Partie II

MPSI B DM 11 29 juin 2019

Partie I

Soita6= 1un réel xé, on considère l'ensembleS des suites réelles (w_n)_n∈Nvériant :

∀n∈N, wn+2= (2−a)wn+1+ (a−1)wn

On rappelle queS est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l'espace vectoriel surR des suites réelles.

1. Déterminer, suivant les valeurs deaune base de S.

2. Soitwun élément deS. Suivant les valeurs dea, exprimerwn pourn∈Nen fonction dew0et w1.

Partie II

SoitV unRespace vectoriel de dimension 3 et B= (u, v, w)une base de V. Les endo- morphismesf et gdeV sont dénis par les relations suivantes :

f(u) = 0V, f(v) =u−v, f(w) = 0V

g(u) = 0V, g(v) = 0V, g(w) =u−w

On pose aussi E ={ha,b,(a, b) ∈(R− {1})²} avec, pour aet b réels diérents de 1,h_a,b déni par

h_a,b= Id_V +af+bg

1. Montrer que(E,◦)est un sous-groupe commutatif du groupe(GL(V),◦)des automor- phismes deV.

2. Résoudre dansE les équations suivantes

(1) : h_a,b◦h_a,b=h_a,b, (2) : h_a,b◦h_a,b = Id_V

Partie III

On utilise les notations des parties I et II. Soitaun réel,a6= 1et M =ha,a. 1. Montrer queM² est combinaison linéaire deM etIdV.

2. Établir l'existence de deux suites réelles(αn)_n∈Net (βn)_n∈N telles que :

∀n∈N: Mⁿ=α_nM+β_nId_V avec

α_n+1 = xα_n+yβ_n βn+1 = x⁰αn+y⁰βn

etx,y,x⁰,y⁰ étant des réels à déterminer.

3. Vérier queα∈ S. En déduire l'expression deαn puis celle deβn en fonction den.

Partie IV

SoitA=h_2,2. On désigne parF le sous-espace vectoriel engendré par AetId_V. 1. (F,+,◦)est-il un sous-anneau de(L(V),+,◦)?

2. Existe-t-il dansF des éléments non nuls dont le produit (◦) soit nul ? 3. Quels sont les éléments deF dont le produit (◦) estId_V ?

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M0611E