Il est clair par convergence normale quef est définie et continue sur [−1,1]

PSI* — 2019/2020 — Corrigé partiel du T.D. 06 Page 1 7. Je considère la fonction sommef de la série entière

n≥3

xⁿ

(n+ 1) (n−2), de sorte que α=f(1/2).

Il est clair par convergence normale quef est définie et continue sur [−1,1]; en effet sup

x∈[−1,1]

xⁿ

(n+ 1) (n−2) = 1

(n+ 1) (n−2) ∼ 1

n² et 1

n² converge car2>1 (Riemann).

Pourx non nul fixé dans ]−1,1[, je calcule f(x) en écrivant (habilement) 1

(n+ 1) (n−2) = 1 3

(n+ 1)−(n−2) (n+ 1) (n−2) = 1

3 1

n−2− 1 n+ 1 , d’où (les deux séries convergeant car |x|<1)

f(x) = 1 3

∞

n=3

xⁿ n−2 −

∞

n=3

xⁿ

n+ 1 = 1

3 −x²ln (1−x) + 1

x ln (1−x) +x+x² 2 + x³

3 (attention aux puissances dex et aux premiers termes. . . ). Ainsi

f(x) = 1 3

∞

n=3

xⁿ n−2−

∞

n=3

xⁿ

n+ 1 = 1 3

1−x³

x ln (1−x) + 1 +x 2 +x²

3 En particulier pourx= 1/2 j’obtiens

α= 1 3

7 4ln1

2+ 1 + 1 4+ 1

12 autrement dit

α= 16−21 ln 2

36 ≈0,0401.

Noter que l’expression def(x)ci-dessus permet de retrouver par continuité (heureusement !) f(0) = 0, puisqueln (1−x) ∼

x→0−x, et de calculer, toujours par continuité, f(1) = 11

18 et f(−1) = 5 18 −2

3ln 2.

Ne pas oublier pour ce raisonnement de justifier la continuité, comme cela fut fait ci-dessus grâce à la convergence normale. . .