ANALYSE
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Raisonnement par récurrence
Les savoir-faire du chapitre
◮ 10.Savoir mener un raisonnement par récurrence. ◮ 11.Utiliser le raisonnement par récurrence pour étudier une suite.
Le problème de Nabolos
On considère la propriété suivante :
« 23n−1 est un multiple de 7 »
On peut vérifier que cette propriété est vraie pour quelques valeurs den. Mais l’est-elle pour tous les entiers
naturelsn?
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S’entraîner
10 Savoir mener un raisonnement par récurrence.
11 Utiliser le raisonnement par récurrence pour étudier une suite.
1)On considère la propriété « 3n > 1+2n». En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que cette pro-
priété est vraie pour toutn>0.
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2)On considère la suite(un)définie paru0 =5 etun+1= 1
2un+1 pour toutn∈N.
Montrer par récurrence que 26un65 pour tout entiern>0.
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3)Soit(un)la suite définie pour tout entier naturelnpar :
u0=5 un+1= 1
3un+1.
Montrer que la suite(un)est décroissante.
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2 Chapitre A1. Raisonnement par récurrence
