Interrogation de cours n˚22

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013

D. Blotti`ere Math´ematiques

Interrogation de cours n˚22

Nom : Pr´enom :

Notation :Le symboleKd´esigneRouC.

Question 1 (2 points) :Soient Eet F deuxK-espaces vectoriels. Soitϕ:E→F une application. Donner la d´efinition de l’assertion : l’applicationϕest lin´eaire.

Question 2 (2 points) :SoientEetF deuxK-espaces vectoriels. Soitϕ:E→F une application. ´Enoncer le crit`ere du cours donnant une condition n´ecessaire et suffisante pour que l’applicationϕsoit lin´eaire.

Question 3 (1 point) :L’application

ϕ:R³→R⁴; (x, y, z)7→(x+z, x+z−1, y+z, x+y+z) est-elle lin´eaire ? Justifier la r´eponse.

Question 4 (2 points) :SoientE et F deuxK-espaces vectoriels. Soit ϕ∈ L(E, F). Donner la d´efinition du noyau Ker(ϕ) deϕ.

Question 5 (2 points) : Soient E et F deuxK-espaces vectoriels. Soit ϕ∈ L(E, F). ´Enoncer le crit`ere du cours donnant une condition n´ecessaire et suffisante pour que l’applicationϕsoit injective.

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Question 6 (2 points) :SoientE etF deuxK-espaces vectoriels. Soitϕ:E →F une application.

1. Donner la d´efinition de l’assertion :ϕest un isomorphisme.

2. On suppose queϕest un isomorphisme. Que dire de son application r´eciproqueϕ⁻¹?

Question 7 (2 points) :SoitEunK-espace vectoriel. SoientF1etF2deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires dansE. Donner la d´efinition de la projectionpdeE surF1 parall`element `aF2.

Question 8 (3 points) :SoitE unK-espace vectoriel. Soitϕ∈ L(E).

1. ´Enoncer le crit`ere du cours donnant une condition n´ecessaire et suffisante pour que l’application ϕ soit une sym´etrie de E.

2. On suppose que la condition ´enonc´ee 1. est v´erifi´ee. Pr´eciser alors les ´el´ements caract´eristiques de la sym´etrieϕ.

Question 9 (4 points) :SoientE et F deux K-espaces vectoriels. Soitϕ∈ L(E, F). Montrer que Ker(ϕ) est un sous-espace vectoriel de E.

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