TD n°1 - Première ES
Applications de la dérivation
Quelques gammes
Exercice 1. Fonctions polynômes
1. Étudier les variations de la fonctionf définie surI=[0;+∞[ parf(x)=x2−5x+1.
2. Étudier les variations de la fonctiongdéfinie surI=[0;+∞[ parg(x)=3x2+2x+1.
3. Étudier les variations de la fonctionhdéfinie surI=[0;+∞[ parh(x)=x3
3 −x2−8x+1.
4. Étudier les variations de la fonctionidéfinie surI′=[−10; 10] pari(x)=2x3−3x2−120x+1.
5. Étudier les variations de la fonctionjdéfinie surI=[0;+∞[ parj(x)=¡
x2+x+1¢2
. Réponses
(1.) f décroissante sur
· 0;5
2
¸
et croissante sur
·5 2;+∞
·
(2.) g croissante sur[0;+∞].
(3.) h décroissante sur[0; 4]et croissante sur[4;+∞[.
(4.) i décroissante sur[−4; 5]et croissante sur[−10;−4]∪[5; 10]. (5.) j croissante sur[0;+∞].
Exercice 2. Fonctions quotients
1. On considère la fonctionf définie sur l’intervalleI=[0;+∞[ parf(x)= 1 2x+3. 1. a. Montrer quef est bien définie sur cet intervalle.
1. b. Montrer que sur cet intervalle,f′(x)= −2 (2x+3)2. 1. c. Étudier les variations def surI.
1. d. Montrer que l’équation de la tangente àCf au point d’abscisse 1 esty= − 2 25x+ 7
25. 2. On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalleI=[0;+∞[ parg(x)= 1−x
x2+5. 2. a. Montrer quegest bien définie sur cet intervalle.
2. b. Montrer que sur cet intervalle,g′(x)=x2−2x−5 (x2+5)2 . 2. c. Étudier les variations degsurI.
3. On considère la fonctionhdéfinie sur l’intervalleI=[0;+∞[ parh(x)=1−x2 2x+5. 3. a. Montrer quehest bien définie sur cet intervalle.
3. b. Montrer que sur cet intervalle,h′(x)=−2x2−10x−2 (2x+5)2 . 3. c. Étudier les variations dehsurI.
Réponses
(1.) f décroissante sur[0;+∞[. (2.) g décroissante sur£ 0; 1+p
6¤
et croissante sur£ 1+p
6;+∞£ . (3.) h décroissante sur[0;+∞].
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Exercice 3. Une fonction
Soitf la fonction définie surI′′=]0;+∞[ par :
f(x)=x+1− 4 x2 1. Vérifier que sur cet intervalle :
f′(x)=(x+2)(x2−2x+4) x3 2. Montrer quef est croissante surI′′.
Exercice 4. Une fonction
Soitgla fonction définie surI=[0;+∞[ par :
g(x)=x4
4 −2x3+3x2 2 +10x 1. Vérifier que sur cet intervalle,g′(x)=(x+1)(x2−7x+10).
2. Étudier les variations degsurI.
Réponses
La fonction g est croissante sur[0; 2]∪[5;+∞[et décroissante sur[2; 5].
Résoudre des inéquations
Exercice 5. Étude de signe et inégalité
Soitf la fonction définie surRpar :f(x)=x3+x−10.
1. Démontrer quef est croissante surR.
2. Vérifier quef(2)=0.
3. Donner le signe def surR.
4. En déduire la résolution de l’inéquationx3>10−x.
Réponses
f est positive sur[2;+∞[et négative sinon. Donc x3>10−x⇐⇒f(x)>0⇐⇒x∈]2;+∞[.
Exercice 6. Étude de signe et inégalité
Soitf la fonction définie sur ]0;+∞[ par :f(x)=x2−1 x. 1. Démontrer quef est croissante sur ]0;+∞[.
2. Calculerf(1).
3. Donner le signe def sur ]0;+∞[.
4. En déduire les solutions de l’inéquationx2≤1 x. Réponses
f est positive sur[1;+∞[et négative sur]0; 1]. Donc x2≤1
x⇐⇒f(x)≤0⇐⇒x∈]0; 1[.
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Lectures graphiques ... et conjectures
Exercice 7. D’étranges conjectures : Position relative par rapport à une tangente Partie A : Lectures graphiques
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
−0.5
−1.0
−1.5
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
−0.5
−1.0
−1.5
b
A
C
f(T )
Soitf une fonction définie et dérivable surR.
Johan a des difficulté à régler l’écran d’affichage de sa calculatrice. Il a ainsi obtenu une partie du graphe de la courbeCf représentative def ainsi que (T), la tangente àCf au pointA(2 ; 1).
1. Par lecture graphique :
1. a. Conjecturer le tableau de variations def. 1. b. Déterminer l’équation de la tangente (T).
1. c. Conjecturer la position relative deCf par rapport àT.
Partie B : Par le calcul
La fonctionf est définie surRpar :
f(x)=x3−2x2+1 1. Établir les variations def surR.
2. Montrer qu’une équation de la tangenteT àCf au point d’abscisse 2 esty=4x−7.
3. Pour étudier la position deCf par rapport àT, on considère la fonctiongdéfinie surRpar : g(x)=f(x)−(4x−7)
3. a. Étudier les variations degsurR.
3. b. Après avoir remarqué queg(−2)=0, déduire du tableau de variation deg, le signe deg. 3. c. En déduire la position relative de deCf par rapport à (T).
4. Vérifier ce résultat à l’aide de la calculatrice et ... comparer vos conclusions avec les conjectures émises dans la partie A.
Réponses
Sur[−2;+∞[, g(x)≥0doncCf est au dessus de T . Sur]−∞;−2], g(x)≤0doncCf est au dessous de T .
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