Devoir (III,1) du 10 mai 2016 - Corrigé Exercice 1: Soient les cercles donnés par: 1)

(1)

LGL Devoir en classe 2015-16 _______________________________________________________________________________________

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AB Beran - 2015-16-3C1-Corrige-III1.doc Bonne Chance et Bon Courage - 1 -

Devoir (III,1) du 10 mai 2016 - Corrigé

Exercice 1:

Soient les cercles donnés par:

     

   

2 2

2 2 2

1 2 2

2 2

3

4 8 15 0 3 1 avec 2; 2

3 4 5

x y x y x y r A

x y

             

    

C C C

C

1) Déterminez le centre et le rayon de chacun des cercles C₁etC₂ .

2) Vérifiez si les points ^P



^{1; 2 et}^



^Q



^{0; 3}^



appartiennent au cercle C₁. Représentez ces cercles

1et 2

C C dans un r.o.n..

3) Déterminez les équations cartésiennes des cercles C₃ etC₄ , sachant que C₄ est le cercle de diamètre RS , avec ^R

 

^{2;6 et} ^S



^10,8



^.

4) Démontrez par un calcul que les deux cercles C₃ etC₄ se coupent suivant la droite d’équation 8

d   y x . Déduisez-en les coordonnées des points d’intersection de ces cercles C₃etC₄. _______________________________________________________________________________________

Ad 1) C₁x²y²4x8y150 C 2α 4 D 2β 8 Eα²β²r²15

 

       

     

   

2

1 1

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

? !

1 1

? !

1 1

α 2 β 4 4 16 15 5 5 Ω 2; 4 , 5

3 1 avec 2; 2 Ω 3;1

1 3 10 10 Ω 3;1 , 10

1; 2 1 4 4 16 15 0 0 0 1; 2

0; 3 0 9 0 24 15 0 0 0 0; 3

r r r

x y r A

A r r r r

P P

Q Q

         

        

          

            

C

C C

Ad 2)

(2)

_______________________________________________________________________________________

Ad 3) ^C³^



^x^³

 

²^ ^y^⁴



²^⁵ ^_^C³



^{Ω 3;4 ,}³

 

^r^ ⁵



^_

       

 

   

2 2 2 2

3 3

4 4

2 2 2 2

4

2 2

3 4 2 2

6 9 8 16 5 0 6 8 20 0

: ; , on a: 0 2 10 6 8 0

12 20 14 48 0 12 14 68 0

6 8 20 0 1

12 14 68 0 2

1 2 : 6 6 48 0 : 6

x x y y x y x y

M x y RM SM x x y y

x x y x x y x y

x y x y

x y

              

         

             

     

  

    



   

C C

C

C C

 

   

²

 

²

 

2 2

8 3

3 1 : 8 6 8 8 20 0

16 64

d y x

dans x x x x

x x x

    

         

    6x8x64

   

2 2

20 0

2 14 20 0 7 10 0

2 3 : 6 2;6

5 3 : 3 5;3

x x x x

x dans y R

x dans y D

 

       

   

 

  



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Exercice 2:

Soient les points ^A

  

^{2;1 ,}^B ^^3;3



donnés dans un repère orthonormé



^{O i j}^{; ;}



^.

1) Déterminez la distance de ces deux points ^AB^^{dist A B}



^;



^.

2) Déterminez, par le calcul, la distance du point A à la droite d d’équation d2x  y 3. (Il vous est permis d’utiliser la formule vue au cours et vérifiée sur des exemples !)

3) Déterminez l’équation cartésienne d’un cercle passant par les trois points

   

^{2;3 ,} ^{6;5 et}



^{6; 1}



P Q R  !

_______________________________________________________________________________________

Ad 1) ^A

  

^{2;1 ,}^B ^^3;3





;

    

Δ ² Δ ²



3 2

 

² 3 1



² 25 4 29 . . ( ) ABdist A B  x  y         u l unité de longueur Ad 2) d2x  y 3 0 équation cartésienne de cette droite !

 

2 2 2 2

2 2 1 3 8 8 5

; . . ( )

5 5 2 1

A A

a x b y c

dist A d u l unité de longueur

a b

      

   

 

(3)

_______________________________________________________________________________________

Ad 3) P

   

2;3 ,Q 6;5 etR



6; 1 



C5x²y²     C x D y E 0

   

 

     

       

5 5 5

2;3 4 9 2 3 0 1 2 3 13 1

6;5 36 25 6 5 0 2 6 5 61 2

6 37 3

6; 1 36 1 6 0 3

3 1 : 4 4 24 6 4

3 2 : 6 24 4 4 : 10 1 : 19

P C D E C D E

Q C D E C D E

C D E

R C D E

C D C D

D D dans C dans E

            

 

             

             



       

        

C C C

D’où : C₅x²y²10x4y190 Illustration de la situation :

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Répartition des points: 36 + 20 + 4 (présentation)