i) Justifier qu’il n’existe de d´etermination continue du logarithme sur aucun voisinage (point´e) de 0

Universit´e Lille 1 Master 1 Recherche

Analyse complexe 11 f´evrier 2016

Feuille 3

Autour du logarithme

On note Log la d´etermination principale du logarithme.

Exercice 1.

i) Justifier qu’il n’existe de d´etermination continue du logarithme sur aucun voisinage (point´e) de 0.

ii) Quel est le lien entre diff´erentes d´eterminations continues du logarithme sur une partie connexe du plan ?

iii) Pourz, z⁰ ∈C\]− ∞; 0], a-t-on Log(zz⁰) = Log(z) + Log(z⁰) ?

iv) Soit 0 < α < 1. Pour z ∈ C\]− ∞; 0], on pose z^α = exp(αLog(z)). V´erifier que cette d´efinition co¨ıncide avec celle connue sur ]0; +∞[, que|z^α|=|z|^α, et que (z^α)^1/α=z.

Exercice 2.

i) SoitU un ouvert simplement connexe deC. On suppose quef est holomorphe et ne s’annule pas sur U. Montrer que f admet unrel`evement, c’est-`a-dire qu’il existe g holomorphe sur U telle que f = exp(g).

ii) Montrer qu’il n’existe pas de fonctionf holomorphe surCv´erifiant f◦f = exp (on pourra commencer par montrer qu’une telle fonction admettrait un rel`evement).

Exercice 3.

i) D´eterminer le domaine de d´efinition de Log(z²−1).

ii) Montrer qu’il existe surU =C−[−1; 1] une d´etermination holomorphe de√ z²−1.

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