Corrigé DM Numéro 1 I – Complexe (résolution d'équation) : 1. M=M'

Corrigé DM Numéro 1

I – Complexe (résolution d'équation) : 1. M=M' ⇔z=z '⇔z= z²

i−z⇔zi−z=z²⇔iz−2z²=0⇔zi−2z=0⇔z=0 ou z=i 2 . Il y a donc deux points invariants les points d'affixes 0 et ¹

2i Recherche de la partie réelle et de la partie imaginaire de z ' :

z '= z²

i−z⇔z '= xi y²

−xi1−y⇔z '=x²−y²2i xy−x−i1−y

x²1−y²

⇔z '=−xx²−y²2xy1−yi−2x²y−x²−y²1−y

x²1−y²

⇔z '=−xx²y²−2yi−x²y−x²y²−y³ x²1−y² .

⇔z '=−xx²y²−2y

x²1−y² i−x²y−x²y²−y³ x²1−y²

or z '=x 'i y ' et deux complexes sont égaux si et seulement leur partie réelle et partie imaginaire sont égales.

On en déduit que x'=−xx²y²−2y

x²1−y² et y '=−x²y−x²y²−y³ x²1−y² 2. M' est situé sur l'axe des imaginaires purs si et seulement si x'=0.

Ceci équivaut à −xx²y²−2y

x²1−y² =0⇔−xx²y²−2y=0⇔x=0 ou x²y²−2y=0

⇔x=0 ou x²y−1²=1

et donc M' est situé sur l'axe des imaginaires purs si et seulement si

M appartient à la droite :x=0 privé de A ou M appartient au cercle de centre i et de rayon 1.

Représentation graphique :

Lycée Dessaignes Page 1 sur 3

II—Initiation au troisième degré :

1. a Soit f la fonction cube, on a f 'x=3x²0 , d'où la fonction cube est strictement croissant de ℝ sur ℝ. De plus lim

x−∞

x³=−∞ et lim

x∞x³=∞. On a donc le tableau de variation suivant :

x −∞ 0 ∞

f 'x

+

0

+

f x

∞

0

−∞

b .



^{327=3 ;}



^{38=2 ;}



^3−64=−4

2. Soit x=Xk, alors

ax³b x²cxd=0⇔aXk³bXk²cXkd=0

⇔aX³3k X²3k²Xk³bX²2k Xk²c Xc kd=0

⇔X³3k X²3k²Xk³b

aX²2k Xk²c a Xc

akd

a=0 (a≠0)

⇔X³



^3kba



^X2



^3k22a^bkc

a



^Xk3ka^2bc akd

a=0 Afin d'annuler le coefficient en _X², on pose k=− b

3a . L'équation ax³b x²cxd=0 devient alors équivalente à

⇔X³



3^ba²²−2b²

3a²3a c

3a²



^X−27^9bca² 3b³ 27a²− b³

27a³d a=0 de la forme X³p Xq=0 avec ^p=−b

23a c

3a² et q= b

27a



²a^b22−9c a



^{da .}

3. a . On pose X=uvdans (2)

On obtient alors uv³puvq=0

c'est à dire _u³_3u²_{v3u v}²_v³pup vq=0 ce qui équivaut à u³v³uv3uvpq=0 . b. en annulant le terme en uv, on obtient le système :

{

^{u3uv=−v3=−q3p} qui équivaut à

{

^{uu33vv3=−3=−q27p3 (3).}

En posant U=u³ et V=v³, le système (3) devient équivalent à

{

^{UU VV=−=−q27p3 .}

{

^{UU VV=−=−q27p3 ⇔}

{

^{−VU−q=−VV=−−q27p3⇔}

{

^{V2U=−VqV−−q27p3=0.}

On calcul le discriminant =q²4p³ 27 .

Lycée Dessaignes Page 2 sur 3

Si  est positif ou nul on obtient U=

−q−



^q2427p3

2 et U=

−q



^q2427p3

2

soit u=



3 ^−q−

^

^{q22427p3 et v=}



^3−q

^

^{q22427p3 ,}

d'où X=



3 ^−q−

^

^{q22427p3}



^3−q

^

^q22427p3

et finalement x=



3^−q−

^

^{q22427p3}



^3−q

^

^{q22427p3−3ba} en sachant que p=−b²3a c

3a² et q= b

27a



²a^b22−9c a



^da

4. a . x³=6x9⇔x³−6x−9=0, p=−6; q=−9 .

=q²4p³

27 =81−4×6³

27 =490 .

On obtient alors X=³



⁹⁻²

^

^49



^{3 92}

^

⁴⁹⁼

^

^31

^

^38=12=3 ce qui nous donne une solution de x³=6x9 . Il resterait à factoriser par x−3 , puis à finir la résolution de l'équation de façon classique.

b . On a 15×44=64=4³ d'où 4 est solution de l'équation x³=15x4, p=−6; q=−9 . La méthode de cardan pour x³−15x−4=0 donne

=q²4p³

27 =16−4×15³

27 =−484=4×−1210 , on ne peut donc pas appliquer la méthode de cardan si l'on accepte pas de prendre des « racines carrées » de nombre négatifs.

c . i .

 

^32



⁻¹²¹



³=2



^{−121 et}

2



−1³=812



−1−6−



−1=2−11



−1=2



−121 .

On peut donc en déduire en utilisant les méthodes de calculs habituelles que :

 

^32

^

⁻¹²¹

^

^3=2

^

⁻¹

ii . En utilisant la méthode de cardan on obtient

X=³



⁴⁻²

^

^2−121



^{3 42}

^

²⁻¹²¹⁼

^

³²⁻

^

^−121

^

^{3 2}

^

^−121=2−

^

^−12

^

^{−1=4 .}

Soit la valeur solution évidente!

d. Le problème avec l'écriture



−1 est le suivant :Si on veut respecter les règles de calcul usuelles sur les racines carrées



a²=a et



^a



^b=



^abon obtient :





−1²=−1 et 



−1²=



−1×



−1=



^{−1×−1=}



1=1 . Soit −1=1 !!

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