an, bn)son déterminant

MPSI B Année 2019-2020 Énoncé DM 18 pour le 01/06/20 23 mai 2020

Soienta1,· · · , an, b1,· · ·, bn des réels tels que

∀(i, j)∈J1, nK

2, i6=j⇒a_i6=a_j et b_i6=b_j

SoitC(a1, b1, a2, b2,· · · , an, bn)la matricen×n(dite de Cauchy) dont le coecient d'indice i, j est _ai+b¹ _j etc(a1, b1, a2, b2,· · ·, an, bn)son déterminant.

L'objet de cet exercice est d'obtenir, par deux méthodes diérentes une expression factorisée de ce déterminant.

1. Calculer60³c(1,1,2,2,3,3). 2. Opérations élémentaires.

a. Préciser l'opération élémentaire et les factorisations montrant que

c(a₁, b₁, a₂, b₂) = a₁−a₂ (a1+b1)(a1+b2)

1 1

1 a₂+b₁

1 a₂+b₂

En déduire l'expression factorisée dec(a1, b1, a2, b2).

b. On noteL_i la ligneide C(a₁, b₁, a₂, b₂,· · ·, a_n, b_n). Pouri∈J2, nKet j∈J1, nK, préciser le coecient dans la colonnej deL_i−L₁.

c. Montrer que

c(a1, b1,· · · , an, bn) = Qn

i=2(a1−ai) Qn

j=1(a₁+b_j)

1 1 · · · 1

1 a2+b1

1

a2+b2 · · · _a ¹

2+bn

... ... ...

1 a_n+b₁

1

a_n+b₂ · · · _a ¹

n+b_n

d. Montrer que

c(a1, b1,· · · , an, bn) = Qn

i=2(a₁−a_i)Qn

j=2(b₁−b_j) Qn

j=1(a1+bj)Qn

i=2(ai+b1)c(a2, b2,· · ·, an, bn) 3. Méthode algébrique.

On considére l'applicationF dénie dans une partie deRpar : x7→F(x) =c(x, b1,· · ·, an, bn)

a. Montrer queF est une fraction rationnelle. Préciser son degré et ses pôles.

b. Montrer qu'il existe un réelλet des polynômes unitairesAetBtels queF =λ_B^A. Préciser la forme factorisée deAet B. Montrer que

λ=

1 1 · · · 1

1 a2+b1

1

a2+b2 · · · _a ¹

2+bn

... ... ...

1 an+b1

1

an+b2 · · · _a ¹

n+bn

c. Comment retrouver la formule de la question 2.d. sans opérations élémentaires ?

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M1918E