ONDES DE SURFACE DANS UN CRISTAL LIQUIDE NÉMATIQUE

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Submitted on 1 Jan 1970

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ONDES DE SURFACE DANS UN CRISTAL LIQUIDE NÉMATIQUE

M. Papoular, A. Rapini

To cite this version:

M. Papoular, A. Rapini. ONDES DE SURFACE DANS UN CRISTAL LIQUIDE NÉMATIQUE.

Journal de Physique Colloques, 1970, 31 (C1), pp.C1-27-C1-28. �10.1051/jphyscol:1970104�. �jpa- 00213735�

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C 1, supplément au no 4, Tome 31, Avril 1970, page C 1 - 27

ONDES DE SURFACE DANS UN CRISTAL LIQUIDE NÉMATIQUE

M. PAPOULAR et A. RAPINI Laboratoire de Physique des Solides (*)

Faculté des Sciences, 91-Orsay

Résumé. - Le couplage entre degrés de liberté hydrodynamiques et d'orientation moléculaire affecte la structure et la dispersion des modes de surface d'un liquide nématique. Les modifications prévues pourraient être détectées optiquement, fournissant ainsi une mesure des viscosités et de la tension superficielle.

Abstract. - The coupling between hydrodynamic and orientational degrees of freedom modifies the structure and dispersion of surface modes in a nematic liquid. The predicted changes could be optically detected, leading to a measure of viscosity coefficients and surface tension.

1. Dans un cristal liquide nématique, les molécules, Re(mj) > O ; la sommation sur l'indice j est implicite ; de forme oblongue, sont orientées parallèlement les on ne reproduira pas dans la suite le facteur de phase unes aux autres en moyenne. L'agitation thermique - ei(qX+W').

excite des fluctuations d'orientation qui sont couplées à

l'écoulement hydrodynamique du fluide. Nous étudions Ainsi q//Ox et Oz représente la verticale ascendante, l'origine étant prise à la surface même. Il est commode ici, parmi ces petits mouvements mixtes, ceux qui sont

de passer au repère (1, 2, z ) les axes 1 et 2 étant respec- localisés à la surface libre du liquide, supposé incom-

tivement parallèle et perpendiculaire à l'orientation pressible. Nous partons des équations hydrodyna-

moyenne no. Les équations de Leslie [l], linéarisées, miques de Leslie [l]. Elles font intervenir six coeffi-

donnent alors cinq solutions pour les grandeurs cients (a,) ayant les dimensions et l'ordre de grandeur

x . = mf - q 2 ; d'une viscosité, et satisfaisant aux relations [2] :

Modes où v, = O ccz + a, = a, - a, ; a, - a, ^E a, - cc,. (1)

Yous avions déjà examiné ce problème [3], et obtenu des résultats de même nature que ceux du présent tra- vail, mais à partir de relations arbitraires entre les a,.

Nous négligerons ici tout effet magnétique (en dehors de l'effet banal d'alignement, assuré par des champs relativement faibles), mais nous prendrons un angle ^p quelconque entre l'orientation moyenne no et le vecteur d'onde de surface q. A la surface même, les molécules seront supposées parallèles à la surface, comme c'est le cas en général.

2. Structure des modes de surface. - Appelons v la vitesse hydrodynamique ; n = no + an, le vecteur unitaire définissant l'orientation locale ; p, la masse spécifique du liquide ; p, la pression. Nous cherchons, pour toutes ces grandeurs, des solutions de la forme :

= e i ( q x + w t ) x ^m

.x e , etc. (2)

(*) Laboratoire associé au C . N. R. S.

i p o

x2 = - + ^r+)q2 cos2 p .

Y Modes où ^21, # O

K est une constante d'élasticité isotrope de Frank (voir [3]), et les notations suivantes ont été utilisées :

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1970104

C l - 2 8 M. PAPOULAR ET A. RAPIN1 Les relations (1) montrent que y, = - y, et a, est

petit ; yl et E sont des grandeurs positives [l].

3. Conditions aux limites. - A la surface, les contraintes et la composante normale du couple exercé par le mouvement hydrodynamique sur l'orien- tation moléculaire, doivent s'annuler ; de plus, n est tangent à la surface. Soit :

An, ⁼ O .

Dans la première de ces équations, a4 = 2 y repré- sente la viscosité ordinaire et A est la tension super- ficielle. Nous avons utilisé la notation conventionnelle

k et 1 représentant 2 quelconques des coordonnées (1, 2, ^{2 ) .} Substituant les relations (2 - 5) dans les éq. (6), leur condition de compatibilité, c'est-à-dire la relation de dispersion des modes de surface, apparaît sous forme d'un déterminant 5 x 5. Celui-ci est largement simplifié par le fait que le nombre sans dimension Kp/y2 est, en pratique, très inférieur à 1 (typiquement :

-

-

4. Régimes capillaire et visqueux. - Le détermi- nant se simplifie encore si l'on se souvient que a, est petit. Il se réduit à :

Considérons maintenant le paramètre sans dimen- sion : 5; ⁼ Ap/y2 q. Si (i & 1 (les effets de capillarité dominent par rapport aux effets de viscosité), la rela- tion (7) se réduit à :

Ce qui représente un mode oscillant faiblement amorti.

Pour ^q = 71/2(q 1 no), ce mode se réduit bien au mode capillaire habituel d'un liquide ordinaire, puisque les mouvements hydrodynamiques et d'orien- tation sont découplés pour cp = n/2.

Dans le cas opposé li < 1, on trouve deux modes purement relaxationnels de structure compliquée, qui néanmoins se réduisent, pour cp = 7712, aux modes de surface habituels, « lent » et « rapide », d'un liquide visqueux ordinaire :

5. Remarques. - Ces caractéristiques de dispersion pourraient être détectées par analyse spectrale de lumière cohérente diffusée par, la surface ; choisir

un écart angulaire 68, par rapport à la réflexion spé- culaire, revient à sélectionner une longueur d'onde de surface : q - ^l

-

Donc, avec A

-

-

(tg ^< 1) par simple variation de 60. Nous avons déjà signalé [3] que cette méthode fournirait une évaluation des viscosités et une mesure précise de la tension super- ficielle ; le mode le plus facile à séparer dans le spectre serait probablement le mode capillaire [doublet (éq. 8)]. Il est noter que du point de vue de la dif- fusion de la lumière, les fluctuations d'orientation sont beaucoup moins efficaces en surface qu'en volume, car la «force de rappel » est bien plus intense (A $ Kg).

On peut montrer (à partir de la condition aux limites no 4 (g3)), que les contributions des fluctuations d'orien- tations d'une part, et des fluctuations de la surface elle-même d'autre part, ne seront pas en général lar- gement différentes. Enfin, une analyse en lumière pola- risée, permettrait de mettre en évidence la structure gauche (tridimensionnelle) des ondes de surface.

Bibliographie

Il] LESLIE (F. M.), Quart. J. Mech. App. Math., 1966, [2] PARODI (O.), à paraître au J. Physique.

19, 357. 131 PAPOULAR (M.), J. de Phys., 1969, 30, 406.