Influence de la tension superficielle sur la propagation des ondes parallèles a la surface d'une lame liquide

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Submitted on 1 Jan 1906

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Influence de la tension superficielle sur la propagation des ondes parallèles a la surface d’une lame liquide

Alliaume

To cite this version:

Alliaume. Influence de la tension superficielle sur la propagation des ondes parallèles a la surface d’une lame liquide. J. Phys. Theor. Appl., 1906, 5 (1), pp.826-837. �10.1051/jphystap:019060050082601�.

�jpa-00241179�

826

senter un ensemble de méthodes applicables facilement à ce genre de recherches.

Je tiens à remercier lB1. Dinin, qui ^a bien voulu s’intéresser à mes

travaux, et qui ^{a mis à ma} disposition ^ses laboratoires bien outillés,

ainsi que ^mes collaborateurs 1~1. Paillard et M. François Herkenrath.

J’espère que ^ces recherches présenteront quelque ^intérêt pour ^tous

ceux qui s’occupent ^des questions d’électrolyse.

INFLUENCE DE LA TENSION SUPERFICIELLE SUR LA PROPAGATION DES ONDES

PARALLÈLES ^{A LA} SURFACE D’UNE LAME LIQUIDE (1);

Par M. ALLIAUNIE.

1. Problème liailé.

Soit un canal rectiligne prismatique ^rectan- gulaire, ^de largeur grande par rapport ^{à la} profondeur Ho ^{sous le ni-}

veau du liquide qui l’occupe. ^Celui-ci y ^{a une} vitesse d’écoulement Do,

en régime ^{uniforme et mouvement} tourbillonnant (2). Si, ^{à l’une}

des extrémités du canal, ^on provoque la formation d’une onde, ^celle-

ci se propage ^dans le sens du courant, ^{si le} phénomène ^{naît à l’extré-}

mité amont, sinon ^remonte le courant, ^à moins que celui-ci ^ne soit trop rapide ^{et ne} l’emporte, par ^{son mouvement} propre, ^sur la célérité

qu’acquerrait ^{l’onde dans le cas d’un courant} primitif ^{nul. Dans tous}

les _cas, la vitesse de propagation ^de l’intumescence comptée posi- tivement, ^{en même} temps que la vitesse moyenne primitive ^d’écou-

lement U., ^{dans le sens} du courant, ^est donnée _{par les} formules suivantes : 1° approximativement, ^{si l’on ne tient} compte ^{ni de} l’inclinaison, ^{ni de la} courbure des filets fluides au passage ^de l’onde, c’est-à-dire si l’on considère l’onde comme infiniment peu tuméfiée, ^et si l’on néglige l’influence des parois, g étant, ^comme d’habitude, ^le poids de l’unité de masse :

(1) BOU~SIi~E~Q, I, ~:’s.~ais sur· la fhéur·ie cle.s eaux courantes (lfémoir·es ^{des sa-} mllll· r~I~~tml~~eJ ~ ^{t BBIll .} II..tdditill!{’ d m°«Im~l.~f~r~Pllls ~Itl loéllloioe intitulé:

~~itll Slll’ la ~%lr

IIIJ,

r’r7117’Ull f~’s j%r’illryt

(le’ ~tW’tllll ~ t’I l Q!l(~f ~’i, ^1. ~~I, , III, l’hf~or·ie de l’écoulement fr~urhlllr»Illrmt t~i lllllrllltueuz des liquides ^{dans les}

lils lectilu~r~esiz r¡l’f1nde section, f~t·t~l«l~· unif’vrvriP, ^i891: IV, Idem, Rér~i~nes gra- duellem, 1 , ~-,

(2j ^1§u

li>t Illl’lion. et III, ^inif.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019060050082601

où le signe supérieur s applique ^aux ondes descendant le courais. ie

signe ^{inférieur aux ondes le} remontant :

‘~° Si l’on tient compte ^des déplacements, ^{au-dessus du niveau} pri- mitif, ^des particules, ^et de la courbure des lilets iluides. en négli- geant ^encore 1 iniluencu des parois, ^{on sait,} depuis ^{les travaux de}

M. Boussinesq, que la vitesse de propagation ^{est variable avec la}

section fluide considérée (’). ^{Si l’on étudie 1p mouvement d’une sec-}

tion où le fluide s’est tuméfié jusqu’a ^{i1YlliI’ une file extrême de mo-} lécules, horizontale et normale à l’axe hydraulique, ^élevée ù’nn.. qnan- tité Il’ au-dessus du niveau primitif, ^l’axe hydraulique ^étant pris

pour ^axe des x, positivement ^{dans le sens du courant,} les recherches de M. Boussinesq ^{ont abouti à :}

avec, ^comme emploi ^des signes, ^celui qui ^{a été défini} pour ^{la for-} mule (1~.

On voit que ^cette vitesse de propagation ^est variable d’une section à l’autre, que les sections ^ne gardent pas, pendant ^{le mouvement,}

leurs distances mutuelles, ^et que, généralement, ^{l’onde subit une dé-}

formation au fur à mesure que s’effectue sa propagation.

Nous nous proposons ici de chercher l’influence de la tension su-

perficielle ^sur la célérité de l’onde. Pour nous représenter ^{cette in-} fluence, imaginons d’abord que, pendant ^le régime ^uniforme qui précède le passage de l’onde, ^le liquide qui occupe lc canal soit re-

couvert d’une couche d’un liquide ^{moins dense} et tc~~~~ visqueux,

-

de l’huile sur de l’eau, par exemple, - qu’on en verse une quan- tité suffisante pour que la couche s’étende au canal tout entier sur une épaisseur bien uniforme. L’influence de cette couche surnageante

sur la propagation de l’intumescence se manifestera par la plus

ou moins grande résistance qu’offrira ^le liquide visqueux ^{à se dis-}

tendre au passage de l’onde et par la variation de pression qui ^en

résultera dans le liquide inférieur. Or, par suite de la tension super-

ficielle, les couclles de molécules les plus ^voisines de la surface ru 11

liquide jouent le même rôle que ^cette couche visqueuse Jill’ 1)1 tns

venons de nous imaginer ; ^{sa courbure nu} p;1s,>ç> de l’onze ~~a~l.~~c~t~

une variation de pression ^{dans la masse} liquide ; ^cette variation de

(1) BOUSSINESQ. 1. p. 358.

828

pression ^{aura son influence sur la} propagation ^{de l’onde, et c’est cette}

influence _que nous allons chercher.

II. cle Ici te~r~~o~~ ~Z~yer~fzetelZe.

Voyons ^{d’abord com-}

ment s’introduira la tension superficielle ^{dans le} problème qui ^nous

occupe. Lorsque ^{l’onde se} propagera ^{dans notre canal de} largeur

très grande relativement à sa profondeur, ^{elle aura} la forme d’une vague transversale dont ^les génératrices, ^toutes parallèles, ^seront perpendiculaires ^au plan ^{vertical contenant l’axe} hydraulique. ^Soit

é la profondeur extrêmement petite ^à laquelle ^{il faut enfoncer une}

normale à la surface libre pour traverser toutes les couches de molé- cules dont l’ensemble forme la couche siège ^{de la tension} superfi-

cielle : la couche superficielle ^sera ainsi limitée par deux surfaces

cylindriques distantes de e.

Étudions la situation mécanique d’un élément de volume de cette couche superficielle découpé ^{de la façon suivante autour d’un} point ^A

de la surfaces S équidistante des deux surfaces extrêmes de la couche : de part ^et d’autre de A, ^{à une distance} égale ^à la moitié de l’unité et mesurée perpendiculairement ^{à l’axe} hydraulique, ^menons

deux plans ^verticaux parallèles ^à celui-ci; ensuite, ^{à une distance}

très petite ^{r de} part ^{et d’autre du} point A, ^{niesurée sur} l’intersection de la surface 1 avec un plan passant par A ^et parallèle ^{aux deux} pré- cédents, traçons deux génératrices horizontales de la surface ~ et, par chacune de ^ces génératrices, menons un plan ^{normal à E ; les} quatre plans ^{ainsi menés,} joints ^aux deux surfaces limites, ^décou- peront ^{un élément de volume de la couche} superficielle.

Projetons les forces qui agissent ^{sur cet élément et} la réaction d’inertie sur la normale à E menée par A, positive ^vers l’extérieur du fluide. A cause de l’extrême petitesse des dimensions et _r, disons tout de suite que ^nous pourrons négliger ^la pesanteur ^{et le} produit ^{de la masse} par l’accélération; ^{de sorte} qu’il ^{nous suffit}

d’écrire que les ^autres forces se font équilibre.

’

Appelons : ~1, la pression intérieure par unité d’aire sur la surface limite interne dans le voisinage ^du point ^{où la normale en A à ~}

perce ^cette surface ; 1>,,, la valeur absolue de la pression ^extérieure

par ^unité d’aire sur la surface limite externe dans le voisinage ^du point ^{oii la normale en A ii 1} perce ^cette surface. On aura que Pi . ‘?r . i est égal ^{à p, . 2r . t} augmenté ^{de la} projection ^{sur la} normale de la tension superficielle agissant ^{sur les} faces antérieure et postérieure

de l’élément de volume. Sur une de ces faces, ^{la tension} superficielle

829 a, par raison de synictriL’, pour p"iI1t J"dpplicatiOI1 llY.t r -,-,,’t;nn ^des

traces de la surface ~ et du plan ^vertical passant par l’allèle à l’axe hydraulique ; ^{sa valeur y est} la tension superncielle par unité de longueur : écrivons-la f’: ^la projection ^{de f’pttp tension sur}

la norrnale est :

x étant l’angle ^{que font entre eux les} plans tang-ent..., ^{il ~} menés par la génératrice passant par A ^et la génératrice ^distante de zi de la

quantité ^r. Nous pouvons donc écrire, ^en doublant la tension f pour

tenir compte ^de la seconde face où les conditions sont sensiblement les mêmes que ^sur la première :

Mais l’extrême petitesse ^{de r entraine l’extrême} petitesse ^{de x}

et

Or, ^{« est encore} l’angle que ^{font entre eux} les plans ^normaux

à l’ menés par la génératrice passant par ^{A et la} génératrice

distante de A de la quantité ^{r. Cornme r est très} petit, ^{si nous} appelons ^R le rayon de courbure en A de l’intersection de i avec le

plan ^vertical parallèle à ^l’axe hydraulique ^et passant par A, ^nous

avons :

Donc:

Divisant par ^{r et} remplaçant 1 ^{par c, courbure qui} vient d’être il

définie _par son rayon :

Telle est la relation entre pi, j), et /i ^dans laquelle, à ^{cause de}

l’extrême petitesse ^de E, ^c peut ^{aussi bien être considéré comme la}

courbure longitudinale ^{de la surface libre.}

111. ~~.’cr~lml ^de f~m~uule~.

^{Soit un canal} "rectangulairL’ prl~Illa-

tique ^{et i u ~} 1. 1 l’ ~’t j, 1);t par ^uii liquide ^{en mouvement tourhil-}

lonnant et régime ^non permanent. t-ii iiiie hccHun qui, ^au temps

830

actuel t, est J’aire ’1, de périmètre mouille / ^{et à travers} laquelle ^la

vitesse _moyenne d’écoulement est U. Prenons _pour axe des x l’axe

hydraulique pris positivement ^{dans le sens de} l’écoulement. Appe-

lons i la pente ^de superficie, p, ^la pression par ^unité d’aire en la sec-

tion considérée, ? ^{la densité du} liquide, ^{et g, comme} d’habitude, ^le

poids de l’unité de ^masse. Par définition, la pente ^motrice est l’expres-

sion :

De plus, posons, ^{u étant} la projection ^{sur l’axe des x} de la vitesse

en un point ^{de 6 :}

Enfin, ^{soit b une} quantité petite, coefficient bien connu des hydrau-

liciens (’), ^{mais dont la} signification n’aura pas d’importance ^ici.

Cela étant, ^une formule fondamentale donne pour ^la pente

motrice (2) :

Comme cas particulier, ^{on voit} qu’en régime ^{uniforme :}

D’autre part, ^nous connaissons également l’équation de continuité suivante (3), applicable ^{au cas actuel d’un canal} rectangulaire ^de

section large :

IV. Passage de l’onde.

Avant le passage de l’onde, l’écoulement

se fait en régime ^{uniforme. Affectons} d’un indice zéro les notations définies au numéro précédent ^{relatives à ce} régime primitif. Alors,

(~ ) BOUSSIXESQ, III, p. 2î.

(‘~) BOUSSI:’iES(}, 1~’, pp. ¹⁷ eti8.

(3) BousrinEsQ, I, p. 210, ^et IV, pp. ^{i6 et} 23.

831 suivant (7) ^et ~4) :

Que maintenant se produise ^le passade de l’onde ; ^{en la section}

d’abscisse x et au temps t, ^la profondeur ^{du canal} augmente ^de H’,

positif ^ou négatif, ^et la vitesse moyenne d’écoulement de L’. La pente

motrice varie dans chacun de ses termes : 1 axe hydraulique ^se

relève et le terme . t ^{de ---} ~H’ ^{quant à la pression, elle aii g-}

relève et le terme ~augmente ^{de 2013} 1,~ ^{quant à} la pression, ^elle aug- mente de ce qui ^{serait, au} repos, la différence Pi

p, ^entre la pres- sion intérieure et la pression extérieure, ^{et :}

Le dernier terme est donné par (3) :

d’où

D’autre part, l’équation générale ~’ll appliquée ^{au cas actuel}

s’écrit :

Comparant ^{ces deux valeurs de I , nous aurons} 1 équation :

Pour éliminer U’, ^écrivons l’équation de co ii t 1 ri 111 t ~’, ^~) pour le ^cas

actuel :

832

Til~ons-en la ;aleur de L, ^puis introduisons-la, ^{dérivée séparé-}

Tirons-en la valeur de y-2013 ^puis introduisons-la, ^dérivée séparé-

ment suivant l’axe et dans le temps, ^dans (t 2) dérivée suivant l’axe.

Convenons de négliger ^{les termes} petits ^{du second ordre et de}

considérer les variations 11’ et U’, ^ainsi que ^leurs dérivées, ^comme quantités petites ^du premier ^{ordre; 1) est} du même ordre de petitesse.

En posant :

nous aurons finalement :

V. Résultats connus. - Cette équation ^{s’écrit encore : -.}

Le second terme entre crochets est certainement très petit ^vis-

à-vis du premier, ^{de sorte} que (15’) ^{est très} voisin de :

Or cette équation, intégrée, donne (1) pour vitesse de propaga- tion de l’onde ^en première approximation :

qui ^vérifie l’équation :

l’usage ^{du double} signe ^restant le même que dans les formules (1) ^et (2), ^et avec ? fonction arbitraire ^ne dépendant que des conditions initiales : -.

Les quantités

- 1 et Tr~ qui entrent, ^avec h, ^{et k.,, dans} l’expres-

(t) t3oLSSmESg, 1 Y. pp. 23, ²⁴ et 25.

833 sion 16 de la célérité de l’onde, ^sont d autant plus petites que les

parois ^{sont moins} rugueuses. ^{Pour un} canal à fond à peu près ^lisse,

elles sont suffisamment petites pour ’lHI’ leurs ^{carrés et} produits

soient négligeables. ^{Alors, tous} calculs faits, IH s’écrit :

Si le fond du canal est très lisse, ^on peut ^{annuler x}

¹ et -ri, et on retrouve la formule ~1 ) :

.

Si le canal est horizontal et l’écoulement primitif ^{nul, les formules} (16), (19) ^et (1) s’écrivent respectivement :

VI. hzf~‘oeme ^{r/r lcz tension} s2~~e~ycietlf>.

Reprenons ^maintenant l’équation plus ^exacte (i5); ^{en vue de} son intégration, définissons la nouvelle célérité _(o, d’une section fluide de l’onde _{par la} condition que ^cette section garde toujours ^{le même volume r? de} liquide ^tumé-

fié devant ou derrière elle, ^suivant que l’onde descend ^{ou remonte le} courant. Suivant l’un ou l’autre de ces cas :

ou

Écrivons _{que la} variation du de u est nulle :

ou

ou, dérivant, ^suivant l’axe, ^{dans les deux cas :}

Profitant de cette équation, relllJ.1;tc’c ^{IJI ~ dan...,}

multiplions ^{par ~r et} intégrons jusqu’en ^des points ^{non encore}

834

atteints par la tète de l’onde :

Pour intégrer ^{une seconde fois,} introduisons une fonction auxi-

liaire ’~ ^définie par l’égalité ^{suivante :}

Formons l’expression :

en remarquant, ^suivant (18), que l’on peut, pour ^{un terme} petit,

écrire "’ àt

⁰⁾⁰ à « En -C) x ^{remontant à (17), on trouve (1) que l’expres-}

sion cherchée est nulle, ^{d’oit une} équation ^de premier ^{ordre :}

et l’on conclut que, après ^un temps rapidement atteint, ^et pour les

parties ^{de l’onde} qui ^{ne sont} pas trop éloignées ^{de sa tête : 1}

d’où, annulant la valeur (23) ^de ~, pour c~~ ~

Le second terme du second membre est le terme cherché et montre

l’influence de la tension superficielle. La formule (24) peut ^{s’écrire :}

avec, pour W., la valeur (16).

Si le fond du canal est à peu près lisse, (25) ^{devient, en} négligeant

(1) BoussiNFsQ, ^1, p. 354.

835 les termes de 1 ordre de ~r,= : ^:

avec, pour to,, ^sa valeur (i9) .

Si l’influence des parois ^est négligeable :

avec, pour (o., ^sa valeur ( 1 j .

Enfin, ^{si le canal est} horizontal et If) eonrani primitif nul, (2tj), (26), (27) s’écrivent respectivement, ^{uit aux formules} ~0) :

D’un autre côté, la formule (2) ^tient compte de l’inclinaison et de la courbure des filets fluides ; relativement à l’influence des parois,

son approximation ^{est la même} que ^{celle de} la dernière formule ~8);

de sorte que, ^{si nous} introduisons dans celle-ci les termes prove- nant de l’inclinaison et de la courbure des filets fluides, ^{il vient :}

après ^avoir posé :

dont la différence avec l’unitte est due à la tensioti ~llr(’rficit~lle,

Nous aurions pu arriver directement à la ^{foi’nutl’} .,>iiij>1.t,> ~’29)

en menant de front les calculs de 1I. Houssinesq ^{et ceux} qu’ ^nous

venons d’exposer.

~’II. Co~z~~tu~ions.

L’influence de la t’M~’~’t ,iij>,,ili.i,,11, ^{~m~ la}

vitesse de prcy~,~ ~1 ut ~i ~u ^{des undes} pa.’allell’s.I

¹¹ -surface d une lame

liquide ^est marquée par l’iiitruduction, ^{dans 5uu Icrine} qui dépend ^de

836

la courbure équatoriale de la surface cylindrique ^{de l’onde, d’un}

facteur égal ^{à l’excès sur} l’unité du triple rapport ^{de la} tension super- ficielle au poids spécifique ^du liquide multiplié par le carré de 1 Ïn-

verse de l’épaisseur normale de la lame.

Si l’onde est complètement positive, ^{elle est} retardée dans ses

parties ^{concaves et accélérée dans ses} parties ^convexes.

Si l’onde est complètement négative, ^{elle est retardée dans ses} parties ^{convexes et accélérée dans ses} parties ^concaves.

Si l’onde totale se compose d’ondes partielles, positives ^convexes

et négatives ^{concaves, elle est accélérée en toutes ses sections.}

Ces diminutions et augmentations ^{de vitesse sont en} raison directe de la tension superficielle ^{et en raison} inverse du poids spécifique

du liquide ^et du carré de la profondeur ^normale.

VIII. Évalîtations numériqzces.

^{Le facteur F trouvé} est, ^en géné- ral, extrêmement voisin de l’unité; mais, pour de faibles épaisseurs

de liquide, ^son influence devient rapidement ^très importante.

FIlt, 1.

Adoptons ponr tension superficielle ^de l’eau à 15° 1’ = 7~r ,3, ^avec

le mètre pour unité de longueur, ^{et calculons F} pour des épaisseurs

de liquide ^de plus ~en plus petites : l’influence de F est encore très faible _pour une profondeur ^{de 10} centimètres et moins, jusqu envi-

ron 1.m,ij ; voici, entre ces limites, de centimètre en centimètre. les

résultats obtenus :

A partir ^de H~ =0~0i~ la valeur de F descend sous 0.1) et son

influence augmente rapidement pour des profondeurs ^de liquide

inférieures à U’n,01 . ^Pour Il 0 ^{voisin de} o°°,UU~, ^F passe par ^{z’r" et} l’in- fluence de la tension superficielle compense celle des ct ~m~l ~n res i

pour ^une couche moins épaisse, c~jllt~-1~ renverse c~~~ll~~-~i, F !uBi’nt

négatif ^et augmente rapidement ^en valeur absolue.

Le tableau suivant donne les valeurs de F relatives à l’eau à 15" et au mercure à 1?1° pour des épaisseurs ^de liquide variant de milli- mètre en millimètre à partir ^de 1-Io - ^{(~2. Pour le mercure ii 1~ .}

nous avons pris 1’ = 47 grammes par Illl’ll’l’.

IX. Courbes de 1~ .

Les valeurs de F sont données gr’aphi- quement ^{en fonction de} Ho, pour chaque liquide ^à température déterminée, par ^une courbe de troisième degl’t’l fa.il> ii tracer. Nous donnons ici ces courbes relatives à l’eau à f~)" et 1U iii>i~ciir- ii même

température, ^a peu près ^{dans les liniites} du tableau numérique pré-

cédent.