DS n°1 Term S de Mathématiques
03/10/2018
Exercice 1 7 pts
Déterminer, en justifiant, la limite de la suite (un) dans les cas ci-dessous : 1¿∀n∈N , un=3n3−2n+1.
2¿∀n∈N , un=5n+
√
n+14 −1.
3¿∀n∈N ,un=3n+4 sin(n).
4¿∀n∈N , un=3n2−1 5n+1 .
5) ∀n∈N ,un=4n−7n.
Exercice 2 3 pts
On considère la propriété « 3n≥1+2n ».
En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que cette propriété est vraie pour tout n ≥0 .
Exercice 3 4 pts
Démontrer par récurrence que pour tout entier n ≥1, on a : Sn=
∑
k=1 n
k2=12+22+32+… … …+(n−1)2+n2=n(n+1) (2n+1)
6 .
Exercice 4 6 pts
Soit la suite (un) définie sur N par :
{
un+1u=0=22+32unun.1) a) Calculer u1 et u2 .
b) La suite (un) est-elle arithmétique ? géométrique ?
2) On suppose que pour tout n∈N , un n’est pas nul et on pose vn=1+ 2
un.
a) Montrer que (vn) est une suite arithmétique et préciser sa raison et son premier terme.
b) Exprimer vn en fonction de n puis déduire un en fonction de n . c) En déduire la limite de la suite (un) .
Durée : 2h – Calculatrice autorisée
Exercice 5 6 pts
On étudie la suite (un) définie, pour tout n∈N , par un+1=2−1
2unet u0=0
1) Démontrer par récurrence, que pour tout n∈N , 0≤un≤2 . 2) On définit la suite (vn) , pour tout n∈N , par
vn=un−4 3.
a) Démontrer que la suite (vn) , pour tout n∈N , est géométrique, on précisera ses éléments caractéristiques.
b) En déduire, pour tout n , l’expression de vn en fonction de n , puis celle de un . c) Déterminer alors la limite de la suite (un) .
Exercice 6 4 pts
Soit u=(un) la suite définie par u0=2 et, pour tout entier naturel n , par un+1=2un+2n2−n .
On considère également la suite v=(vn) définie, pour tout entier naturel n , par
vn=un+2n2+3n+5.
1) Voici un extrait de feuille de tableur :
Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites (un) et (vn) ?
2) Déterminer, en justifiant, une expression de vn et de un en fonction de n uniquement.
- Tu veux une blague ? - Oui
- 9x²+8x+3 MDDDDRRRR - J'ai pas compris.
- Normal, c'est du second degré.
Bon courage !!! ^^
