On appelle d´etermination continue de l’argument (not´e dca) def une application continue θ:O→Rtelle quef =|f|eiθ surO

(1)

Licence, Analyse Complexe, 2007

Exponentielle et logarithmes.

Exercice 1.

(1) Démontrer que l’applicationt→eîtest un homéomorphisme de ]−π, π[ surU\ {−1}. En déduire que l’exponentielle est un difféomophisme de B = {z ∈ C,−π < Imz < π} sur C\R⁻.

(2) D´eterminer l’image par l’exponentielle des droites Rez=cteet Imz=cte, ainsi que l’image du segment Rez=cteet Imz∈[0,2π[.

Quelques rappels: SoitO un espace topologique connexe, etf :O →C\ {0}une application continue. On appelle détermination continue de l’argument (noté dca) def une application continue θ:O→Rtelle quef =|f|eîθ surO. De même, on appelle détermination continue du logarithme (dcl) def toute application l:O→Ccontinue telle quef =e^lsurO.

i l est une dcl ssil= log|f|+iθ avecθ:O→Rune détermination continue de l’argument def. ii Deux dca def diffèrent par un multiple entier de 2iπ.

Exercice 2.

(1) Pour α0 ∈ [−π, π[, on note D_α₀ = R⁺e^iα⁰. Montrer que l’application R×]α0, α0+ 2π[

(x, y)→e^x⁺îy∈C\D_α₀ est un difféomorphisme. En déduire l’existence d’un logarithme continue surC\D_α₀ d’argument à valeurs dans ]α0, α0+ 2π[ (lorsqueα0=−π, on parle de la détermination principale de l’argument que l’on note Arg). Lorsqueα0 =−π, donner une formule explicite pour l’argument principale

(2) Soit U un ouvert deC. Montrer que toute dcl surU est holomorphe, de dérivée z→ 1 z. En déduire qu’elle est analytique surU. Soita∈C\R⁻. Développer en série entière de la variablez−ala détermination principale du logarithme. Quel est le disque de convergence D_a de cette série. Lorsque D_a∩(C\R⁻) n’est pas connexe, calculer la somme de cette série sur chaque composante connexe deD_a ∩(C\R⁻) en fonction de la détermination principale du logarithme. Soitz0 ∈ C\R⁻. Calculer Log(i−1) et Log(i−1)² Montrer que Log(z) = Log(1 +z−z0

z0 ) + log(z0) pour toutz∈D(z0, δ) avecδ=d(z0,R⁻).

(3) Comment doit on restreindre les applications suivantes pour qu’elle poss`ede une d´etermination principale de l’argument? z→z+ 1,z→z+i,z→z−i,z→z²+ 1.

(4) Donner le domaine de définition de la fonctionz→Log(z²+ 1)−Log(z−i)−Log(z+i) et calculer cette fonction sur chaque composante connexe de son domaine de définition.

(5) Supposons que l’application identique deUdans Uadmets une dcaθ. Montrer que θ est injective, en déduire que c’est un homéomorphisme deUsur un intervalle deR. En déduire qu’une telle application n’existe pas.

Exercice 3. Soit O un espace topologique connexe et f : O → C^∗ continue. On appelle d´etermination continue de la racinen−i`eme (dcrn) def toute application continue r:O→C^∗ telle quef =rⁿ.

(1) Démontrer que siO est connexe et sif possède une dcrnr alorsf possède exactement n dcrn déduites de rpar multiplication par les racinesn−ème de l’unité.

(2) Montrer que si f admet une dcl l alors eⁿ¹^l est une dcrn def (n ∈ N^∗). En particulier si la détermination principale Logf existe (f(O) ⊂ C\R⁻), on dira que eⁿ¹^Log^f est la détermination principale de la racinen−ième def. SurC\]−∞,0], montrer qu’il existe une unique dcrn d’argument dans ]−π

n,π

n[. Sur quel ouvert deCla détermination principale de la racine carrée dez→z²+ 1 est-elle définie?

(3) Plus généralement, pourα∈C, sif possède une dcll, on associe une puissanceα−ème de f parg=e^αl. On parle comme précédement de détermination principale de la puissance

1

(2)

α−i`eme def lorsquel= Logf (existe). Calculer la détèrmination principale dez→zⁱ au voisinage du pointi. Calculer toute les détèrminations deiⁱ.

Exercice 4.

(1) Trouver une d´etermination de (1−z²)¹² holomorphe sur Imz >0, continue sur Imz ≥0, valant 1 en 0.

(2) Traiter le mˆeme probleme dans le demi-plan Imz <0.

(3) En d´eduire qu’il n’existe pas de d´etermination de (1−z²)¹² continue surCet holomorphe surC\ {+1,−1}.

Exercice 5.

(1) Calculer sh(iz),ch(iz),sin(iz),cos(iz).

(2) Calculer|cosz|². (3) R´esoudre sinz=w.

Exercice 6.

(1) Soient a, b∈C. Sur quel ouvert z→Logz−a

z−b est-elle définie? Si Imb >Ima, comparer cette fonction avecz→Log(z−a)−log(z−b) sur l’intersection des domaines de définitions.

(2) Soient a < b ∈ R et c ∈ C, c > 0. Calculer Logz−a

z−b + Logz−b

z−c + Logz−c z−a sur C\triangle(a, b, c).