DS n°1 Term S de Mathématiques

Durée : 2h – Calculatrice autorisée

DS n°1 Term S de Mathématiques

03/10/2018

Exercice 1 ^{7 pts}

Déterminer, en justifiant, la limite de la suite (𝑢_𝑛) dans les cas ci-dessous : 𝟏) ∀ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢_𝑛 = 3𝑛³− 2𝑛 + 1.

𝟐) ∀ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢_𝑛 = 5𝑛 +√𝑛 + 1 4 − 1.

𝟑) ∀ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢_𝑛 = 3𝑛 + 4 sin(𝑛).

𝟒) ∀ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢_𝑛 =3𝑛²− 1 5𝑛 + 1.

5) ∀ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢_𝑛 = 4^𝑛− 7^𝑛.

Exercice 2 3 pts

On considère la propriété « 3^𝑛 ≥ 1 + 2𝑛 ».

En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que cette propriété est vraie pour tout 𝑛 ≥ 0.

Exercice 3 ^{4 pts}

Démontrer par récurrence que pour tout entier 𝑛 ≥ 1, on a :

𝑆_𝑛 = ∑ 𝑘²

𝑛

𝑘=1

= 1²+ 2²+ 3²+ … … … + (𝑛 − 1)² + 𝑛² =𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

6 .

Exercice 4 ^{6 pts}

Soit la suite (𝑢_𝑛) définie sur ℕ par :

{

𝑢₀ = 2 𝑢_𝑛+1 = 2 𝑢_𝑛

2 + 3 𝑢_𝑛 .

1) a) Calculer 𝑢₁ et 𝑢₂.

b) La suite (𝑢_𝑛) est-elle arithmétique ? géométrique ?

2) On suppose que pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢_𝑛 n’est pas nul et on pose 𝑣_𝑛 = 1 + 2

𝑢_𝑛.

a) Montrer que (𝑣_𝑛) est une suite arithmétique et préciser sa raison et son premier terme.

b) Exprimer 𝑣_𝑛 en fonction de 𝑛 puis déduire 𝑢_𝑛 en fonction de 𝑛.

c) En déduire la limite de la suite (𝑢_𝑛).

- Tu veux une blague ? - Oui

- 𝟗𝒙² + 𝟖𝒙 + 𝟑 MDDDDRRRR - J'ai pas compris.

- Normal, c'est du second degré.

Bon courage !!! ^^

Exercice 5 6 pts

On étudie la suite (𝑢_𝑛) définie, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, par 𝑢_𝑛+1 = 2 −1

2 𝑢_𝑛 𝑒𝑡 𝑢₀ = 0 1) Démontrer par récurrence, que pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 0 ≤ 𝑢_𝑛 ≤ 2.

2) On définit la suite (𝑣_𝑛), pour tout 𝑛 ∈ ℕ, par

𝑣_𝑛 = 𝑢_𝑛−4 3.

a) Démontrer que la suite (𝑣_𝑛), pour tout 𝑛 ∈ ℕ, est géométrique, on précisera ses éléments caractéristiques.

b) En déduire, pour tout 𝑛, l’expression de 𝑣_𝑛 en fonction de 𝑛, puis celle de 𝑢_𝑛. c) Déterminer alors la limite de la suite (𝑢_𝑛).

Exercice 6 4 pts

Soit 𝑢 = (𝑢_𝑛) la suite définie par 𝑢₀ = 2 et, pour tout entier naturel 𝑛, par 𝑢_𝑛+1 = 2 𝑢_𝑛+ 2𝑛²− 𝑛.

On considère également la suite 𝑣 = (𝑣_𝑛) définie, pour tout entier naturel 𝑛, par

𝑣_𝑛 = 𝑢_𝑛+ 2𝑛²+ 3𝑛 + 5.

1) Voici un extrait de feuille de tableur :

Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites (𝑢_𝑛) et (𝑣_𝑛) ?

2) Déterminer, en justifiant, une expression de 𝑣_𝑛 et de 𝑢_𝑛 en fonction de 𝑛 uniquement.