteur

Etude de la pr ´ecision de la commande en position du moto-r ´educteur

C Θ_C(p)

+− ε(p) A

M(p)

U(p) −

+ 1

p

Ω_M(p) Θ_M(p)

C

M(p).R k_c C_R(p)

La perturbation est telle queC_r(t) =C_r.u(t)avecC_r=0,2 N.m .

Asservissement en position du moto-r ´educteur

Etude de la pr ´ecision de la commande en position du moto-r ´educteur

Θ_M(p) = 1

p.M(p).K.C 1+1

p.M(p).K.C

.ΘC(p)−

1

p.M(p).R k_c

1+1

p.M(p).K.C .C_R(p)

= 1 p. G_S

1+T.p.K.C 1+1

p. G_S 1+T.p.K.C

.ΘC(p)−

1 p. G_S

1+T.p.R k_c

1+1 p. G_S

1+T.p.K.C .C_R(p)

= 1

1+p.(1+T.p) G_S.K.C

.ΘC(p)−

R k_c.K.C 1+p.(1+T.p)

G_S.K.C

.C_R(p)

Asservissement en position du moto-r ´educteur

Etude de la pr ´ecision de la commande en position du moto-r ´educteur

Θ_M(p) = 1

p.M(p).K.C 1+1

p.M(p).K.C

.ΘC(p)−

1

p.M(p).R k_c

1+1

p.M(p).K.C .C_R(p)

= 1 p. G_S

1+T.p.K.C 1+1

p. G_S 1+T.p.K.C

.ΘC(p)−

1 p. G_S

1+T.p.R k_c

1+1 p. G_S

1+T.p.K.C .C_R(p)

= 1

1+p.(1+T.p) G_S.K.C

.ΘC(p)−

R k_c.K.C 1+p.(1+T.p)

G_S.K.C

.C_R(p)

Asservissement en position du moto-r ´educteur

Etude de la pr ´ecision de la commande en position du moto-r ´educteur

⇒ E_rr(p) = Θ_C(p)−Θ_M(p)

= Θ_C(p).















1− 1

1+p.(1+T.p) G_S.K.C













 +

R k_c.K.C 1+p.(1+T.p)

G_S.K.C

.C_r(p)

E_rr−s = lim p→0.p.





























1− 1

1+p.(1+T.p) G_S.K.C













 .θ₀

p +

R k_c.K.C 1+p.(1+T.p)

G_S.K.C .C_r

p















= R

k_c.K.C.C_r

Asservissement en position du moto-r ´educteur

Etude de la pr ´ecision de la commande en position du moto-r ´educteur

⇒ E_rr(p) = Θ_C(p)−Θ_M(p)

= Θ_C(p).















1− 1

1+p.(1+T.p) G_S.K.C













 +

R k_c.K.C 1+p.(1+T.p)

G_S.K.C

.C_r(p)

E_rr−s = lim p→0.p.





























1− 1

1+p.(1+T.p) G_S.K.C













 .θ₀

p +

R k_c.K.C 1+p.(1+T.p)

G_S.K.C .C_r

p















= R

k_c.K.C.C_r

Asservissement en position du moto-r ´educteur

Etude de la pr ´ecision de la commande en position du moto-r ´educteur

⇒ E_rr(p) = Θ_C(p)−Θ_M(p)

= Θ_C(p).















1− 1

1+p.(1+T.p) G_S.K.C













 +

R k_c.K.C 1+p.(1+T.p)

G_S.K.C

.C_r(p)

E_rr−s = lim p→0.p.





























1− 1

1+p.(1+T.p) G_S.K.C













 .θ₀

p +

R k_c.K.C 1+p.(1+T.p)

G_S.K.C .C_r

p















= R

k_c.K.C.C_r