Corrigé du DM&M’s 1 – Terminale :
Exercice 1 : Étude de suite
On considère la suite définie par 𝑢" = 0 et, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢&'( =)*+(
,. 1. 𝑢( = )*+(
-= )*"( =() , 𝑢) =)*+(
. = (
)*./= (0 /
=)1 et 𝑢1 = )*+(
/ = (
)*/0= (2 0
= 13. 2. On admet maintenant que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢& = &
&'(
a) 𝑢&'(− 𝑢& = &'('(&'( −&'(& =(&'()(&'()
(&'))(&'()− &(&'))
(&'()(&'))=&²')&'(*(&/')&)
(&'()(&')) =&²')&'(*&²*)&
(&'()(&'))
Donc, on a bien, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢&'(− 𝑢& = (&'()(&'))( . b) Comme 𝑛 est un entier naturel, on a 𝑛 + 1 > 0 et 𝑛 + 2 > 0 donc on a (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) > 0.
On en déduit que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢&'(− 𝑢& > 0.
Cela signifie que la suite (𝑢&) est strictement croissante.
c) La suite (𝑢&) semble converger vers 1 d’après la calculatrice.
Exercice 2 : Dérivation (techniques et rédaction)
Voir vidéo
