Devoir (III,1) du 22 mai 2017

(1)

Soit la fonction f donnée par son expression :

 

² ² ² ² ⁵

2 2

x x x

f x x

  

 

Etudiez cette fonction en n’accomplissant que les étapes indiquées :

Domaines de définition et de dérivabilité, limites et asymptotes, calcul de la (des) fonction(s) dérivée(s) _______________________________________________________________________________________

Exercice 2 Mathé II - Analyse

1) Soit la fonction f donnée par son expression :

   

2 2 3

2 2 1

x x

f x x

 

 



 Déterminez les domaines de définition et de dérivabilité de f

 Déterminez les limites aux bords des domaines et étudiez le comportement asymptotique de cette fonction f

 Recherchez les extréma éventuels de cette fonction et dressez un tableau de variation

 Esquissez le graphe de cette fonction en précisant le comportement à des points particuliers 2) Est-ce que la fonction g , donnée par son expression

 

2

3 1 1

1 g x x x

x x

    

 , admet une

asymptote oblique ? Motivez votre réponse et indiquez l’équation de cette asymptote, si elle existe ! _______________________________________________________________________________________

Exercice 3 : Mathé II - Analyse

Un champ rectangulaire (longeant un ruisseau) doit être entouré de 3 côtés par une clôture. Disposant d’une clôture d’une longueur totale de 144 m, comment faut-il choisir les dimensions de ce champ pourque l’aire soit maximale ?

_______________________________________________________________________________________

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(2)

Devoir (III,1) du 22 mai 2017

- suite

Exercice 3 Mathé I – Matrices et déterminants

1) Additionnez et multipliez les matrices suivantes, si cela est possible. Sinon, expliquez le pourquoi de l’impossibilité du calcul.

3 1 1 3 2

) 2 2 2

5 2 1

1 4 3

1 0 3

2 4 5

) 4 5 6 3

2 2 1

2 1 3

2 3 3 4

) 4 5 2 2 2

6 1 2 6

a A B A B A B

b C D C D C D

c E F E F E F

 

    

 

      

 

    

       

 

   

   

      

     

   

2) Calculez les déterminants des matrices carrées données :

2 1 1 0

2 3 1

4 0 1 0

1 2 4

1 1 1 2

3 1 3

2 1 3 0

A B

  

    

   

    

3) Répondez par vrai V ou faux F aux questions suivantes , sans aucune motivation nécessaire : (principe d’évaluation : +2 points pour une réponse correcte ; 0 point pour absence de réponse ; -1 points pour une réponse fausse) : No risk, no fun !

a) En multipliant une rangée d’une matrice carrée par 3, la valeur du déterminant de cette matrice est triplée

b) En additionnant deux équations d’un système d’équations, la solution du système change de valeur

c) Le déterminant d’une matrice carrée triangulaire est égal à la somme des valeurs de la première diagonale

d) Le déterminant d’une matrice rectangulaire quelconque est toujours nul

_______________________________________________________________________________________

Répartition des points: 13 + 15 + 8 + 22 (7+7+8) + 2 (présentation)

(3)

Soit la fonction f donnée par son expression :

 

² ² ² ² ⁵

2 4

x x x

f x x

  

 

Etudiez cette fonction en n’accomplissant que les étapes indiquées :

Domaines de définition et de dérivabilité, limites et asymptotes, calcul de la (des) fonction(s) dérivée(s) _______________________________________________________________________________________

Exercice 2 Mathé II - Analyse

3) Soit la fonction f donnée par son expression :

   

2 4 3

2 2 1

x x

f x x

 

 



 Déterminez les domaines de définition et de dérivabilité de f

 Déterminez les limites aux bords des domaines et étudiez le comportement asymptotique de cette fonction f

 Recherchez les extréma éventuels de cette fonction et dressez un tableau de variation

 Esquissez le graphe de cette fonction en précisant le comportement à des points particuliers 4) Est-ce que la fonction g , donnée par son expression

 

2

2 1 5

1 g x x

x

  

 , admet une asymptote oblique ? Motivez votre réponse et indiquez l’équation de cette asymptote, si elle existe !

_______________________________________________________________________________________

Exercice 3 : Mathé II - Analyse

Un champ rectangulaire (longeant un ruisseau) doit être entouré de 3 côtés par une clôture. Disposant d’une clôture entourant une superficie d’une aire de 216m² , comment faut-il choisir les dimensions de ce champ pour que le périmètre soit maximal ? Cela aurait dû être minimal !

_______________________________________________________________________________________

(4)

Devoir (III,1) du 22 mai 2017

- suite

Exercice 3 Mathé I – Matrices et déterminants

4) Additionnez et multipliez les matrices suivantes, si cela est possible. Sinon, expliquez le pourquoi de l’impossibilité du calcul.

3 1 1 3 2

) 2 2 2

5 2 1

1 4

3 1 0 3

2 4 5

) 1 4 5 6 3

2 2

2 1 3

2

2 3 3 4

) 4 5 2 2 3 2

6 1 2 6

a A B A B A B

b C D C D C D

c E F E F E F

 

    

 

       

 

  

 

       

 

   

   

      

     

   

5) Calculez les déterminants des matrices carrées données :

2 1 1 5

2 3 1

0 2 1 2

1 3 4

1 1 1 2

3 1 3

2 1 3 0

A B

  

    

   

     

_______________________________________________________________________________________

Répartition des points: 13 + 15 + 8 + 22 (7+15) + 2 (présentation)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)