Examen LM346 ”Processus et simulations”, 2`eme session 2012–2013, corr´ection.
(1) Sujet 0. On simuleX1, . . . , X6, on poseXi = 1 si Ui <0.35 etXi = 0 sinon. On a 001100. Sujet 1: 001011.
Sujet 2: 000110. Sujet 3: 010011. Sujet 4: 010110.
(2) La loi BinomialeB(n, p) se repr´esente comme la somme de nlois de Bernoulli ind´ep. Sujet 0: 2. Sujet 1: 3.
Sujet 2: 2. Sujet 3: 3. Sujet 4: 3.
(3) La r´ealisation de la premi`ere valeur ”1” par une suite de v.a. ind´ep. de loi de Bernoulli de param`etre p. Sujet 0: 3. Sujet 1: 3. Sujet 2: 4. Sujet 3: 2. Sujet 4: 2.
(4) Par la m´ethode de Mont´e-Carlo ceci vaut (1/6)P6
i=1exp(−u2i) o`u lesui sont donn´es dans l’´enonc´e comme les r´ealisations de 6 v.a. ind´ep. de loi uniforme sur [0,1]. (Les nombres d´ependent du sujet, `a remplacer par vous-mˆeme).
Il fallait ´enoncer la loi de grands nombres (voir le cours).
(5) On a (X1, Y1),(X2, Y2),(X3, Y3) les r´ealisations de v.a. ind´ep. de loi uniforme sur [0,1]. On chercheν = min{i: Yi< fZ(Xi)}et on poseZ=Xν. Sujet 0 : 11/12>exp(−(p
ln(1.2))2) = 10/12, 13/21>exp(−(p
ln(2.1))2) = 10/21 mais 9/17<exp(−(p
ln(1.7))2) = 10/17, doncZ= 9/17. De mˆeme, Sujet 1: 1/2, Sujet 2: 1/16. Sujet 3:
9/13 , Sujet 4: 5/14.
(6) SoitT cette temp´erature moyenne. (QN−T N)/√
N×1 est une variable al´eatoire Gaussienne de param. (0,1).
Soit q = q0.005 la quantile de cette loi Gaussienne. Alors P(−q0.005 < (QN −T N)/√
N < q0.005) = 0.99.
T ∈[(QN −q0.005
√N)/N; (QN +q0.005
√N)/N].
(7) On poseVN =KN2/N−(QN/N)2. D’apr`es le cours (QN/N−T)
√N−1
√VN est de loi de Student de N−1 degr´es de libert´e. L’intervalle de confiance [QN/N−s0.005p
VN/(N−1) ; QN/N+s0.005p
VN/(N−1)] o`u s0.005 est la quantile de cette loi de Student.
(8) [(QN −q0.005√
N)/N ; (QN +q0.005√
N)/N] par le Thm de la limite Centrale qu’il fallait ´enoncer.
(9) CommeVN =KN2/N−(QN/N)2 converge p.s. vers la variance de ces variables al´eatoires par la loi de grands nombres, alors (QN −T N)/√
N×VN converge en loi vers la loi Gaussienne par le Thm de la limite centrale.
L’intervalle de confiance asymptotique [(QN −q0.005
√N VN)/N; (QN +q0.005
√N VN)/N].
(10) Le premiet ´etat est r´ecurrent, le deuxi`eme est transient. Pouri= 4, cette limite vaut 0 car N4<∞p.s., pour i6= 4, cette limite vaut 1 carNi=∞p.s.
(11) Les classes r´ecurrentes sont{2,3,5}et{1,6}. Cette probabilit´e vaut 1 car dans la classe r´ecurrente tout ´etat est visit´e une inifint´e de fois p.s.
(12) On notehA=P(TA<∞ |X0= 4). On ah2,3,5= 1/12 + 1/4 + 1/12h2,3,5. Alorsh2,3,5= 4/11 =h2=h3=h5. Donch1,6= 7/11 =h1=h6.
(13) La mesure invariante est (c1(7/25), c2(1/3), c2(5/12),0, c2(1/4), c1(18/25)),c1, c2∈[0,1]. On a aussic1+c2= 1.
(14) La classe{2,3,5} (et aussi {1,6}) est r´ecurrente et ap´eriodique (p11 >0 et p22 >0) donc cette limite vaut un des nombres : 7/25, 18/25, 1/3, 5/12, 1/4 en fonction du num´ero du sujet.
(15) C’est le produit de vos r´esultats : le premier r´esultat de la Q. (12) et le r´esultat de la Q. (14).
(16) C’est 0 car 4 est transeint.
(17) Le premier nombre est un des nombres 25/7,25/18,3,12/5,4 en fonction du num´ero du sujet. Le deuxi`eme nombre est∞carP(T4<∞ |T0= 4)<1.
(18) C’est une des mesures invariantes. Donc cette probabilit´e vaut cette mesure de l’´etat corr´espondant.
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