La fonctionθ7→f eiθ −iθest continue sur Rconnexe, `a valeurs dans le discret 2πiZ, donc constante ´egale `a 2kπi(k∈Z)

ENS Lyon - L3 9 f´evrier 2009 Analyse complexe

Autour du logarithme complexe Corrig´e

Soit Ω⊂C^∗. Un logarithmesurΩest une fonction continue f : Ω→Cv´erifiant exp◦f =idΩ. 1. Montrer qu’il n’existe pas de fonction logarithme continue sur le cercle unit´e.

Rappelons que siz∈C,e^z=e^Reze^iImz a pour modulee^Rez, et donc e^z= 1⇐⇒z∈2πiZ.

Supposons par l’absurde que f soit un logarithme continu sur le cercle, alors pour tout θ ∈ R, exp f(e^iθ)

=e^iθ, autrement ditf e^iθ

−iθ∈2πiZ. La fonctionθ7→f e^iθ

−iθest continue sur Rconnexe, `a valeurs dans le discret 2πiZ, donc constante ´egale `a 2kπi(k∈Z). En particulier, on obtient une contradiction en ´evaluant cette fonction enθ= 0 etθ= 2π.

2. Quel est le lien entre les diff´erents logarithmes sur un ouvert connexe donn´e ?

Si f etg sont deux logarithmes surU ⊂Cun ouvert connexe, alors la fonction e^f−g est constante

´egale `a 1 surU, et par le mˆeme argument que dans la question pr´ec´edente on en d´eduit qu’il existe k∈Ztel quef =g+ 2kπi.

3. Montrer que tout logarithme f sur un ouvert de Cest holomorphe de d´eriv´eef^′(z) = 1/z.

Soit Ω un ouvert deC^∗etf un logarithme surU. Soitz0∈Ω. On sait que la fonction exponentielle est holomorphe surC, de d´eriv´eee^f(z0)6= 0 au pointf(z0) : d’apr`es le th´eor`eme d’inversion locale pour les fonctions holomorphes, il existeV un voisinage ouvert def(z0) dansC, etW un voisinage ouvert de e^f(z0) =z0, tels que exp induise une application bijective holomorphe deV sur W, de r´eciproqueg:W →V holomorphe. Quitte `a restreindreW (et doncV), on peut supposer queW est un petit disque centr´e enz0et inclus dans Ω.

Sur W connexe, on a donc l’´egalit´ee^g=idW =e^f|W et d’apr`es la question 2,f|W est ´egale `a g `a une constante additive pr`es : en particulier f est holomorphe sur W, c’est-`a-dire au voisinage de z0. Comme l’holomorphie est une notion locale, la fonctionf est holomorphe sur Ω.

On a alors e^f′

=f^′e^f = 1, autrement dit pour toutz∈Ω, 1 =zf^′(z).

R´eciproquement, montrer que toute fonction holomorphe sur un ouvert connexeΩ, de d´eriv´ee1/z, est un logarithme surΩ`a constante additive pr`es.

Soitf holomorphe sur Ω, telle quef^′(z) = 1/z:∀z0∈Ω, z e^f

′

(z0) =e^f(z0)−z0f^′(z0)e^f(z0) e^2f(z0) = 0.

Puisqu’on a suppos´e Ω⊂C^∗ connexe, on en d´eduit que la fonctionz/e^f est constante (non nulle)

´egale `a c = re^iθ. Par cons´equent, pour tout z ∈ Ω, z = ce^f(z) =e^{f(z)+(lnr+iθ)}. Ainsi la fonction f + (lnr+iθ) est un logarithme sur Ω.

4. Montrer qu’on peut d´efinir une fonction logarithme surCpriv´e d’une demi-droite issue de 0 quel- conque.

Soit Lune demi-droite issue de 0 : l’ouvertC\L est ´etoil´e, donc la fonctionz 7→1/z admet une primitive holomorphe f sur C\L. Vu 3., il existeλ∈Ctel que f +λsoit un logarithme sur cet ouvert. Les logarithmes surC\Lsont en fait exactement lesf+λ+ 2πik,k∈Z.

On appelled´etermination principale, et on noteLog, la branche du logarithme d´efinie sur le domaine Ω =C\]− ∞; 0]et s’annulant au point 1 (contrainte qui ´etait oubli´ee dans l’´enonc´e).

a) CalculerLog(re^it)en fonction der >0ett∈]−π;π[. Quelle est la restriction deLog`a]0; +∞[? Soitr >0 ett∈]−π;π[ :

re^it=e^Log(^reit) =e^Re(^Log(reit))e^iIm(^Log(reit)). 1

Donc Re Log(re^it)

= lnr et Im Log(re^it)

= t mod 2π. Comme t 7→ Im Log(re^it)

−t est continue, `a valeurs dans le discret 2πZ, elle est constante. Autrement dit, il existek∈Ztel que

∀r >0, ∀t∈]−π;π[, Log re^it

= lnr+it+ 2kπi.

La condition Log(1) = 0 force k = 0. En particulier, avec t = 0, on voit que la d´etermination principale du logarithme sur Ω co¨ıncide sur ]0; +∞[ avec la fonction ln (ce qui ne serait pas le cas pour un choix diff´erent de la constante k).

Remarque : puisque z 7→ |z| est continue, cela montre que l’application qui `a z associe son argument dans ]−π;π[ est continue sur Ω.

b) Montrer que la d´etermination principale du logarithme est d´eveloppable en s´erie enti`ere autour de 1 et queLog(1 +z) =P+∞

1

(−1)ⁿ⁺¹zⁿ

n .

Sur le disqueD(1,1), la s´erie enti`ereS donn´ee dans l’´enonc´e est convergente, de d´eriv´ee (holo- morphe)

+∞

X

1

(−1)ⁿ⁺¹nzⁿ⁻¹

n =

+∞

X

0

(−1)ⁿzⁿ

n = 1

1 +z.

D’apr`es 3., Log<sup>′</sup>(1 +z) =S<sup>′</sup>(z), et puisque Ω est connexe on obtient Log(1 +z) =S(z) +c, o`u c= Log(1)−S(0) = 0.

c) D´eterminerΩ^′:= Log(Ω). Dessiner l’image par l’exponentielle du quadrillage en lignes horizon- tales et verticales de Ω^′.

Tout point de Ω s’´ecrit (de fa¸con unique) re^it avecr >0,t∈]−π;π[, et Log re^it

= lnr+it: ainsi Log(Ω) est la bande{x+iy/ x∈R, y∈]−π;π[}.

Une droite horizontale d’´equationy=y0∈]−π;π[ est transform´ee par l’exponentielle en la demi- droite (ouverte){re^iy0/ r >0}. Un morceau de droite verticale d’´equationx=x0,y ∈]−π;π[

est transform´e en le cercle de rayone^x0 priv´e du point−e^x0.

5. Pour z ∈C\]− ∞; 0] et α >0, on pose z^α:= exp (αLogz). Montrer que cette d´efinition co¨ıncide avec celle connue sur]0; +∞[, et que|z^α|=|z|^α. V´erifier que si k∈N, z^1/kk

=z.

Vu l’expression de Log, on obtient (re^it)^α = e^αlnr+iαt et (re^it)^α

= e^αlnr. En particulier la d´efinition co¨ıncide avec celle connue sur ]0; +∞[, et |z^α|=|z|^α. Il vient ´egalement

(re^it)^1/kk

=

e^1k[lnr+it]k

=e^lnr+it=re^it.

6. Soit f une fonction holomorphe sur un disque D, qui ne s’annule pas. Montrer que f admet un rel`evement, c’est-`a-dire qu’il existeg holomorphe surD telle que f = exp(g).

Si g convient, alors n´ecessairementg^′ =f^′/f. Soit doncg une primitive holomorphe de f^′/f, qui existe bien car on se place sur D qui est un ouvert ´etoil´e. En notant f(0) =re^iθ, on peut mˆeme imposer g(0) = lnr+iθ. La fonction f /e^g est holomorphe sur D, de d´eriv´ee (f^′e^g−f g^′e^g)/e^2g identiquement nulle. Par cons´equent il existe c ∈ C^∗ telle que f = ce^g, et la condition initiale choisie forcec= 1.

7. Montrer qu’il n’existe pas de fonction f holomorphe sur C v´erifiant f◦f = exp. On pourra com- mencer par montrer qu’une telle fonction admet un rel`evement.

Supposons q’une telle fonction f existe : alorsC^∗=f(f(C))⊂f(C), par cons´equentf(C) est soit C^∗ soit C. Or si f : C → C ´etait surjective, il existerait a ∈ C tel que f(a) = 0, et b ∈ C tel que f(b) =a, ce qui donneraitf ◦f(b) = 0 =e^b. Ainsif ne s’annule pas, et d’apr`es la question pr´ec´edente il existeg enti`ere telle quef = exp◦g.

Puisque exp =f◦f = (exp◦g)◦f = exp(g◦f), la fonction continueidC−g◦f est `a valeurs dans le discret 2πiZ, donc constante sur le connexeC. En particulierg◦f est bijective deCdans lui-mˆeme.

Par cons´equentf est injective (sif(z) =f(z^′), alorsg◦f(z) =g◦f(z^′) et doncz=z^′), etf◦f est aussi injective surC. Or la fonction exponentielle n’est pas injective surC, d’o`u une contradiction.

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